母德強(qiáng) 范以撒

摘 要：文章深入分析國(guó)內(nèi)外連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的研究現(xiàn)狀，介紹了拓?fù)鋬?yōu)化方法的發(fā)展及實(shí)現(xiàn)過(guò)程中存在的問(wèn)題。對(duì)比分析了均勻化方法，漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法，變密度法的優(yōu)缺點(diǎn)。研究了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象的原因，重點(diǎn)討論了灰度單元，棋盤(pán)格式，網(wǎng)格依賴(lài)性的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，并針對(duì)每一種數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象提出了相應(yīng)的解決辦法。

關(guān)鍵詞：連續(xù)體，拓?fù)鋬?yōu)化，均勻化法，漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法，數(shù)值不穩(wěn)定

0 引言

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的主要對(duì)象是連續(xù)體結(jié)構(gòu)，1981年程耿東和Olhof在研究中指出：為了得到實(shí)心彈性薄板材料分布的全局最優(yōu)解，必須擴(kuò)大設(shè)計(jì)空間，得到由無(wú)限細(xì)肋增強(qiáng)的板設(shè)計(jì)[1]。此研究被認(rèn)為是近現(xiàn)代連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的先驅(qū)。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了大量研究[2]，這些研究大多數(shù)建立在有限元法結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)上，但由于有限元法中單元網(wǎng)格的存在，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中常常出現(xiàn)如灰度單元，網(wǎng)格依賴(lài)性和棋盤(pán)格等數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象[3]。本文介紹了幾種連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法及每種方法存在的問(wèn)題，并提出了相應(yīng)的解決辦法。

1.拓?fù)鋬?yōu)化方法

連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化開(kāi)始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均勻化方法，此后許多學(xué)者相繼提出了漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法、變密度法等拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)建模方法。

1.1.均勻化方法

均勻化方法即在設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)構(gòu)造周期性分布的微結(jié)構(gòu)，這些微結(jié)構(gòu)是由同一種各向同性材料實(shí)體和孔洞復(fù)合而成。采用有限元方法進(jìn)行分析，在每個(gè)單元內(nèi)構(gòu)造不同尺寸的微結(jié)構(gòu)，微結(jié)構(gòu)的尺寸和方向?yàn)橥負(fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量。1988年Bendsoe研究發(fā)現(xiàn) [4]，通過(guò)在結(jié)構(gòu)中引入具有空洞微結(jié)構(gòu)的材料模型，將困難的拓?fù)湓O(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為相對(duì)簡(jiǎn)單的材料微結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化問(wèn)題。

很多學(xué)者發(fā)展了均勻化方法，Suzhk進(jìn)行了基于均勻化方法結(jié)構(gòu)形狀和拓?fù)鋬?yōu)化協(xié)同設(shè)計(jì)[5]。Hassani等全面系統(tǒng)的總結(jié)了基于均勻化理論的拓?fù)鋬?yōu)化理論和算法[6]。該方法的優(yōu)點(diǎn)：數(shù)學(xué)理論嚴(yán)謹(jǐn)，在理解拓?fù)鋬?yōu)化的理論框架方面有重要的意義。缺點(diǎn)：（1）均勻化彈性張量的求解操作繁瑣，內(nèi)部微結(jié)構(gòu)的形狀和方向難以確定。（2）計(jì)算結(jié)果容易產(chǎn)生棋盤(pán)格和多孔材料等數(shù)值不穩(wěn)定性問(wèn)題，可制造性差[7]。

1.2.漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法

漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的設(shè)計(jì)理論與方法，是由謝億民于1993年提出的，主要用于連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。ESO方法通過(guò)逐漸將無(wú)效或低效的材料刪除，實(shí)現(xiàn)連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，避免了多變量數(shù)學(xué)規(guī)劃求解問(wèn)題。ESO方法中主要有三種方法刪除無(wú)效或低效單元。

近年來(lái)ESO由于突出的優(yōu)點(diǎn)而得到迅速的發(fā)展，同時(shí)存在的問(wèn)題也不容忽視。主要優(yōu)點(diǎn)有：不僅可以解決各類(lèi)結(jié)構(gòu)的尺寸優(yōu)化，還可以實(shí)現(xiàn)形狀和拓?fù)鋬?yōu)化；拓?fù)湫问角逦?，迭代過(guò)程在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，可以對(duì)有限元分析結(jié)果進(jìn)行后處理近似得到靈敏度值，且在優(yōu)化過(guò)程中避免二次劃分網(wǎng)格問(wèn)題。缺點(diǎn)是：迭代次數(shù)較多，計(jì)算效率較低，且通用性、數(shù)值穩(wěn)定性差。

