杜奕秋，郭 靖

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

0 引言

環(huán)上導(dǎo)子是微分的一種代數(shù)形式的推廣，有豐富的研究內(nèi)容和深刻的背景，特別是對于描述環(huán)的結(jié)構(gòu)有重要作用.

設(shè)R是結(jié)合環(huán)，d：R→R是R上的可加映射，如果對任意的x,y∈R，有d(xy)=d(x)y+xd(y)，則稱d為R上的一個導(dǎo)子.?x,y∈R，記[x,y]=xy-yx，x°y=xy+yx.如果對于a∈R，由2a=0，必有a=0，則稱環(huán)R是2-扭自由的.如果R的可加子群J滿足J°R?J，則稱J為R的Jordan理想.顯然，R的理想都是Jordan理想，反之未必.如果對于任意的a,b∈R，由aRb=0，必有a=0或b=0，則稱R為素環(huán).如果對于任意的a∈R，由aRa=0，必有a=0，則稱R為半素環(huán).

1991年，Bre?ar提出了廣義導(dǎo)子的概念，廣義導(dǎo)子是導(dǎo)子的一種重要的推廣.導(dǎo)子的很多結(jié)果都被推廣到廣義導(dǎo)子上來.

對于可加映射F:R→R，如果存在R上的一個導(dǎo)子d，使得對于任意的x,y∈R，都有F(xy)=F(x)y+xd(y)，則稱F為R上的一個廣義導(dǎo)子，d稱為F的伴隨導(dǎo)子.

對廣義導(dǎo)子的研究已經(jīng)取得了一些很好的結(jié)果[1-5,7-10,12-13].設(shè)R是結(jié)合環(huán)，Z(R)是環(huán)R的中心，J是R的非零Jordan理想．最近，Mahmmoud和Ahmed[11]研究了R的Jordan理想上滿以下條件之一的帶有伴隨導(dǎo)子d的廣義導(dǎo)子F：(i)[F(u),u]∈Z(R)，(ii)F(u)u=ud(u),(iii)d(u2)=2F(u)u,(iv)F(u2)=2uF(u),?u∈J．

本文將在去掉“J是R的子環(huán)”的條件下研究滿足以上條件的廣義導(dǎo)子F.

1 主要結(jié)果

先給出Herstein的一個著名的結(jié)論及證明.

引理1.1[6,定理1.1]設(shè)R是2-扭自由半素環(huán)，則R的任何非零Jordan理想都包含R的一個非零理想.

證明設(shè)J是R的一個非零Jordan理想，則?x∈R，a,b∈J，可得

[a°b,x]=[a,x]°b+a°[b，x]∈J.

然而，由于a°b∈J，所以(a°b)°x∈J.綜上，對任意的x∈R，可得2x(a°b)∈J.因此，對于任意的y∈R，有(2x(a°b))°y∈J.由于2yx(a°b)∈J，所以2x(a°b)y∈J，也就是2R(a°b)R?J.則2R(a°b)R為R的一個理想.下面證明2R(a°b)R≠0.假設(shè)2R(a°b)R=0，則有R(a°b)R=0，因此((a°b)R)2=0.由于R是半素環(huán)，所以對任意的a,b∈J，都有a°b=0.特別地，可得a°a=0，因此2a2=0.因此，對任意的a∈R，都有a2=0.

對任意的0≠a∈J，x∈R，有a°(a°x)=0，即有2xax=0，于是xax=0.也就是RaR=0，這與假設(shè)矛盾.也就是說，J包含R的一個非零理想.

引理1.2[11,定理3.2] 設(shè)R是特征不為2的素環(huán)，J是R的非零Jordan理想，且是R的子環(huán).若R上存在帶有非零伴隨導(dǎo)子d的廣義導(dǎo)子F，使得F在J上是中心化的，則J?Z(R).

引理1.3設(shè)R是特征不為2的素環(huán)，I是R的非零理想.如果I?Z(R)，則R是交換環(huán).

證明假設(shè)I?Z(R)，則[IR，R]=0，則有I[R，R]=0，可得IR[R，R]=0.因此，由于R是素環(huán)，且I≠0，所以[R，R]=0，即R是交換環(huán).

