郝紅賓

重基礎(chǔ)抓思想強(qiáng)能力

2014年全國各地的高考數(shù)學(xué)理科卷共有18套，為了給今后參加高考的同學(xué)們提供一定的參照和幫助，我們精選了其中的四套進(jìn)行分析，它們分別是全國新課標(biāo)卷Ⅰ和卷Ⅱ、山東卷、廣東卷。

這些具有代表性的試卷均由容易題、中等題、難題組成，且以容易題、中等題為主，壓軸題在難度上控制得很好，整體感覺知識(shí)覆蓋面廣，運(yùn)算量適中。試題在繼承的背景下進(jìn)行創(chuàng)新，其中全國新課標(biāo)卷Ⅰ的第14題推理題、全國新課標(biāo)卷Ⅱ的第12題、山東卷的第15題新概念題、廣東卷的第8題相對(duì)來說更加突出。這些都體現(xiàn)了國家對(duì)待高考希望“平穩(wěn)、穩(wěn)定”的指導(dǎo)意見，讓考生容易適應(yīng)。具體分布如表1：

一、基礎(chǔ)知識(shí)的全面考查

知識(shí)是指《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中所規(guī)定的必修課程、選修課程系列2和系列4中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理，以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法，還包括按照一定程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、處理數(shù)據(jù)、繪制圖表等基本技能。

對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，要既全面又突出重點(diǎn)，對(duì)于支撐學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，要占有較大的比例，構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體。注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，不刻意追求知識(shí)的覆蓋面。從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題，使對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度。

2014年高考基本涵蓋了重要知識(shí)的80%左右，各種題型也是豐富多樣。但不是說每一道題目只考查單一的知識(shí)點(diǎn)，而往往是多知識(shí)點(diǎn)的一次次交匯。

1.小題

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，選擇題和填空題部分喜歡考查的知識(shí)點(diǎn)有：集合、復(fù)數(shù)、函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、圓錐曲線、線性規(guī)劃、二項(xiàng)式定理、計(jì)數(shù)原理和概率、算法框圖、三視圖、向量等。這部分試題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，但是做這些小題要學(xué)會(huì)巧做，節(jié)省時(shí)間。如何“巧”呢？常見的做法有：特值法、圖象法、驗(yàn)證法、排除法、利用結(jié)論法等。

例1（2014新課標(biāo)全國卷Ⅰ）如圖1，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖象大致為（）

【命題分析】本題考查了解三角形的有關(guān)知 識(shí)，利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角的互化。 但如果考生知道一個(gè)三角形的重要結(jié)論，即射影 定理，則本題可速解。射影定理是：acosB+bcosA= c，bcosC+ccosB=a，ccosA+acosC=b。

例4（2014新課標(biāo)全國卷Ⅰ）甲、乙、丙三位 同學(xué)被問到是否去過A、B、C三個(gè)城市時(shí)，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市。

由此可判斷乙去過的城市為。

【命題分析】本題考查的是合情推理和演繹 推理的知識(shí)，這類題目在以往的考試題中比較少 見，沒怎么被開發(fā)過，比較新穎，所以同學(xué)們以后 要多多關(guān)注這類推理、證明等邏輯性較強(qiáng)的問 題。就像導(dǎo)數(shù)、三視圖的出現(xiàn)一樣，開始一般比較 簡單，但是出過幾次題之后，難度在悄然升高。

2.大題

解答題部分一般都是三角函數(shù)、數(shù)列、立體 幾何、概率統(tǒng)計(jì)、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)、選做題等為主。 其中三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)相對(duì)簡 單，而圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)難度相對(duì)較大，一般為壓軸 的兩個(gè)題。另外前幾年的解答題中，相對(duì)簡單的 首個(gè)解答題連續(xù)出現(xiàn)三角函數(shù)題，而今年幾個(gè)地 區(qū)的高考試卷都不約而同地出現(xiàn)了數(shù)列解答題。 縱觀2014年全國高考數(shù)學(xué)18套理科卷，也只有福 建卷和遼寧卷的解答題中沒有涉及數(shù)列，所以在 2015年備考復(fù)習(xí)時(shí)，同學(xué)們要同時(shí)關(guān)注三角函數(shù) 和數(shù)列這兩部分知識(shí)，因?yàn)樗鼈兌加锌赡艹蔀?2015年高考數(shù)學(xué)試卷解答題的第一題。

