電主軸熱特性分析與基于自然指數(shù)的熱誤差建模

代貴松，袁峰，張余升，楊建國(guó)

(上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

0 前言

隨著現(xiàn)代制造業(yè)的不斷發(fā)展，高速加工技術(shù)和高速數(shù)控機(jī)床的發(fā)展越來(lái)越受到重視。作為高速數(shù)控機(jī)床的核心，電主軸的性能直接決定了整個(gè)機(jī)床的加工精度和加工產(chǎn)品的質(zhì)量。電主軸在加工過程中，電機(jī)損耗和軸承摩擦發(fā)熱會(huì)使電主軸產(chǎn)生較大變形，從而直接影響零件的加工精度。因此，對(duì)電主軸的熱特性及其熱誤差建模的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1 電主軸溫度場(chǎng)分析

1．1 熱源計(jì)算

文中的研究對(duì)象是一臺(tái)加工中心上所用的電主軸，如圖1所示。電主軸的最高轉(zhuǎn)速為21 000 r/min，額定功率為20 kW，采用三組“背靠背”的角接觸陶瓷球軸承作為支撐。在加工過程中，電主軸的熱源可分為內(nèi)部熱源和外部熱源，其中內(nèi)部熱源是影響高速電主軸熱變形的主要因素［1］。內(nèi)部熱源分為三部分［2］:一是內(nèi)裝式電動(dòng)機(jī)的損耗發(fā)熱;二是軸承的摩擦發(fā)熱;三是切削工件產(chǎn)生的熱。因?yàn)樵诟咚偌庸み^程中，95%的切削熱被切屑和冷卻液帶走，故這一部分熱源對(duì)電主軸的熱變形影響不是很大而可以忽略。

圖1 電主軸結(jié)構(gòu)

1．1．1 主軸電動(dòng)機(jī)的損耗發(fā)熱

電動(dòng)機(jī)定子和轉(zhuǎn)子的發(fā)熱來(lái)源于電動(dòng)機(jī)的損耗。電動(dòng)機(jī)的損耗一般分為4類:機(jī)械損耗、電損耗、磁損耗和附加損耗。前三類損耗為主要損耗，附加損耗在總的損耗中所占的比例很小，為額定功率的1%～5%。文中電動(dòng)機(jī)的額定損耗功率為5．4 kW，假定損耗功率全部轉(zhuǎn)化為熱量，其中2/3的熱量由定子產(chǎn)生，1/3的熱量由轉(zhuǎn)子產(chǎn)生。

1．1．2 軸承的摩擦發(fā)熱

電主軸在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，軸承滾動(dòng)體與滾道之間因摩擦而產(chǎn)生大量的熱。根據(jù)Palmgre計(jì)算公式［3］，主軸軸承發(fā)熱量Q(單位為W)為

式中:M為軸承摩擦力矩(N·mm)，n為軸承轉(zhuǎn)速(r/min)。

摩擦力矩M包括兩部分:黏性摩擦力矩M0和載荷摩擦力矩M1，計(jì)算公式如下:

式中:f0和f1為與軸承類型和潤(rùn)滑方式有關(guān)的系數(shù)，ν為潤(rùn)滑劑的運(yùn)動(dòng)黏度(mm2/s)，p1為軸承摩擦力矩的計(jì)算載荷(N)，dm為主軸軸承的平均直徑(mm)。

1．2 對(duì)流換熱系數(shù)的計(jì)算

對(duì)流換熱是指相對(duì)運(yùn)動(dòng)的流體與其溫度不相同的固體壁面接觸時(shí)，流體與壁面之間的熱量交換過程。電主軸與周圍環(huán)境的熱交換主要包括五部分:

(1)定子及前、中軸承組與冷卻液的對(duì)流換熱

電主軸采用油氣交換循環(huán)冷卻方法，對(duì)電機(jī)定子及前、中軸承組進(jìn)行強(qiáng)制冷卻，故這一部分熱量交換屬于管內(nèi)強(qiáng)迫對(duì)流。冷卻液在管內(nèi)不同流態(tài)的換熱規(guī)律不同，故首先要算出雷諾數(shù)Re來(lái)判別流態(tài)。Re是一個(gè)量綱為一的量，定義為

Ref=u·D/v

式中:D為幾何特征的定型尺度(m);u為流體的特征速度(m/s);v為流體的運(yùn)動(dòng)黏度(m2/s);f表示以流體的平均溫度為定性溫度，以管徑D為定型尺寸。

