顧海東 閆統(tǒng)江

【摘要】利用社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析方法，研究國際數(shù)學(xué)領(lǐng)域作者合作關(guān)系。選擇以著名數(shù)學(xué)家Paul Erd?s為核心的龐大的國際數(shù)學(xué)家合著網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行實(shí)證研究。構(gòu)建可視化合著網(wǎng)絡(luò)以研究國際數(shù)學(xué)領(lǐng)域的合著現(xiàn)象。通過實(shí)證研究，揭示出國際數(shù)學(xué)領(lǐng)域作者合著網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)現(xiàn)狀，評價(jià)了數(shù)學(xué)家在合著網(wǎng)絡(luò)中的地位，指出了合著網(wǎng)絡(luò)中核心作者，發(fā)現(xiàn)了合著網(wǎng)絡(luò)中的聯(lián)系緊密的團(tuán)體。

【關(guān)鍵詞】社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析 數(shù)學(xué) 合著網(wǎng)絡(luò) 可視化

Study of Co-authorship of International Mathematicians Based on Social Network Analysis

China University of Petroleum（East China），College of Science，Department of Computational and Applied Mathematics ?GU Hai-dong ?YAN Tong-jiang

Abstract：This paper is focus on the status of the collaboration in the international mathematics field by using the method of social network analysis. Choose the enormous international mathematician coauthoring network centering the notable mathematician Paul Erd?s to study. Build visualizable coauthoring network to study the international mathematical coauthoring phenomenon. Through the study，it reveals the features and the status of the coauthoring network，evaluates the status of mathematician in the network，distinguishes key authors in the network，and discovers several subgroups with close links between their members.

Key words：Social Network Analysis;Mathematics;Coauthoring network Visualization

1.引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)蓬勃發(fā)展，學(xué)科專業(yè)化程度越來越高，一些前沿尖端問題的解決往往需要跨學(xué)科跨領(lǐng)域的專家合作。國際科研合作日趨頻繁，其中的一個(gè)重要標(biāo)志就是論文合著現(xiàn)象向多角度，多領(lǐng)域的延伸。因此，對現(xiàn)代科研領(lǐng)域合著現(xiàn)象的研究無疑有助于更好地了解現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展趨勢。

研究合著現(xiàn)象，其本質(zhì)就是研究作者之間的關(guān)系，而社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析方法正是以研究關(guān)系見長的一種方法。本文擬采用社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析方法，分析以20世紀(jì)數(shù)學(xué)家、最偉大的學(xué)者共同作者Paul Erd?s為核心的龐大的國際數(shù)學(xué)家合著網(wǎng)絡(luò)，以研究近現(xiàn)代國際數(shù)學(xué)領(lǐng)域的合著現(xiàn)象。Erd?s作為合作者的角色在數(shù)學(xué)領(lǐng)域很驚人，體現(xiàn)在他龐大復(fù)雜的合著者網(wǎng)絡(luò)（見網(wǎng)站http：//www.oakland.edu/enp/）。

2.研究方法

2.1 數(shù)據(jù)來源

本文選擇以Paul Erd?s為核心的龐大的國際數(shù)學(xué)家合著網(wǎng)絡(luò)，以研究國際數(shù)學(xué)領(lǐng)域的合著現(xiàn)象。數(shù)據(jù)來源是奧克蘭大學(xué)（OAKLAND UNIVERSITY）Erd?s數(shù)工程項(xiàng)目（見網(wǎng)站http：//www.oakland.edu/enp/），該工程專門研究國際數(shù)學(xué)家之間的合作。原始數(shù)據(jù)來自Erd?s1文件（見網(wǎng)站https：//files.oakland.edu/users/grossman/enp/Erdos1.html）。 Erd?s1文件列出了511位Erd?s數(shù)為1的數(shù)學(xué)家（與Erd?s直接合作過的數(shù)學(xué)家）及其合作者的姓名。