【命題分析】本題考查了數(shù)列和等差數(shù)列的知識(shí)以及階差法和探索性問題的常用解法。（Ⅰ） 題利用數(shù)列中常用的方法———階差法很容易證 明。（Ⅱ）題，假設(shè){an}為等差數(shù)列，則前三項(xiàng)a1，a2， a3必成等差，從而猜測(cè)出常數(shù)λ的值，接下來對(duì)n 分奇偶求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，經(jīng)驗(yàn)證，果然 可保證其為等差數(shù)列。多年前的高考曾出現(xiàn)過 探索一個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列的問題，做法類 似，所以做做前幾年的高考題對(duì)同學(xué)們也是大有 裨益的。

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）證明：f（x）>1。

例7（2014新課標(biāo)全國卷Ⅰ）從某企業(yè)生 產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一 項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到頻率分布直方 圖（如圖2）：

【命題分析】本題考查了頻率分布直方圖、 樣本平均數(shù)、樣本方差、正態(tài)分布和二項(xiàng)分布等 概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)。只要這部分知識(shí)扎實(shí)，解題應(yīng)該 沒有什么問題，運(yùn)算量也不大，但關(guān)鍵還是看概 念和公式是否清楚。應(yīng)用題的命題要求是堅(jiān)持 “貼近生活，背景公平，控制難度”的十二字原則， 而近幾年高考中的應(yīng)用題，從知識(shí)角度看都是概 率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，且一般都是概率、分布列和期望， 涉及正態(tài)分布的較少。所以今后對(duì)于正態(tài)分布、 線性回歸等這些課程改革后較少涉及的內(nèi)容要 倍加關(guān)注，未來有升溫的趨勢(shì)。

3.備考建議

今年高考的知識(shí)面很廣，預(yù)計(jì)今后也將如 此。這就要求我們對(duì)概念、性質(zhì)、定理等基礎(chǔ)知 識(shí)的復(fù)習(xí)不能走過場(chǎng)、趕進(jìn)度，吃“夾生飯”，而 應(yīng)在“準(zhǔn)確、系統(tǒng)”上面下工夫?；A(chǔ)知識(shí)是成績 提升的瓶頸，只有對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有深刻理解和領(lǐng) 會(huì)時(shí)，才能突破這一瓶頸，逐步形成基本技能， 實(shí)現(xiàn)能力的提升。

高三的三輪復(fù)習(xí)至關(guān)重要，提倡全面回歸課 本，要把基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)并落實(shí)到位，這樣才能以不 變應(yīng)萬變。因此，同學(xué)們?cè)诘谝惠啅?fù)習(xí)時(shí)必須把課 本內(nèi)容、基本解題方法吃透，掌握基本概念的性 質(zhì)，定理及其一般應(yīng)用。第二輪復(fù)習(xí)時(shí)，要結(jié)合教 材和考試大綱，把整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)分成幾大模 塊：集合與簡易邏輯、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、直線與圓錐曲 線、立體幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、二項(xiàng)式定理、計(jì)數(shù)與概 率、三角函數(shù)、向量、數(shù)列、不等式等，對(duì)各版塊的 基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行歸納、梳理、熟練化，還要熟悉各版 塊的聯(lián)系、交匯、網(wǎng)絡(luò)化，把整個(gè)高中的基礎(chǔ)知識(shí) 有機(jī)地結(jié)合在一起；同時(shí)對(duì)自己的薄弱知識(shí)環(huán)節(jié) 進(jìn)行專題訓(xùn)練，比如立體幾何，空間想象力差的同學(xué)可以多練；要特別關(guān)注函數(shù)與導(dǎo)數(shù)?？荚囍休^ 少出現(xiàn)的內(nèi)容，也不可忽視，比如正態(tài)分布、定積 分等未必會(huì)考，但必須會(huì)做，以備不時(shí)之需，方為 萬全之策。

二、思想方法的靈活考查

對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更 高層次上的抽象和概括的考查，考查時(shí)必須與數(shù)學(xué) 知識(shí)相結(jié)合，通過數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，反映考生對(duì)數(shù) 學(xué)思想和方法的理解；要從學(xué)科整體意義和思想價(jià) 值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測(cè) 考生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法 的掌握程度。

七大數(shù)學(xué)思想方法，是指函數(shù)與方程的思想、 數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化 的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、或 然與必然的思想，它們就是我們?cè)谧鰯?shù)學(xué)題時(shí)大腦 的所思所想，是快速解題的關(guān)鍵。有詩為證：

