徐瑾輝 馬超

【摘要】在各類社交網(wǎng)站是信息傳播的有利平臺這一現(xiàn)實條件下，我們利用該實際問題與傳染病傳播模型的相似性，以及其本身傳播方式與樹狀圖的共性，結(jié)合以常微分方程為主體算式的計算方法，對這一問題進行了深入探討。因此，本文建立了以傳染病傳播模型為基礎(chǔ)，以實際應(yīng)用問題為背景的模型改良。通過運用以上改良的模型，我們建立起了一套完整計算“從第一人發(fā)布信息起，在有限日的時間內(nèi)，獲取消息的人數(shù)”的算法。

【關(guān)鍵詞】傳播速度;結(jié)點;傳染病傳播模型;數(shù)據(jù)背景;印象度

1.問題的引入與分析

為了更合理的描述這個問題，我們引入一個例子，并以此為例提出解決方案。我們假設(shè)一家企業(yè)想利用社交網(wǎng)絡(luò)在奧運會期間進行企業(yè)宣傳，假設(shè)現(xiàn)在距離奧運會開幕還有100 天，一個社交網(wǎng)絡(luò)的專業(yè)推廣者平均每天可以新增500個粉絲，這些粉絲會把推廣者發(fā)布的和奧運會相關(guān)的所有信息都分享給自己的粉絲們，普通網(wǎng)絡(luò)用戶平均每天可以新增20個粉絲。

根據(jù)以上條件預測奧運會開始后，一條含有企業(yè)廣告的奧運會新聞可以被多少人觀看到？

2.基本假設(shè)

為了切入的方便，我們特提出如下假設(shè)，其中的部分假設(shè)會在模型檢驗的步驟中加以去除。

（1）消息的傳播不會經(jīng)過一層就斷掉（也就是說，在社交網(wǎng)絡(luò)專業(yè)推廣者以下的各層直接或間接粉絲中，接收消息的人可以成為傳播消息的人）

（2）粉絲的重復問題，由于重復的粉絲數(shù)在巨大的網(wǎng)絡(luò)下很小，所以重復率很低，暫不考慮。

（3）從收到消息到傳播消息中間的時間忽略不計。

（4）傳播信息的過程中不考慮傳播者傳播的主觀因素。

（5）假設(shè)在該社交平臺上專業(yè)推廣者（即網(wǎng)絡(luò)推手）只有1人，且其個人社交平臺的實際運營時間為0，粉絲基數(shù)為0。

（6）假設(shè)該社交網(wǎng)站所有用戶每天所發(fā)布的信息都會在當天被其粉絲看到。7、該社交網(wǎng)站在所有時間段的平均人流量均相等。

（7）本文中所指的社交網(wǎng)站以推特網(wǎng)（Twi-tter）為例子，假定總用戶人數(shù)為5億人。（見參考文獻[1]）

（8）假設(shè)若A是B的粉絲，則B所發(fā)布的消息必然會被A看到，而A看到后必然會轉(zhuǎn)發(fā)給A的粉絲。

備注：可能會存在死亡節(jié)點與爆炸性節(jié)點的問題。死亡結(jié)點指該消息傳到某粉絲處時停止傳播（如僵尸粉）;爆炸性結(jié)點指該消息傳播到某粉絲處時，由于該粉絲的傳播立即得到極大規(guī)模粉絲的傳播，造成了極大地影響力（如名人）。

3.符號約定

N：該社交網(wǎng)站平臺擁有的用戶總?cè)藬?shù)（以Twitter為例子，其中N=5億[1]）

t： 傳播時間

s（t）：未了解該消息的各層粉絲所占該社交網(wǎng)絡(luò)平臺所有用戶數(shù)目的比例

i（t）：已經(jīng)知道該消息的人所占該社交網(wǎng)絡(luò)平臺所有用戶數(shù)目的比例

a（t）：專業(yè)的社交推廣者所占該社交網(wǎng)絡(luò)平臺所有用戶數(shù)目的比例

b（t）：其他知道該信息的粉絲所占該社交網(wǎng)絡(luò)平臺所有用戶數(shù)目的比例

V：該模型整體的傳播速度

E：總影響力

n：該連接網(wǎng)絡(luò)上級與下級所構(gòu)成的單向傳遞方式連接數(shù)目的總和

ρ：該連接網(wǎng)絡(luò)上級與下級所構(gòu)成的單向傳遞方式的強度大小

4.原理與模型

4.1 概念的引入

在這里，我們引入一個新的概念：體傳播速度，我們用v來表示。我們給他下一個定義：個體傳播速度指一條消息在兩個用戶間傳播的快慢。有了傳播速度的制約，這樣一來，就避免了信息在瞬間覆蓋整個社交網(wǎng)站的無限傳播狀況。制約個體傳播速度的因素有以下三點：