不同流態(tài)下的對(duì)流換熱系數(shù)的計(jì)算公式為

層流h1=1．86(Ref·Prf·D/L)1/3·λ/D

(2)定子與轉(zhuǎn)子間氣隙的對(duì)流換熱

電主軸工作時(shí)轉(zhuǎn)速一般比較高，轉(zhuǎn)子與定子的氣隙處于有層流底層的湍流狀態(tài)，這一部分對(duì)流換熱系數(shù)計(jì)算公式為式中:δ為定、轉(zhuǎn)子氣隙的厚度(m);r為轉(zhuǎn)子外圈半徑;λ為空氣導(dǎo)熱系數(shù);L為氣隙的長(zhǎng)度。

(3)前后密封環(huán)的對(duì)流換熱

電主軸前后密封環(huán)氣隙中有軸向流動(dòng)的氣體，其對(duì)流換熱系數(shù)的計(jì)算方法與(2)相同。

(4)轉(zhuǎn)子端部與周圍空氣的對(duì)流換熱

該部分熱交換的對(duì)流換熱系數(shù)的計(jì)算公式為

式中:ut為轉(zhuǎn)子端部的軸向速度(m/s)。(5)主軸頭部與周圍空氣的對(duì)流換熱

h5=c0+c1+uc2

式中:c0、c1、c2為實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)，u為主軸轉(zhuǎn)速。

(6)主軸外殼與周圍空氣的自然對(duì)流換熱

根據(jù)自然對(duì)流換熱的經(jīng)驗(yàn)公式，該部分熱交換的對(duì)流換熱系數(shù)為

式中:Gr為格拉曉夫準(zhǔn)數(shù);Pr為普朗特準(zhǔn)數(shù);d為外殼直徑;C、n為常數(shù)。

2 電主軸熱特性有限元分析

根據(jù)溫度場(chǎng)分析，得出用于電主軸熱特性有限元分析的熱邊界條件(主軸轉(zhuǎn)速3 000 r/min，環(huán)境溫度20℃，冷卻液進(jìn)口溫度20℃)，如表1所示，發(fā)熱量單位為W，生熱率單位為W/m3，換熱系數(shù)單位為W/(m2·℃)。

表1 電主軸熱邊界條件

對(duì)電主軸的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，用Proe5．0構(gòu)建出用于電主軸熱特性有限元分析的幾何模型，如圖2所示。將模型的1/4導(dǎo)入ANSYS13．0，網(wǎng)格劃分后加載求解，得到電主軸的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)，如圖3所示。從圖3中可以看出，電主軸的最高溫度為64．82℃，發(fā)生在轉(zhuǎn)子軸芯處。盡管研究表明2/3的熱量發(fā)生在定子上，但由于定子套對(duì)定子的冷卻作用，定子的溫度反而比轉(zhuǎn)子低。另外，前、中軸承組處的溫度與后軸承組的溫度大致相同。前、中軸承組在電主軸高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)承受的載荷比后軸承組大，故而產(chǎn)生的熱量也比后軸承組多，但由于前、中軸承組外設(shè)有冷卻套降低了該處的溫度。

圖2 電主軸熱特性有限元分析幾何模型

圖3 電主軸穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)分布

在ANSYS13．0軟件中，先將溫度場(chǎng)物理環(huán)境數(shù)據(jù)清空并刪除溫度邊界條件;然后更改溫度場(chǎng)單元為結(jié)構(gòu)分析單元，定義材料屬性并在電主軸的安裝法蘭左側(cè)面施加位移邊界條件;最后將圖3所示的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)分布施加到結(jié)構(gòu)體單元上求解，得到電主軸徑向與軸向的穩(wěn)態(tài)熱變形場(chǎng)，如圖4、5所示。

圖4 電主軸軸向熱變形分布

圖5 電主軸徑向熱變形分布

從圖4中可以看出電主軸最大軸向熱變形為57．92μm，發(fā)生在電主軸后端面。同時(shí)從計(jì)算結(jié)果中可以得到，電主軸前端面的軸向熱變形為38．13 μm，徑向熱變形為9．11μm。電主軸后端軸向熱變形大于前端，這與實(shí)際情況相符。

3 電主軸熱誤差的自然指數(shù)模型

固定轉(zhuǎn)速下，機(jī)床主軸的熱特性符合自然指數(shù)的變化規(guī)律［4-5］，故電主軸的熱誤差可用如下公式來(lái)描述:

式中:δ為主軸以特定轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)t時(shí)間后的熱誤差;δ0為主軸在開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的熱誤差;δz為主軸在特定轉(zhuǎn)速下的穩(wěn)態(tài)熱誤差;τ為特定轉(zhuǎn)速下主軸熱變形平衡時(shí)間常數(shù)(溫度上升和溫度下降階段的時(shí)間常數(shù)不同)。

因此，要想知道主軸任意轉(zhuǎn)速下的熱誤差，只需確定主軸在任意轉(zhuǎn)速下的熱變形平衡時(shí)間常數(shù)及穩(wěn)態(tài)熱誤差值。大量研究表明，只要模型合理及邊界條件準(zhǔn)確，ANSYS仿真分析可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)穩(wěn)態(tài)時(shí)主軸的溫度場(chǎng)及變形場(chǎng)［6-7］，但溫升與熱變形過程的仿真是不準(zhǔn)確的。所以，主軸任意轉(zhuǎn)速的穩(wěn)態(tài)熱誤差可通過ANSYS穩(wěn)態(tài)熱分析得到，而熱變形平衡時(shí)間常數(shù)只能由實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。

3．1 電主軸任意轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)熱誤差的確定

按照溫度場(chǎng)的分析方法，分別計(jì)算各轉(zhuǎn)速下(n=3 000i;i=1，2，…，7)主軸的熱邊界條件;再按照小節(jié)2中的方法進(jìn)行有限元仿真分析，由此可以得到主軸在各轉(zhuǎn)速下的軸向穩(wěn)態(tài)熱誤差與徑向穩(wěn)態(tài)熱誤差，如圖6所示。從圖6中可以看出，穩(wěn)態(tài)熱誤差隨轉(zhuǎn)速n的變化規(guī)律是線性的，轉(zhuǎn)速為零時(shí)，認(rèn)為主軸穩(wěn)態(tài)熱誤差是零。因此可采用分段直線擬合，公式如下:

徑向穩(wěn)態(tài)熱誤差:

軸向穩(wěn)態(tài)熱誤差:

圖6 各轉(zhuǎn)速下軸向與徑向穩(wěn)態(tài)熱誤差及擬合曲線

3．2 電主軸熱平衡時(shí)間常數(shù)的確定

考慮到熱誤差平衡只是稍滯后于溫度平衡，所以主軸熱誤差平衡時(shí)間常數(shù)可以用溫度平衡時(shí)間常數(shù)代替。對(duì)電主軸進(jìn)行實(shí)時(shí)溫度測(cè)量實(shí)驗(yàn)，兩個(gè)溫度傳感器在電主軸上的布置如圖7所示，靠近主軸端面的為1#傳感器，另一個(gè)為2#傳感器。主軸在特定轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)動(dòng)，基本達(dá)到熱平衡后停止轉(zhuǎn)動(dòng)，在空氣中自然冷卻，在整個(gè)過程中數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)每隔120 s采集一次數(shù)據(jù)。按轉(zhuǎn)速不同分為4組實(shí)驗(yàn)，得到兩個(gè)溫度變量隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖8所示。

圖7 溫度傳感器在電主軸上的布置

圖8 電主軸溫度變化

一般認(rèn)為只要主軸溫度達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度的95%就達(dá)到熱平衡［8］，即主軸經(jīng)過3τ時(shí)間達(dá)到熱平衡。通過對(duì)圖8的分析計(jì)算得到主軸在各轉(zhuǎn)速下熱平衡時(shí)間常數(shù)，如表2所示。在溫度上升階段，任意轉(zhuǎn)速下的熱平衡時(shí)間常數(shù)相差不大，可取平均值673．8 s;在溫度下降階段，轉(zhuǎn)速越高，穩(wěn)態(tài)溫度越高，熱平衡時(shí)間常數(shù)越大。因此，在溫度下降階段，3 000 r/min與21 000 r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的熱平衡時(shí)間常數(shù)可根據(jù)轉(zhuǎn)速所處的區(qū)間(按等差6 000 r/min為3個(gè)區(qū)間)采用線性插值的方法予以求出，小于3 000 r/min時(shí)取244．5 s。

表2 各轉(zhuǎn)速下主軸的熱平衡時(shí)間常數(shù)

