傅建紅

筆者在運(yùn)用空間向量解決立體幾何中的平面翻折問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)，在建系之后的空間圖形中，底面上各點(diǎn)的坐標(biāo)相對(duì)容易量化，但折起之后，由底面上升到的空間的相應(yīng)點(diǎn)（本文稱之為“折起點(diǎn)”）的坐標(biāo)，有時(shí)難以直接標(biāo)注，而該點(diǎn)卻往往是問(wèn)題的核心之點(diǎn). 一旦坐標(biāo)得以量化，則整個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)隨即“土崩瓦解”. 因此，如何有效量化“折起點(diǎn)”的坐標(biāo)是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵. 筆者探究發(fā)現(xiàn)，在“折起點(diǎn)”坐標(biāo)難以直接標(biāo)注的情況下，采用“先設(shè)后求、以退為進(jìn)”不失為一種有效的方略，即欲求“折起點(diǎn)”坐標(biāo)，先設(shè)其坐標(biāo)為（x，y，z），由該點(diǎn)向底面引垂線（退回平面），垂足的坐標(biāo)即為（x，y，0）（設(shè)底面為xOy平面），通過(guò)翻折問(wèn)題的幾何性質(zhì)解出x，y；然后再返回到“折起點(diǎn)”中（進(jìn)到空間），根據(jù)已知條件或翻折性質(zhì)，求出豎坐標(biāo)z，從而求得“折起點(diǎn)”坐標(biāo). 由于在底面求解x，y時(shí)，須借助翻折問(wèn)題的幾何性質(zhì)，為此，筆者下面先介紹相關(guān)性質(zhì)，然后例談如何具體求出“折起點(diǎn)”坐標(biāo).

平面翻折問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是平面繞軸的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，因此，同一平面在翻折前與翻折后各幾何元素間的位置、大小關(guān)系均保持不變，由此可推出如下性質(zhì)：

性質(zhì)2 如圖1，將△ABC沿直線AB折起至△ABC1，設(shè)折起點(diǎn)C1在△ABC所在平面內(nèi)的射影為H，則HC⊥AB.

證明：因?yàn)镃1H⊥底面ABC，所以AB⊥C1H，又由性質(zhì)1知AB⊥CC1，所以AB⊥平面C1HC，所以AB⊥HC，即HC⊥AB.

性質(zhì)3 如圖1，將△ABC沿直線AB折起至△ABC1，設(shè)P是直線AB上任意一點(diǎn)，則PC1=PC.

證明：因?yàn)镻C1是PC經(jīng)平面翻折之后的線段，所以PC1=PC.

性質(zhì)4 如圖2，四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，∠AEB=∠DEC，將△AEB，△DEC分別沿直線EB，EC折起至△SEB和△SEC，使得A，D重合于S點(diǎn)，設(shè)S在底面ABCD上的射影為O，則O在∠BEC的平分線上.