（1）原材料的屬性。各種不同的消息有著不同的屬性。原材料的屬性決定著傳播速度。在普羅大眾的這一角度，由于消息只有一則，則原材料的屬性的數(shù)值是不變化的，可以看作一個常數(shù)。

（2）該連接網(wǎng)絡(luò)上級與下級所構(gòu)成的單向傳遞方式連接數(shù)目的總和，簡稱連接數(shù)目。符號為n。在這個“樹狀圖-核裂變反應(yīng)模式”模型中，作用類似于“樹枝”的連接數(shù)目也起著至關(guān)重要的作用。在上層，假設(shè)斷了一支，則傳播相同消息給相同的人數(shù)需要遠多于之前的時間，且這一時間隨著層數(shù)的遞減呈指數(shù)爆炸形的增長。

（3）該連接網(wǎng)絡(luò)上級與下級所構(gòu)成的單向傳遞方式的強度大小，簡稱連接強度。符號為ρ（0≤ρ<1）。定義如下：它指的是下一層粉絲的實際影響力。也就是說，下一層粉絲所構(gòu)成的一個影響直接導致了連接強度。我們將n在強度ρ下的加權(quán)稱為該用戶的總影響力E，即：

為第j條連接的強度。

通過以上幾點，我們?nèi)菀字?，V有穩(wěn)定性，不變性的特點，且根據(jù)我們的分析，V最終只由E決定，且與E呈正相關(guān)趨勢。這樣我們可以得到一個函數(shù)v=f（E）。不過我們并不需要計算出f具體的表達式。我們僅僅需要f的這樣一條性質(zhì)：f在R+上是連續(xù)的，且是嚴格增函數(shù)。這樣，我們所引入f的全部力量，則是為了下一個概念的引入：整體傳播速度V。

根據(jù)之前的假設(shè)與符號約定，我們定義整體傳播速度為：

當v=f（E）中的f具有我們之前所討論的性質(zhì)之時，顯然有存在且有意義。這其中的理論證明將不再贅述。

4.2 構(gòu)造模型所需要的函數(shù)

其實我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，該模型的傳遞方式類似于傳染病的傳播方式，廣告的傳遞者可以看為病人，而沒有看到廣告的用戶可以看作是健康人。同時，廣告的傳遞者每天新增的粉絲數(shù)可以看作是病人每天有效接觸的人數(shù)。因此，廣告在社交網(wǎng)絡(luò)中的傳播可以看作是一種傳染病的傳播模型（SI模型，見參考文獻[2]）：

假設(shè)：

（1）區(qū)分感染者（病人）與未感染者（健康人），其占總體的比例分別為i（t）與s（t）。

（2）總?cè)藬?shù)為N且不變。

（3）每個病人每天有效接觸人數(shù)為λ，且使健康人致病。

那么可以列出方程：

其中：

進一步，令，則有：

與傳統(tǒng)的傳染病數(shù)學模型不同的是，原論題中存在著兩種相當于“病人”的角色：（1）專業(yè)推廣者;（2）看到消息的普通用戶。因此一種很自然的想法是，將病人比例函數(shù)i（t）分為兩個部分：專業(yè)推廣者比例函數(shù)a（t）以及看到消息的普通用戶的比例函數(shù)b（t）.所以，我們可以列出以下微分方程算式，進行求解。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

求解，得到這樣一條微分方程：

（7）

其中a=-20， b= 19.99999904，c=0.00000096

與傳統(tǒng)的傳染病數(shù)學模型的另一點不同是，原論題中并沒有對傳播速度加以限定。但通過上一節(jié)中對于消息傳播速度的定義以及其詳盡討論，我們可以保證微分方程（7）左端的存在且有意義。這樣一來，本題就轉(zhuǎn)化為了對于方程（7）的求解。

4.3 模型的求解

我們首先對方程（7）中的i（t）進行求解。應(yīng)用MATLAB進行求解的最終表達式為：

i（t）=-（b-tan（（（t+（2atan（（a/250000000+b）/（4ac-b2）0.5））/（4ac-b2）0.5）*（4ac-b2）0.5） /2）*（4ac- b2）0.5）/（2a） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

這樣，問題即劃歸為求解i（100）的數(shù)值;

進一步修改方程（1）為：

（9）

同時根據(jù)我們之前的假設(shè)，Twitter總用戶人數(shù)為5億人，那么理論上只要覆蓋這5億人中的百分之四十，即可覆蓋2億的潛在用戶中的百分之四十。

4.4 模型的數(shù)學分析

我們通過MATLAB對進行計算，得出一個驚人結(jié)論：。即：在第100天到來時，幾乎整個Twitter上的用戶都可以看到該公司的廣告。這說明，在不限制速度的條件下，第二天所有該社交網(wǎng)絡(luò)上的客戶就可以看到該信息。現(xiàn)在我們加入一些限定條件，在下一節(jié)對模型進行進一步修改。