1.3.變密度法。

密度法是人為假定單元的密度和材料物理屬性之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，以連續(xù)變量的密度函數(shù)形式表達(dá)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系。變密度法是基于各向同性材料，以每個(gè)單元的相對(duì)密度作為設(shè)計(jì)變量，將結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為材料最優(yōu)分布設(shè)計(jì)問(wèn)題，應(yīng)用優(yōu)化準(zhǔn)則法或數(shù)學(xué)規(guī)化方法來(lái)求解材料最優(yōu)分布設(shè)計(jì)。

1999年Sigrnund等證實(shí)了該方法物理意義的存在性。變密度法主要優(yōu)點(diǎn)有：設(shè)計(jì)變量少；程序?qū)崿F(xiàn)簡(jiǎn)單；以結(jié)構(gòu)重量為目標(biāo)，不存在多目標(biāo)問(wèn)題。不足有：（1）優(yōu)化過(guò)程中存在相對(duì)密度在[0，1]之間單元。對(duì)于中間密度的單元，是否刪除就變得難以抉擇；（2）以柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)，在解決含有強(qiáng)度和剛度約束的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)不夠方便。

2.拓?fù)鋬?yōu)化中數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象及其解決方法

2.1.灰度單元

灰度單元是在優(yōu)化結(jié)構(gòu)中大量存在密度介于0-l之間的單元，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果難以確切的給出拓?fù)錁?gòu)型，從而使優(yōu)化結(jié)果難以在工程實(shí)際中應(yīng)用。存在灰度單元的根本原因是連續(xù)模型同原離散模型的逼近問(wèn)題，灰度單元主要存在于SIMP等變密度法中，兩種主要解決辦法：（1）加大SIMP模型中的懲罰因子，隨著懲罰因子的增大，使設(shè)計(jì)變量的值越來(lái)越接近于拓?fù)鋬?yōu)化特征函數(shù)期望的值。（2）濾波半徑過(guò)大會(huì)產(chǎn)生灰度單元，合理確定濾波半徑的值，可以抑制灰度單元的生成。

2.2.棋盤(pán)格式

棋盤(pán)格式是指結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程中單元材質(zhì)密度周期性高低分布，拓?fù)涑尸F(xiàn)為黑白相間，如同棋盤(pán)。Bendsoe認(rèn)為，棋盤(pán)格式的出現(xiàn)與優(yōu)化問(wèn)題解的存在性以及有限元近似的收斂性密切相關(guān)，是連續(xù)問(wèn)題的解以弱收斂方式逼近原離散問(wèn)題的真實(shí)解時(shí)出現(xiàn)的一種現(xiàn)象。為了獲得清晰的圖形，一些解決的方法如：（1）靈敏度過(guò)濾技術(shù)（2）采用較為穩(wěn)定的有限元模式，改變優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的泛函，使優(yōu)化過(guò)程趨于順暢。（3）Kikuchi等提出 使用“超參元”，可以在一定程度上抑制棋盤(pán)格。

2.3.網(wǎng)格依賴(lài)性

網(wǎng)格依賴(lài)性是指拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算結(jié)果與計(jì)算區(qū)域的網(wǎng)格密度有關(guān)，選擇不同的網(wǎng)格密度，可能會(huì)產(chǎn)生不同的優(yōu)化結(jié)果，且隨著網(wǎng)格的剖分密度增加，優(yōu)化結(jié)果的幾何復(fù)雜性增加，幾何尺寸逐步減小。網(wǎng)格依賴(lài)性使得計(jì)算結(jié)果的可制造性下降。

3.總結(jié)

文章對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化的方法、優(yōu)化時(shí)存在的問(wèn)題及解決問(wèn)題辦法進(jìn)行了分析。通過(guò)分析可知拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的理論和技術(shù)需要進(jìn)一步的發(fā)展。在應(yīng)用研究中不斷拓展和延伸優(yōu)化研究的廣度和深度，將是拓?fù)鋬?yōu)化研究工作的必然發(fā)展方向。

參考文獻(xiàn)：

[1]Cheng K T， Olhoff N. An investigation concerning optimal design of solid elastic plates [J]. International Journal of Solids and structures， 1981， 17（3）： 305-323.

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[3]Bendsoe M P， Sigmund O. Topology Optimization： Theory， methods， and applications [M]. New York： Springer， 2003.