3．3 任意轉(zhuǎn)速下電主軸熱誤差的計(jì)算

以軸向?yàn)槔齺?lái)說(shuō)明任意轉(zhuǎn)速下主軸熱誤差的計(jì)算方法，假設(shè)以該轉(zhuǎn)速開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的熱誤差為δ0。首先，按式(4)、(5)計(jì)算該轉(zhuǎn)速下的軸向穩(wěn)態(tài)熱誤差δz;然后將δ0與δz對(duì)比大小:若δz＞δ0，說(shuō)明在該轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)下主軸溫度會(huì)上升，熱誤差增大，因此選擇上升階段的熱平衡時(shí)間常數(shù)，即τ=673．8 s代入式(1)來(lái)計(jì)算該轉(zhuǎn)速下熱誤差隨時(shí)間的變化;若δz＜δ0，說(shuō)明在該轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)下主軸溫度會(huì)下降，熱誤差減小，因此選擇下降階段的熱平衡時(shí)間常數(shù)，判斷轉(zhuǎn)速所在區(qū)間，按照3．2節(jié)中的方法計(jì)算出熱平衡時(shí)間常數(shù)，同樣代入式(1)來(lái)計(jì)算該轉(zhuǎn)速下熱誤差隨時(shí)間的變化。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證自然指數(shù)模型的準(zhǔn)確性，在這臺(tái)加工中心上進(jìn)行任意轉(zhuǎn)速下的熱誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)，限于文章篇幅，僅以軸向熱誤差為研究對(duì)象。位移傳感器按照?qǐng)D9所示安裝在機(jī)床上，主軸轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化如圖10所示，每個(gè)轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)一個(gè)時(shí)間段。根據(jù)圖10中的轉(zhuǎn)速和時(shí)間信息，利用3．1節(jié)和3．3節(jié)中所述的方法計(jì)算各轉(zhuǎn)速下的熱平衡時(shí)間常數(shù)和軸向穩(wěn)態(tài)熱誤差，設(shè)定電主軸開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的熱誤差為零，按照3．3節(jié)中所述方法計(jì)算出各轉(zhuǎn)速下的自然指數(shù)模型，也就是各個(gè)時(shí)間段的自然指數(shù)模型，將各個(gè)時(shí)間段的自然指數(shù)模型組合起來(lái)從而得到整個(gè)過程的熱誤差變化曲線，即圖11中的曲線2。然后將實(shí)驗(yàn)得到的任意轉(zhuǎn)速下主軸軸向熱誤差隨時(shí)間變化情況和自然指數(shù)模型計(jì)算結(jié)果作對(duì)比，如圖11所示。從圖11中可以看出，主軸實(shí)際最大熱誤差達(dá)到95μm，如果按照文中所提模型對(duì)實(shí)際熱誤差進(jìn)行補(bǔ)償(FUNAC數(shù)控系統(tǒng)可通過外部機(jī)械原點(diǎn)偏移或者修改NC代碼來(lái)進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償)，補(bǔ)償后的熱誤差最大不超過11μm，可以大大減小主軸熱變形對(duì)加工精度的影響。

圖9 電主軸軸向熱誤差測(cè)量

圖10 轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化

圖11 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)論

(1)只要幾何模型簡(jiǎn)化合理以及熱邊界條件準(zhǔn)確，ANSYS有限元分析可用于電主軸穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)和穩(wěn)態(tài)變形場(chǎng)的仿真。將仿真結(jié)果運(yùn)用到電主軸熱誤差的自然指數(shù)模型，通過最終實(shí)驗(yàn)證明了仿真結(jié)果的可信性及仿真方法的可行性。

(2)提出了電主軸的自然指數(shù)模型，給出了電主軸任意轉(zhuǎn)速下熱平衡時(shí)間常數(shù)和穩(wěn)態(tài)熱誤差的計(jì)算方法。為了驗(yàn)證模型的魯棒性和準(zhǔn)確性，進(jìn)行了任意轉(zhuǎn)速下的熱誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)，并與模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比。結(jié)果表明，相對(duì)于利用溫度關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行熱誤差建模補(bǔ)償?shù)姆椒ǎ?］，自然指數(shù)模型在保證較高的建模精度及較好的魯棒性的前提下，只需要知道機(jī)床轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間就可以確定機(jī)床熱誤差而不需要對(duì)機(jī)床關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行溫度測(cè)量，大大方便了補(bǔ)償?shù)膶?shí)施并降低了補(bǔ)償實(shí)施成本。

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