2.2 研究工具

為了是社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析更簡單易行，很多學(xué)者都致力于開發(fā)應(yīng)用于社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析的軟件或程序。社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析軟件有多種，在國際社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析網(wǎng)（INSNA）的網(wǎng)站上列出的可用于社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析的程序/軟件多達(dá)54種[1]。其中一些是可視化軟件，用于對社會(huì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行可視化，一些具有分析的功能。中國社會(huì)科學(xué)院社會(huì)學(xué)研究所主辦的中國社會(huì)學(xué)網(wǎng)（http：//www.sociology.cass.cn/）的“研究工具”專欄列出了一些常用的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析軟件[2]，主要包括：KrackPlot、STRUCTURE、GEGOPY、Pajek、Stocnet和UCINET等。其中，UCINET是研究者使用較多的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析軟件。

論文作者合著研究所形成的網(wǎng)絡(luò)具有復(fù)雜性網(wǎng)絡(luò)的特性，這種特性可以通過具有交互性、多維性和可視性的可視化技術(shù)生動(dòng)、形象地呈現(xiàn)出來[3]。UCINET軟件集成了NETDRAW，MAGE，PAJEK三種可視化方法。本文的數(shù)據(jù)分析主要是通過UCINET軟件完成的。

3.研究結(jié)果分析

3.1 Erd?s數(shù)為1的數(shù)學(xué)家合著網(wǎng)絡(luò)

本文在構(gòu)建合著網(wǎng)絡(luò)時(shí)，用1表示兩位作者之間存在合著關(guān)系，用0表示兩位作者之間不存在合著關(guān)系[4]。對Erd?s1文件進(jìn)行數(shù)據(jù)提取，建立由511位Erd?s數(shù)為1的數(shù)學(xué)家構(gòu)成的合作關(guān)系網(wǎng)絡(luò)。表1是構(gòu)建的Erd?s數(shù)為1的數(shù)學(xué)家合著網(wǎng)絡(luò)的矩陣的部分。

本文采用的是UCINET中的NETDRAW方法，通過該方法把511位Erd?s數(shù)為1的數(shù)學(xué)家間的合著情況以網(wǎng)絡(luò)圖的方式呈現(xiàn)出來，圖1即為這511位數(shù)學(xué)家間的合作網(wǎng)絡(luò)圖，該圖是點(diǎn)度中心度作為衡量指標(biāo)呈現(xiàn)出來的，及點(diǎn)度中心度越大的作者，他的節(jié)點(diǎn)就越大。

3.2 確定核心作者群

由于構(gòu)建的Erd?s數(shù)為1的數(shù)學(xué)家合著網(wǎng)絡(luò)十分龐大復(fù)雜，且不便于分析，也無法突出重點(diǎn)。為了更直觀的觀察數(shù)學(xué)領(lǐng)域的合作情況，需要對511位合作作者做進(jìn)一步的限定，以期觀察數(shù)學(xué)領(lǐng)域中較為重要的作者和合作團(tuán)體的特點(diǎn)。所以，本文選取Erd?s數(shù)為1的數(shù)學(xué)家中的核心作者。根據(jù)普賴斯定律：在同一主題中，半數(shù)的論文是一群高生產(chǎn)力作者所寫，這一作者集合數(shù)量約等于全部作者總數(shù)的平方根。511位數(shù)學(xué)家中，最高發(fā)文量為361篇。根據(jù)公式（1）可以得出數(shù)學(xué)領(lǐng)域核心作者最低發(fā)文數(shù)。

（1）

式中：m為核心作者中最低產(chǎn)作者發(fā)表論文數(shù);為核心作者中最高產(chǎn)作者發(fā)表論文數(shù)。

在Erd?s數(shù)為1的數(shù)學(xué)家群體中，=361，計(jì)算出核心作者的發(fā)表文獻(xiàn)數(shù)量在15以上，因此可以定義發(fā)表文獻(xiàn)數(shù)量在15以上的作者為核心作者共有362位[5]。用UCINET中NETDRAW方法把511位Erd?s數(shù)為1的數(shù)學(xué)家中的核心作者間的合著情況以網(wǎng)絡(luò)圖的方式呈現(xiàn)出來，圖2即為這362位核心作者間的合作網(wǎng)絡(luò)圖，該圖是點(diǎn)度中心度作為衡量指標(biāo)呈現(xiàn)出來的，及點(diǎn)度中心度越大的作者，他的節(jié)點(diǎn)就越大。

