毛曉兵

在中學(xué)數(shù)學(xué)，畫圖是解題一個(gè)重要的手段，用畫圖法解題有一大優(yōu)點(diǎn)：它能將應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系揭示出來(lái)，使題意形象具體、一目了然，能夠化繁為簡(jiǎn)、化難為易，使我們能較快地找到解題的途徑。下面就結(jié)合我這幾年的數(shù)學(xué)實(shí)踐教學(xué)，談?wù)勎覍?duì)畫圖解題的感受。

一、畫圖有助于已知條件再現(xiàn)，達(dá)到知識(shí)點(diǎn)的發(fā)散

不管哪類數(shù)學(xué)題目，它的命題構(gòu)造都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，其中題設(shè)部分是由若干已知條件構(gòu)成（見(jiàn)下圖）。在畫圖時(shí)，把每個(gè)已知條件都在圖形中體現(xiàn)出來(lái) ，在腦中形成一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的發(fā)散體系，運(yùn)用類比、歸納、分類討論等數(shù)學(xué)思想全面考慮問(wèn)題，并借助畫圖形打開(kāi)思路。這樣，有效地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力、創(chuàng)新能力，并有助于鞏固和掌握所學(xué)的基本知識(shí)。

二、畫圖有助于數(shù)量關(guān)系再現(xiàn)，使方程構(gòu)造簡(jiǎn)單直接化

解決問(wèn)題的關(guān)鍵，是題目中的已知條件的分析，通過(guò)畫圖，把題目中抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象地顯示出來(lái)，使其一目了然，幫助我們理解題意，進(jìn)而很快地尋找出解題的途徑和方法。

問(wèn)題1. 如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，過(guò)點(diǎn)Q作QR∥BA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)BQ=x，QR=y。

（1） 求點(diǎn)D到BC的距離DH的長(zhǎng)。

（2） 求y關(guān)于x的方程（不要求寫出自變量）。

（3） 是否存在點(diǎn)P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析此類題，它難在第（3）問(wèn)上，做題時(shí)，只要分類畫圖（如圖），注意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程，哪些圖形（如線段、三角形等）隨之運(yùn)動(dòng)變化，即確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中圖形中的變量和不變量。如本題中線段PQ和∠PQR是兩個(gè)不變量，線段BQ、QR是兩個(gè)變量，以及△PQR的形狀也在變化。 用變量x、y表示圖形中變量——線段，找到相等的數(shù)量關(guān)系，建立方程或函數(shù)等數(shù)學(xué)模型，列出方程求解，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

三、畫圖有助于題目隱藏條件的挖掘，使問(wèn)題明了化

在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果能夠根據(jù)已知條件，正確畫出大致圖形，那么根據(jù)圖形的直觀性，有時(shí)能夠使我們對(duì)問(wèn)題茅塞頓開(kāi)，對(duì)結(jié)論一目了然；有時(shí)能夠幫助我們邏輯推理，正確判斷，簡(jiǎn)捷解題。

問(wèn)題2. 已知，如圖，△AOB中，AO=6，AB=8，C為AO上一點(diǎn)（C不與點(diǎn)A、O重合），CD∥BC交AB于點(diǎn)D。

（1）當(dāng)△ACB的面積是四邊形DBOC面積的2倍時(shí)，求AC的長(zhǎng)；

（2）若∠A=90°，在BO上是否存在點(diǎn)P，使得△CDP為等腰直角三角形？若存在請(qǐng)求出CD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：畫圖、想已知、寫結(jié)論、找條件，自然而然地使問(wèn)題明朗化。

四、畫圖有助于分類思想培養(yǎng)，達(dá)到的思維訓(xùn)練的完整性

所謂分類思想 ，就是當(dāng)被研究的問(wèn)題包含多種情況，不能一概而論，必須按可能出現(xiàn)的所有情況分別討論，得出各種情況下的相應(yīng)的結(jié)論，不能重復(fù)、遺漏，注意全面畫圖，分類分析。

問(wèn)題3. 如圖，在由12個(gè)邊長(zhǎng)都為1且有一個(gè)銳角為60°的小菱形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)P是其中的一個(gè)頂點(diǎn)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)作格點(diǎn)直角三角形（即頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的三角形），請(qǐng)你寫出所有可能的直角三角形斜邊的長(zhǎng)___________________.

評(píng)析：這類題型主要以學(xué)生熟悉的、感興趣的圖形為背景，提供觀察和操作的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，確定以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的角有哪些，從而畫出相應(yīng)的圖形，解決問(wèn)題。

五、 畫圖有助于知識(shí)形象理解，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過(guò)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)、數(shù)形的轉(zhuǎn)化，可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、形象性，使問(wèn)題化難為易，化抽象為具體。

問(wèn)題4. 計(jì)算：13+23+33+43+……+293+303

如圖示例，通過(guò)畫圖，構(gòu)造出符合條件的圖形，從而把問(wèn)題解決了。

畫圖雖不是解決數(shù)學(xué)題的萬(wàn)能鑰匙，但它是從形象思維通向抽象思維過(guò)渡的橋梁，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效工具之一，它能在畫圖的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的分析思考、邏輯推理能力。所以，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中多培養(yǎng)學(xué)生的畫圖習(xí)慣，“在畫中思，在圖中得”，使學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)不斷提高。