數(shù)形結(jié)合千般好，分類整合常用到；

函數(shù)方程很重要，化歸轉(zhuǎn)化離不了。

有限常把無限描，或然總被必然表；

特殊一般多辯證，思想交匯步步高。

當(dāng)然，每道精心設(shè)計(jì)的考題未必是單一地考查 某種數(shù)學(xué)思想，而是多思想的綜合。

1.老四樣

數(shù)學(xué)思想的重點(diǎn)還是四大數(shù)學(xué)思想，俗稱“老 四樣”，即數(shù)形結(jié)合、分類整合、函數(shù)方程、化歸轉(zhuǎn) 化。高三復(fù)習(xí)時(shí)，這些技能要真正內(nèi)化到同學(xué)們的 骨子里去，變成一種下意識(shí)的行為和習(xí)慣。

A.（2，+∞）B.（1，+∞）

C.（-∞，-2）D.（-∞，-1）

【命題分析】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)及 其應(yīng)用等知識(shí)，涉及了分類整合思想、數(shù)形結(jié)合思 想。三次以上的高次函數(shù)必須借助導(dǎo)數(shù)才可研究 其性質(zhì)，求導(dǎo)后再對(duì)參數(shù)a分類討論，同時(shí)畫出函 數(shù)的簡圖即可作出判斷。

【命題分析】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以 及直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及了分類整合思想、 化歸轉(zhuǎn)化思想。（Ⅰ）題簡單，求出a、b即可；求解 （Ⅱ）題的關(guān)鍵是如何處理“點(diǎn)P到橢圓C的兩條切 線相互垂直”這句話。首先設(shè)出切線方程，但需要 注意的是，由于用到了點(diǎn)斜式，所以要分兩種情況 討論斜率是否存在。對(duì)于斜率存在的情況，將切線 方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程等一 系列同學(xué)們最為熟悉的操作之后，關(guān)鍵點(diǎn)到 了———兩條切線的兩個(gè)斜率之積等于-1，而兩個(gè) 斜率恰好是方程的兩個(gè)根，于是根據(jù)韋達(dá)定理立 刻得到點(diǎn)P的軌跡方程。

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P、Q兩點(diǎn)， 當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程。

【命題分析】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以 及直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及了函數(shù)方程思想。 （Ⅱ）題求△OPQ的面積的最大值，其本質(zhì)就是先 建立面積關(guān)于某變量（比如斜率）的函數(shù)，然后求 該函數(shù)的最大值。在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求取值 范圍或求最值的問題，它們的本質(zhì)其實(shí)都是函數(shù) 問題。

2.備考建議

數(shù)學(xué)思想方法年年都會(huì)考查，且出題靈活多 變。數(shù)學(xué)被稱為思維的體操，這就要求同學(xué)們必須 養(yǎng)成使用正確的思維方法去思考問題、解決問題的 習(xí)慣，特別是數(shù)形結(jié)合、分類整合、函數(shù)方程、化歸 轉(zhuǎn)化這四大思想，用好了必然事半功倍，而使用的 關(guān)鍵就是養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣和意識(shí)。

三、能力素質(zhì)的重點(diǎn)考查

2014年高考，按照“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重 考查能力”的原則，確立“以能力立意”命題的指導(dǎo) 思想，將知識(shí)、能力與素質(zhì)很好地融為一體，全面檢 測(cè)了考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

能力是指“五能力”和“二意識(shí)”共七種能力 要求?？臻g想象能力是識(shí)圖、畫圖和對(duì)圖形的想 象能力，三種語言之間的互相翻譯是順利解題的 前提；抽象概括能力是在抽象概括的過程中發(fā)現(xiàn) 研究對(duì)象的本質(zhì)；推理論證能力是根據(jù)已知的事 實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題，論證某一數(shù)學(xué)命題 真實(shí)性的初步的推理能力，包括演繹與合情推 理、直接與間接證法；運(yùn)算求解能力是思維能力 和運(yùn)算技能的結(jié)合，主要包括對(duì)數(shù)的筆算、心算、 估值、簡算和近似計(jì)算，對(duì)式的組合與分解變形， 對(duì)幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等；數(shù)據(jù)處理能 力主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)或統(tǒng)計(jì)案例中的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn) 行整理、分析，并解決給定的實(shí)際問題；應(yīng)用意識(shí) 是將客觀事物數(shù)學(xué)化的能力，也即“建?！钡哪芰?和解決現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)；創(chuàng)新意識(shí)是理性思維的 高層次表現(xiàn)，對(duì)于比較新穎的問題情境，要善于 “觀察、猜測(cè)、抽象、概括、遷移、組合、融會(huì)、證 明”，會(huì)解研究型、探索型、開放型的試題。

當(dāng)然了，思維是數(shù)學(xué)的核心，而邏輯又是思 維的核心，所以各種能力都離不開思維，思維能 力（特別是抽象概括能力、推理論證能力）的考查 必然貫穿了全卷，所以每道題目未必是單一地考 查某種能力，而是多種能力的綜合。