3.2.1 核心-邊緣結(jié)構(gòu)分析

在UCINET中進(jìn)行核心-邊緣結(jié)構(gòu)分析的菜單路徑為Network>Core/Peripher y>Categorical。

核心-邊緣結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果將60位數(shù)學(xué)家置于核心位置，另外451位數(shù)學(xué)家置于邊緣位置。核心數(shù)學(xué)家作者群中，發(fā)表文獻(xiàn)數(shù)量最多的作者發(fā)表了361篇文獻(xiàn)，最少的僅發(fā)表了15篇文獻(xiàn)。而由普賴斯定律，這60位數(shù)學(xué)家也被認(rèn)為是核心作者。綜合普賴斯定律和核心-邊緣結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果，這60位數(shù)學(xué)家是真正的核心作者。

用UCINET中NETDRAW方法把511位Erd?s數(shù)為1的數(shù)學(xué)家中的真正核心作者間的合著情況以網(wǎng)絡(luò)圖的方式呈現(xiàn)出來，圖3即為這60位真正核心作者間的合作網(wǎng)絡(luò)圖，該圖是點(diǎn)度中心度作為衡量指標(biāo)呈現(xiàn)出來的，及點(diǎn)度中心度越大的作者，他的節(jié)點(diǎn)就越大。

3.2.2 中心性分析

（1）點(diǎn)度中心性

UCINET中進(jìn)行點(diǎn)度中心性分析的菜單路徑為Network>Centrality>Degree。下表是利用UCINET對60位真正的核心作者的合著網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行點(diǎn)度中心性分析的結(jié)果。由于篇幅關(guān)系，僅列出部分結(jié)果，下同。

表2 點(diǎn)度中心度排名

Ranking Name Degree Nrm Degree Share

1 ALON，NOGAM. 35.000 59.322 0.041

2 RODL，VOJTECH 30.000 50.847 0.035

3 FUREDI，ZOLTAN 28.000 47.458 0.033

4 GRAHAM，RONALDLEWIS 28.000 47.458 0.033

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59 KLUGERMAN，MICHAEL RICHARD 5.000 8.475 0.006

60 POMERANCE，CARLBERNARD 5.000 8.475 0.006

在表2中Degree那一列是絕對點(diǎn)度中心度，NrmDegree那一列是相對點(diǎn)度中心度。從結(jié)果可以看出，點(diǎn)度中心度最高的是ALON，NOGAM，其絕對點(diǎn)度中心度是35。根據(jù)點(diǎn)度中心度的定義，表明其與網(wǎng)絡(luò)中其他35個(gè)結(jié)點(diǎn)有直接聯(lián)系，也就是說，ALON，NOGAM曾與35位數(shù)學(xué)家合作發(fā)表過論文。絕對點(diǎn)度中心度的最低值是5。

表3是這60位核心數(shù)學(xué)家作者發(fā)表論文數(shù)量排名。對比點(diǎn)度中心度排名（表2）和發(fā)表論文數(shù)量排名（表3），發(fā)現(xiàn)兩者具有很大的相似性，說明發(fā)表論文數(shù)量比較多的作者和他人的合作也比較頻繁。

表3 發(fā)表論文數(shù)量排名

Ranking Name papers

1 ALON，NOGAM 361

2 HARARY，F(xiàn)RANK* 316

3 TUZA，ZSOLT 177

4 GRAHAM，RONALDLEWIS 177

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59 SARKOZY，GABORN 15

60 KLUGERMAN，MICHAELRICHARD 13

但是，點(diǎn)度中心性僅僅考慮的是一個(gè)作者與其他作者之間的直接聯(lián)系，而忽視了他與整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中所有作者的聯(lián)系。也就是說，即使一個(gè)作者與其他很多作者都有直接聯(lián)系，但是和這個(gè)作者有直接聯(lián)系的作者和其他作者都沒有什么聯(lián)系，即使這個(gè)作者有很高的點(diǎn)度中心度，但是這種情況只存在于“本地”網(wǎng)絡(luò)中。從整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的角度看，點(diǎn)度中心性的意義就不是很大了[6]。