4.5 模型的檢驗與修正

通過對模型的檢驗，我們發(fā)現(xiàn)在實際問題中，存在一些與假設(shè)所矛盾的條件。通過一定的計算，現(xiàn)在對模型進行一定的修改。

（1）引入“粉絲基數(shù)”的概念

我們引入新的概念“粉絲基數(shù)”，并為它下個定義：粉絲基數(shù)指傳播消息的個人用戶在傳播消息之前本來擁有的粉絲數(shù)目。我們可以把粉絲基數(shù)分為兩大類：第一類指的是推廣者的粉絲基數(shù)，這就意味著推廣者在推廣之前存在著一定的粉絲數(shù)目，這個粉絲數(shù)目與其個人社交平臺的實際運營時間呈現(xiàn)正相關(guān)的關(guān)系。由于推廣者的影響力很大，所以其基數(shù)應(yīng)該在平均值之上;第二類指的是被推廣者的粉絲基數(shù)。這類被推廣者的條件絕大部分都符合一般個人用戶所擁有的條件，其粉絲基數(shù)應(yīng)在總平均值上下取整浮動，且絕大部分都集中在中間的區(qū)間內(nèi)。這就類似于正態(tài)分布“中間高，兩頭低”的分布效果。

當然，在具體的數(shù)學處理手法上，引入“粉絲基數(shù)”并不會實質(zhì)性改變模型的結(jié)構(gòu)，因為修改后的模型可以看作是：

當t=1時參數(shù)λ取粉絲基數(shù);

當t>1時直接利用“粉絲基數(shù)=0”的模型。

（2）引入“有效用戶”以及“有效率”的概念

由于里面存在一些非惡意的注冊，一些用戶可能因為某種特殊原因關(guān)注了一些自己關(guān)注的人之后，就沒有進行登錄?；蛘咴谥虚g曾經(jīng)登錄，但是在消息傳播的這100天中沒有登錄。當然，他們也有一定的粉絲數(shù)目。這是他們與僵尸粉的本質(zhì)區(qū)別。但是，由于他們無法對信息進行一定的傳遞，所以與之相反的，所有可以接收消息并對進行對消息下一層傳遞的個人用戶，我們稱為“有效用戶”。所以，當我們對一個個人用戶的粉絲進行分類時，可以分為僵尸粉和正常粉兩類。正常粉中又可以分成有效用戶與無效用戶兩類。那么在這里同樣引入“有效率”的概念：即有效人數(shù)占其粉絲總數(shù)的百分比。在正常的信息傳遞中，有效用戶及有效率這兩個概念是不可忽略的，他們決定著信息是否可以通過正常的方式進行傳播。當然，在數(shù)據(jù)中也有一些“空值”，但是很明顯的是，這些空值的數(shù)量非常非常小，所以對數(shù)據(jù)分析并不造成任何決定性的影響。

（3）具有影響力的個人賬戶的運營時間

由于這些個人社交網(wǎng)站（如：Twitter）從成立到如今的運營時間并不長，很明顯，名人的注冊時間距離現(xiàn)在也并不會遙遠。當然，因為有了名人的注冊效應(yīng)，在某種程度上才會吸引大批草根網(wǎng)民進行注冊。所以所有名人的平均個人社交運營時間應(yīng)該在該網(wǎng)站產(chǎn)生大量注冊的時間點稍微往前一點到傳播該奧運會新聞的時間。當然，名人注冊的多了，網(wǎng)站就會進行名人的“實名認證”服務(wù)。在推出這項服務(wù)的時候，我們有理由相信已經(jīng)有名人開始注冊。所以它的實際運營時間應(yīng)該就在該時間段。以Twitter為例，根據(jù)資料，開始名人實名認證的時間應(yīng)該在2009年6月[3]。所以這基本確定了該具有影響力的個人社交平臺的實際運營時間。到倫敦奧運會距離約3年。

（4）粉絲類型的分層

按照我們開始的假設(shè)，所有粉絲是平均分布的。但是，在實際情況下，這是不科學的，因為在實際情況中，就我們自己而言，我們認識的普通朋友多，名人少。且極少情況與名人產(chǎn)生互粉效應(yīng)。所以得知粉絲類型的分層以及比例對了解新聞的傳播有著至關(guān)重要的作用。

參考文獻

[1]“統(tǒng)計稱Twitter人數(shù)已突破五億大關(guān)”[OL].http：//www.199it.com/archives/tag/twitter%E6%B3%A8%E5%86%8C%E7%94%A8%E6%88%B7%E6%95%B0，2012-02-25.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.P136-P144.

[3]互聯(lián)網(wǎng)“Twitter推出名人賬號驗證服務(wù)”[OL].http：//www.cnii.com.cn/20080623/ca558675.html.2009-06-08.