劉　令,楊　力,林　源

（1.吉林建筑大學(xué)，長(zhǎng)春　130118；2.中國(guó)工商銀行股份有限公司長(zhǎng)春凈月旅游經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)支行，長(zhǎng)春　130117）

基于指數(shù)增長(zhǎng)模型的全國(guó)人口預(yù)測(cè)

劉令1,楊力1,林源2

（1.吉林建筑大學(xué)，長(zhǎng)春130118；2.中國(guó)工商銀行股份有限公司長(zhǎng)春凈月旅游經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)支行，長(zhǎng)春130117）

摘要：本文根據(jù)每十年一次的全國(guó)人口普查中總?cè)丝诘臄?shù)據(jù)，建立了指數(shù)增長(zhǎng)模型，并通過(guò)1975—2010年度數(shù)據(jù)驗(yàn)證了它的準(zhǔn)確性，同時(shí)利用此模型實(shí)現(xiàn)了對(duì)未來(lái)總?cè)丝诘念A(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)在短時(shí)間內(nèi)，我國(guó)人口總數(shù)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而不斷增大。

關(guān)鍵詞：人口增長(zhǎng)率；指數(shù)增長(zhǎng)模型；遞歸模型

0　引言

我國(guó)人口一直呈持續(xù)增長(zhǎng)趨勢(shì)，為了發(fā)現(xiàn)人口增長(zhǎng)的規(guī)律，以便于國(guó)家對(duì)人口政策作出合理調(diào)整，所以應(yīng)該對(duì)未來(lái)人口進(jìn)行預(yù)測(cè)，人口的預(yù)測(cè)與控制是一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題，在不考慮資源與環(huán)境等干擾因素的影響下，最簡(jiǎn)單的人口增長(zhǎng)與預(yù)測(cè)方案是人所共知的指數(shù)增長(zhǎng)模型[1]。

1　指數(shù)增長(zhǎng)模型

1.1模型的原理

指數(shù)增長(zhǎng)是經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中重要的分析工具，當(dāng)一個(gè)變量在一定時(shí)期內(nèi)按固定比率增長(zhǎng)時(shí)，指數(shù)（或幾何）增長(zhǎng)就發(fā)生了。例如：當(dāng)數(shù)量為200的人口每年以3%的比列增加時(shí)，在起始年份（第0年），人口為200，第1年人口數(shù)為200×（1+0.03）^1；第2年人口數(shù)為200（1+0.03）^2；……；第n年人口數(shù)為200×（1+0.03）^n；……按此類推。

1.2模型的建立

本文我們?cè)谂懦磺型饨绺蓴_因素的影響下，建立了指數(shù)增長(zhǎng)模型[1]：標(biāo)記當(dāng)年人口為x0，l 年后人口為xl，年增長(zhǎng)率為r，則

顯見(jiàn)，公式（1）中的年增長(zhǎng)率r保持不變。

我們令t年的人口數(shù)目為x（t），當(dāng)考察一個(gè)國(guó)家的人口時(shí)，x（t）便是一個(gè)很大的數(shù)。利用微積分學(xué)這一數(shù)學(xué)工具，不妨把x（t）視為一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)，令初始時(shí)刻t=0年的人口為x0，假設(shè)r為常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口變化率等于r乘以x（t），于是，得到x（t）滿足微分方程

簡(jiǎn)單求解，得

r＞0時(shí)，（3）式表示人口按照指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無(wú)限增長(zhǎng)，因此,我們得到了以指數(shù)增長(zhǎng)為依據(jù)的人口預(yù)測(cè)與控制模型。

1.3模型參數(shù)r的估計(jì)

為了估計(jì)指數(shù)增長(zhǎng)模型（2）或（3）中的參數(shù)r和x0（1975的人口總數(shù)），需將（3）式取對(duì)數(shù)，得

用MATLAB等軟件對(duì)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可得到參數(shù)r。

2　人口的預(yù)測(cè)

我國(guó)1972年開(kāi)始實(shí)行計(jì)劃生育政策，根據(jù)全國(guó)人口普查數(shù)據(jù)，為了使預(yù)測(cè)結(jié)果更加精確，我們節(jié)選1975-2010年的全國(guó)人口普查數(shù)據(jù)[2]，每隔五年抽取一組，得到8組數(shù)據(jù)，分別為：1975年919.7百萬(wàn)人，1980年987.05百萬(wàn)人，1985年1058.51百萬(wàn)人，1990年1160.02百萬(wàn)人，1995年1212.1百萬(wàn)人，2000年1295.33百萬(wàn)人，2005年1306.28百萬(wàn)人，2010年1370.53百萬(wàn)人。

將上述數(shù)據(jù)代入指數(shù)模型之中，并使用MATLAB等軟件進(jìn)行分析，我們得到 的值為0.0577（5年），根據(jù)公式（3）計(jì)算，求得1975年—2010年中每5年的全國(guó)預(yù)測(cè)總?cè)丝跀?shù)目，整理并分析得出的結(jié)果，并通過(guò)對(duì)實(shí)際和預(yù)測(cè)人口數(shù)據(jù)作比較，求得其預(yù)測(cè)誤差為2.5%，與原有模型的預(yù)測(cè)誤差相比，可以認(rèn)為該模型相當(dāng)滿意。

所以，我們運(yùn)用指數(shù)增長(zhǎng)模型對(duì)未來(lái)40年我國(guó)人口總數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得出結(jié)果如下：2015年人口的總數(shù)目1389.2百萬(wàn)人，2020年1425.5百萬(wàn)人，2025年1455.9百萬(wàn)人，2030年1479.9百萬(wàn)人，2035年1502.3百萬(wàn)人，2040年1518.0百萬(wàn)人，2045年1523.0百萬(wàn)人，2050年1527.7百萬(wàn)人。

不難發(fā)現(xiàn)，在短時(shí)間內(nèi)，我國(guó)人口總數(shù)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而不斷增大。

3　結(jié)語(yǔ)

運(yùn)用指數(shù)增長(zhǎng)模型對(duì)人口數(shù)目進(jìn)行短期預(yù)測(cè)是相當(dāng)準(zhǔn)確的。但該模型中人口的數(shù)量將隨著時(shí)間的增長(zhǎng)無(wú)限制增長(zhǎng)，顯然，是與實(shí)際情況不符的，在資源與環(huán)境等因素的干擾下，某個(gè)地區(qū)的人口是不可能無(wú)限制增長(zhǎng)的，當(dāng)增長(zhǎng)到一定的數(shù)量后，增長(zhǎng)速率將會(huì)慢下來(lái)，因此，為了更好的預(yù)測(cè)我國(guó)人口的發(fā)展，我們亟需引進(jìn)更貼近實(shí)際狀況的模型來(lái)解決此類問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究課題組國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告[R].2012.

[3]付加鋒中國(guó)東部沿海地區(qū)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)及其結(jié)構(gòu)效益評(píng)價(jià)[R].2006.

[4]國(guó)家統(tǒng)計(jì)局1990-2010年六次人口普查數(shù)據(jù)[R].

作者簡(jiǎn)介：劉令（1982—），女，吉林長(zhǎng)春人，博士，主要研究偏微分方程。