（2）中間中心性

在UCINET中進(jìn)行中間中心性分析的菜單路徑是Network>Centrality>Free

man Betweenness>Node Betweenness。下表是利用UCINET對60位真正的核心作者的合著網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行中間中心性分析的結(jié)果。

表4 中間中心度排名

Ranking Name Betweenness nBetweenness

1 ALON，NOGAM. 347.797 10.164

2 GRAHAM，RONALDLEWIS 201.608 5.892

3 FUREDI，ZOLTAN 188.937 5.521

4 PACH，JANOS 171.863 5.022

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59 CHEN，GUANTAO 0.762 0.022

60 KLUGERMAN，MICHAELRICHARD 0.000 0.000

從表4可以看出，中間中心度最高的是ALON NOGAM，其次是 GRAHAM RONALDLEWIS 和FUREDI ZOLTAN等人。這些作者的中間中心性比較高，說明他們掌握了比較多的研究資源。同時(shí)，結(jié)果表明，有一部分作者的中間中心度接近0，這些作者幾乎不具備控制資源的能力。統(tǒng)計(jì)排序這60位真正核心作者的中間中心度，發(fā)現(xiàn)是均勻遞增的，最高和最低相差比較大。說明這60位作者控制資源的能力良莠不齊。

（3）接近中心性

計(jì)算接近中心性時(shí)，網(wǎng)絡(luò)必須是完全連通圖，及每個(gè)結(jié)點(diǎn)都和網(wǎng)絡(luò)中其他所有結(jié)點(diǎn)有聯(lián)系。因此，在計(jì)算接近中心性之前，我們必須先進(jìn)行成分分析，因?yàn)槌煞质蔷W(wǎng)絡(luò)中最大的連通子圖。

在UCINET中進(jìn)行成分分析的菜單路徑是Network>Regions>Components

>Simple graph。

通過對合著網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行成分分析，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)只有一個(gè)成分，及整個(gè)網(wǎng)絡(luò)就是一個(gè)完全連通圖，所以可以直接計(jì)算接近中心度。

在UCINET中進(jìn)行接近中心性分析的菜單路徑是Network>Centrality>

Closeness。下表是利用UCINET對60位真正的核心作者的合著網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行接近中心性分析的結(jié)果。

從表5可以看出，ALON NOGAM的接近中心度值最小，說明他能以最短的路徑到達(dá)其他作者，在網(wǎng)絡(luò)中處于比較核心的地位。

綜上，比較表2至表5，可以發(fā)現(xiàn)接近中心性和中間中心性分析指數(shù)都比較高的作者是和比較多的作者合作過并且發(fā)表論文數(shù)量較多的學(xué)者。

表5 接近中心度排名

Ranking Name In Farness Out Farness

1 ALON，NOGAM. 83.000 83.000

2 RODL，VOJTECH 88.000 88.000

3 FUREDI，ZOLTAN 90.000 91.000

4 GRAHAM，RONALDLEWIS 91.000 ? 91.000

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59 SCHULMAN，LEONARDJ.Y. 136.000 136.000

60 KLUGERMAN，MICHAELRICHARD 140.000 140.000

ALON NOGAM的點(diǎn)度中心度最高，說明與他有合著關(guān)系的數(shù)學(xué)家也是最多的。他在中間中心性和接近中心性分析結(jié)果中都位居第一，其發(fā)表論文數(shù)量也位于第一位。ALON NOGAM是著名的以色列數(shù)學(xué)家，在組合數(shù)學(xué)和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域做出卓越貢獻(xiàn)，曾獲得Erd?s獎(jiǎng)、Feher獎(jiǎng)、Pólya獎(jiǎng)、G?del獎(jiǎng)等國際著名獎(jiǎng)項(xiàng)。