引理1.4[11，推論3.8] 設(shè)R是特征不為2的素環(huán)，I是R的非零理想．如果R上有廣義導(dǎo)子F，d≠0為其伴隨導(dǎo)子，使下列條件之一成立：

(i)F(u)u=ud(u),(ii)d(u2)=2F(u)u,(iii)F(u2)=2uF(u),

其中u∈I，則R是交換環(huán)：

如果下列條件之一成立：

(iv)F(u2)-2uF(u)=d(u2)-2ud(u),

(v)F2(u)+3d2(u)=2Fd(u)+2dF(u),

其中u∈I．則R是交換環(huán)或F=d．

引理1.5設(shè)R是特征不為2的素環(huán)，I是R的非零理想，F(xiàn)是R上的廣義導(dǎo)子，d≠0為其伴隨導(dǎo)子，使得對任意的u∈I，都有

(F(u)-d(u))u=0

(1)

則F=d．

證明將式(1)線性化，即令u=u+v可得

(F(u)-d(u))v+(F(v)-d(v))u=0

(2)

其中，u,v∈I．在式(2)中用vr替換u,其中r∈R，則由式(1)可得

(F(vr)-d(vr))v=0

其中，v∈I,r∈R．進一步可得

(F(v)-d(v))rv=0

其中，v∈I，r∈R．則由于R是素環(huán)，所以對于任意的v∈I，都有F(v)-d(v)=0．

再用rv替換v，其中r∈R，可得(F(r)-d(r))v=0，r∈R,v∈I．也就是，對于任意的r∈R，都有(F(r)-d(r))RI=0．由于R是素環(huán)，且I≠0，所以對于任意的r∈R，都有F(r)-d(r)=0．因此，F(xiàn)=d．

定理1.1設(shè)R是特征不為2的素環(huán)，J是R的非零Jordan理想.若R上存在帶有非零伴隨導(dǎo)子d的廣義導(dǎo)子F，滿足：

[F(u),u]∈Z(R)

其中u∈J.則R是交換環(huán).

證明由引理1.1可知，J包含R的一個非零理想I.對I應(yīng)用引理1.2，可得I?Z(R)，再由引理1.3，可得R是交換環(huán).

顯然，定理1.1推廣了引理1.2.

定理1.2設(shè)R是特征不為2的素環(huán)，J是R的非零Jordan理想．如果R上有廣義導(dǎo)子F，d≠0為其伴隨導(dǎo)子，使下列條件之一成立：

(i)F(u)u=ud(u),(ii)d(u2)=2F(u)u,

(iii)F(u2)=2uF(u),

其中u∈J．則R是交換環(huán)，且F=d．

證明由引理1.1可知，J包含R的一個非零理想I．由題設(shè)可知，廣義導(dǎo)子F滿足下列條件之一：

(i)F(u)u=ud(u),(ii)d(u2)=2F(u)u,

(iii)F(u2)=2uF(u)，

其中u∈J．對I應(yīng)用引理1.4，可得R是交換環(huán)．下面證明F=d．

如果條件(i)成立，則對任意的u∈I，可得(F(u)-d(u))u=0．則由引理1.5可得F=d;如果條件(ii)成立，則對任意的u∈I，可得d(u)u+ud(u)=2F(u)u,則有2(F(u)u-d(u))u=0.因此對任意的u∈I，有(F(u)-d(u))u=0．于是F=d;如果條件(iii)成立，則對任意的u∈I，可得F(u)u+ud(u)=2uF(u).則對任意的u∈I,有(F(u)-d(u))u=0.于是F=d．

顯然，定理2.2推廣了[11]定理3.3、定理3.6和定理3.7．

2 結(jié)論

本文討論了素環(huán)、半素環(huán)的Jordan理想上滿足一定條件的廣義導(dǎo)子，利用素環(huán)、半素環(huán)的性質(zhì)以及線性化和替換等代數(shù)手法給出了幾個新的結(jié)果，將Mahmmoud和Ahmed在普通非零理想上的相關(guān)結(jié)果推廣到了Jordan理想上，希望對進一步的研究工作有所幫助和啟發(fā).

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