RODL VOJTECH的點(diǎn)度中心度第二高，及與他合作的數(shù)學(xué)家數(shù)量第二多。他在接近中心性分析中排第二，在中間中心性分析中排第五。RODL VOJTECH是杰出的捷克數(shù)學(xué)家，他在組合數(shù)學(xué)領(lǐng)域享有盛譽(yù)，曾獲得Pólya獎(jiǎng)。

FUREDI ZOLTAN在點(diǎn)度中心性分析，中間中心性分析和接近中心性分析中均排名第三。FUREDI ZOLTAN是知名的匈牙利數(shù)學(xué)家，在分形幾何和組合數(shù)學(xué)均有建樹，同時(shí)是匈牙利科學(xué)院院士。

GRAHAM RONALDLEWIS在點(diǎn)度中心性分析和接近中心性分析中排第四，在中間中心性分析中排第二，發(fā)表論文數(shù)量排名第三。GRAHAM RONALDLEWIS美國著名數(shù)學(xué)家，在排程理論、拉姆齊理論、計(jì)算幾何學(xué)和低差異數(shù)列均有建樹。他曾經(jīng)是美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)主席，AT&T首席科學(xué)家。2003年榮獲美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)頒發(fā)的Steele獎(jiǎng)。

3.2.3 凝聚子群分析

利用UCINET中的CONCOR法進(jìn)行凝聚子群分析。CONCOR是一種迭代相關(guān)收斂法（convergent correlation）。經(jīng)過多次迭代計(jì)算之后，CONCOR利用樹形圖表達(dá)各個(gè)位置之間的結(jié)構(gòu)對等性程度，并且標(biāo)記出各個(gè)位置擁有的網(wǎng)絡(luò)成員。

下圖4就是利用UCINET中的CONCOR法得到的凝聚子群樹形圖。

由圖4可以清楚的看出60位Erd?s數(shù)為1的真正核心作者被分成8個(gè)小團(tuán)體。

團(tuán)體1，AJTAI，MIKLOS;SZEMEREDI，ENDRE;SERESS，AKOS;BABAI，LASZLO;HAJNAL，ANDRAS;SOS，VERATURAN;STRAUS，ERNSTGABOR;LINIAL，NATHAN;LOVASZ，LASZLO;CHVATAL，VACLAV（VASEK）;ROTHSCHILD，BRUCELEE;RUZSA，IMREZ;KOMLOS，JANOS;SARKOZY，ANDRAS;SIMONOVITS，MIKLOS。

絕大部分都是匈牙利數(shù)學(xué)家，研究領(lǐng)域集中在組合數(shù)學(xué)和圖論。其中大部分匈牙利數(shù)學(xué)家都在匈牙利科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所工作學(xué)習(xí)過。

團(tuán)體2，WINKLER，PETERMANN;GRAHAM，RONALDLEWIS;

TROTTER，WILLIAMTHOMAS，JR;ALON，NOGAM;SPENCER，

JOELHAROLD;SAKS，MICHAELEZRA;FISHBURN，PETERC;FUREDI，ZOLTAN;CHUNG，F(xiàn)ANRONGKING（GRAHAM）;ODLYZKO，ANDREWMICHAEL;TETALI，PRASAD;FRANKL，PETER。

絕大部分是美國數(shù)學(xué)家，研究領(lǐng)域集中在組合數(shù)學(xué)和離散數(shù)學(xué)。他們大多來自美國東海岸和西海岸的高校，如哈佛大學(xué)，麻省理工學(xué)院，紐約大學(xué)，普林斯頓大學(xué)，賓夕法尼亞大學(xué)，羅格斯大學(xué)，佐治亞理工學(xué)院，加州理工學(xué)院，加州大學(xué)伯克利，加州大學(xué)洛杉磯和加州大學(xué)圣地亞哥等。GRAHAM，RONALDLEWIS，CHUNG，F(xiàn)ANRONGKING（GRAHAM），TROTTER，WILLIAMTHOMAS，JR和SPENCER，JOELHAROLD等人都在拉姆齊理論方面有深入研究。值得一提的是GRAHAM，RONALDLEWIS和CHUNG，F(xiàn)ANRONGKING（中國臺灣）是夫妻，二人都在加州大學(xué)圣地亞哥任教。GRAHAM，RONALDLEWIS曾任美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)主席，被授予終生成就獎(jiǎng)，被稱贊為“現(xiàn)代離散數(shù)學(xué)快速發(fā)展的主要推動(dòng)者”。

團(tuán)體3，ARONOV，BORIS;SCHULMAN，LEONARDJ.Y.;GODDARD，WAYNEDEAN;PACH，JANOS;KLEITMAN，DANIELJ。

這五人都致力于計(jì)算幾何的研究，其中兩人來自紐約大學(xué)，兩人來自麻省理工學(xué)院，還有一位來自克萊姆森大學(xué)。五人中只有PACH，JANOS不是美國人，他出生于匈牙利一個(gè)著名的學(xué)者家庭，他叔父是匈牙利最著名的數(shù)學(xué)家之一。他本人現(xiàn)在身為紐約大學(xué)庫朗數(shù)學(xué)研究所教授還擔(dān)任國際知名學(xué)術(shù)期刊離散和計(jì)算幾何主編。

團(tuán)體4，SZEKELY，LASZLOA;POMERANCE，

CARLBERNARD。

SZEKELY，LASZLOA來自南加州大學(xué)數(shù)學(xué)系。POMERANCE，CARLBERN

-ARD是國際著名的數(shù)論學(xué)家，在哈佛大學(xué)取得數(shù)學(xué)博士學(xué)位，被達(dá)特茅斯學(xué)院聘為杰出教授，2012年當(dāng)選美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)員。

團(tuán)體5，PYBER，LASZLO;KOHAYAKAWA，YOSHIHARU;

LUCZAK，TOMASZ;KOSTOCHKA，ALEXANDRV;GYORI，ERVIN;RODL，VOJTECH;BOLLOBAS，BELA。

這七位數(shù)學(xué)家雖然來自不同國家和研究機(jī)構(gòu)，但研究領(lǐng)域都集中在組合數(shù)學(xué)和圖論。其中LUCZAK，TOMASZ和RODL，VOJTECH都來自埃默里大學(xué)。PYBER，LASZLO和GYORI，ERVIN都來自匈牙利科學(xué)院。

團(tuán)體6，WORMALD，NICHOLASCHARLES;HELL，PAVOL;NESETRIL，JAROSL-AV。

HELL，PAVOL和NESETRIL，JAROSLAV都曾在捷克的布拉格查理大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。HELL，PAVOL后來加入加拿大籍，在西蒙菲莎大學(xué)執(zhí)教。WORMALD，NICHOLASCHARLES是澳大利亞數(shù)學(xué)家，莫納什大學(xué)數(shù)學(xué)教授，曾擔(dān)任加拿大國家首席教授在滑鐵盧大學(xué)。這三人都致力于組合數(shù)學(xué)和圖論的研究。

團(tuán)體7，BURR，STEFANANDRUS;CHARTRAND，

GARYTHEODORE;HARARY，F(xiàn)RANK;OELLERMANN，

ORTRUDR。

這四位數(shù)學(xué)家均來自不同的科研機(jī)構(gòu)，但都主要致力于圖論的研究。HARARY，F(xiàn)RANK還被譽(yù)為“現(xiàn)代圖論之父”。

團(tuán)體8，SCHELP，RICHARDH;GOULD，RONALDJ;

CHEN，GUANTAO;JACOBSON，MICHAELSCOTT;FAUDREE，RALPHJASPER，JR;GYARFAS，ANDRAS;ROUSSEAU，CECILCLYDE;TUZA，ZSOLT;

WEST，DOUGLASBRENT;LEHEL，JENO;SARKOZY，GABORN。

SCHELP，RICHARDH;CHEN，GUANTAO（中國）;FAUDREE，RALPHJASPE -R，JR;ROUSSEAU，CECILCLYDE和LEHEL，JENO均來自孟菲斯大學(xué)。其他數(shù)學(xué)家也大多來自美國中部各高校。他們的研究領(lǐng)域集中在組合數(shù)學(xué)和圖論。

通過凝聚子群分析，可以得出數(shù)學(xué)同其他學(xué)科一樣，合作關(guān)系受地理位置影響大，同一地域或者同一機(jī)構(gòu)的學(xué)者，更容易構(gòu)成合作關(guān)系。團(tuán)體1就主要由匈牙利科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的數(shù)學(xué)家構(gòu)成。團(tuán)體2和團(tuán)體8盡管都是美國數(shù)學(xué)家，但是團(tuán)體2的數(shù)學(xué)家來自美國東、西海岸的各大高校，而團(tuán)體8的數(shù)學(xué)家來自以孟菲斯大學(xué)為主的中部各大高校。由此可見美國數(shù)學(xué)領(lǐng)域作者合作團(tuán)體分為兩大類，東、西海岸合作團(tuán)體和中部合作團(tuán)體。

以上數(shù)學(xué)家研究領(lǐng)域集中在組合數(shù)學(xué)，圖論，計(jì)算幾何，離散數(shù)學(xué)，數(shù)論。通過調(diào)查分析，可以發(fā)現(xiàn)這60位Erd?s數(shù)為1的真正核心作者大多數(shù)來自美國和匈牙利，這與Paul Erd?s身為一名美國籍匈牙利數(shù)學(xué)家有直接聯(lián)系。

4.結(jié)論

本文利用社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析方法，借助UCINET軟件工具，選擇以Paul Erd?s為核心的龐大的國際數(shù)學(xué)家合著網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行研究分析，以研究國際數(shù)學(xué)領(lǐng)域的合著現(xiàn)象。數(shù)據(jù)來源是奧克蘭大學(xué)（OAKLAND UNIVERSITY）Erd?s數(shù)工程項(xiàng)目（見網(wǎng)站http：//www.oakland.edu/enp/），該工程專門研究國際數(shù)學(xué)家之間的合作。

首先，構(gòu)建Erd?s數(shù)為1的數(shù)學(xué)家合著網(wǎng)絡(luò)。然后，為更直觀的分析該領(lǐng)域合作情況，根據(jù)普賴斯定律和核心-邊緣結(jié)構(gòu)分析確定核心作者群。接著，通過中心性分析，確立了國際數(shù)學(xué)領(lǐng)域有重要影響力的作者。同時(shí)還發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)度中心度排名與發(fā)表論文數(shù)量排名有很大的相似性，說明發(fā)表論文比較多的數(shù)學(xué)家同他人的合作也比較頻繁。最后，通過凝聚子群分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)領(lǐng)域作者合作關(guān)系受地理位置影響大。核心作者之間合作密切，并且研究領(lǐng)域集中在組合數(shù)學(xué)、圖論、計(jì)算幾何、離散數(shù)學(xué)和數(shù)論。

通過本研究，一方面為新進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究人員，提供知識交流的指導(dǎo)，另一方面，為數(shù)學(xué)家加強(qiáng)合作交流提供參考。

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基金項(xiàng)目：本文系國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（項(xiàng)目編號：61170319）;山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（項(xiàng)目編號：ZR2010FM017）研究成果之一。

作者簡介：

顧海東（1993—），男，江蘇大豐人，大學(xué)本科，現(xiàn)就讀于中國石油大學(xué)（華東）理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

閆統(tǒng)江（1973—），男，山東鄆城人，博士后，中國石油大學(xué)（華東）副教授，計(jì)算數(shù)學(xué)系主任，主要從事代數(shù)學(xué)和密碼學(xué)研究。