基于譜分解的聚類方法在風電場/群輸出功率特性分析中的應用

李藝欣 常太華 張琦

【摘要】隨著風能規(guī)?；玫倪M一步推廣，區(qū)域電網(wǎng)中風電的滲透率不斷增加，電網(wǎng)對風電的合理調(diào)度日益重要。大型風電場/群的輸出功率是關(guān)于多臺機組的高維非線性模型。本文考慮風電場/群內(nèi)風機的類型、位置等因素，根據(jù)風電場/群中風機的輸出功率特性數(shù)據(jù)，采用基于馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣的譜分解聚類方法對風電場/群進行充分降維，并提出相應的評價指標用于分析和優(yōu)化聚類結(jié)果。最后，選取華北某大型風電場中任意20臺風機的輸出功率數(shù)據(jù)進行仿真實驗，實驗結(jié)果表明：該方法能夠有效的根據(jù)風電場內(nèi)風機的輸出功率特性將其劃分為4個集群。同時，采用波動性指標進行評價并得到了輸出功率最平穩(wěn)的一類機群;采用誤差帶指標對其中一個集群進行優(yōu)化，顯著降低了該集群的輸出功率標準差。

【關(guān)鍵詞】風力發(fā)電;風電場/群;功率特性分析;馬爾科夫鏈;聚類分析

1.引言

我國規(guī)?；L能利用發(fā)展十分迅速，至2012年，我國風電的總裝機同比增長20.8%[1，2]。由于風能的隨機性和間歇性導致風電場輸出功率波動，難以保證平穩(wěn)的電力輸出，使得電網(wǎng)對風電場的調(diào)度及并網(wǎng)造成了很多困難，也對電力系統(tǒng)的發(fā)電和運行計劃的制定帶來極大挑戰(zhàn)[3]。隨著大規(guī)模風電并網(wǎng)，其滲透率日益增加并對電網(wǎng)的影響越來越大。為了解決這個問題，分析風電場/群的功率輸出特性以優(yōu)化電網(wǎng)調(diào)度是十分必要的。

現(xiàn)代風電場/群通常由數(shù)十至上百臺風機組成，其總輸出功率是關(guān)于多臺機組的高維非線性模型，建模時一般將風電場/群整體特性做簡化處理。文獻[4]采用了集總建模法對風電場進行等值建模，但對于風電機組之間風速差異較大的風電場，基于集總建模法的等值模型會存在較大的誤差[5]。文獻[6]中使用K-means聚類算法對風電場進行了動態(tài)等值建模。然而K-means算法有兩個主要的缺點：一是運算結(jié)果對集群的數(shù)量的選擇是十分敏感的，即K變化時，聚類結(jié)果會出現(xiàn)很大的差異;另外就是K-means算法不能很好的解決集群是非線性這類聚類問題[7，8]。為了解決K-means算法的問題，一些新的聚類算法被應用于系統(tǒng)建模中。文獻[9]中通過提取每臺機組的運行特征值建立特征矩陣，進而對該矩陣使用模糊聚類分析，將具有相同或相似特性的機組劃分為同一集群，以達到簡化風電場模型的目的。文獻[10]中使用了聚類樹算法對雙饋機組風電場進行動態(tài)等值建模。指出與傳統(tǒng)建模相比，聚類分析的方法更適用于大容量風電場的等效建模。

為了有效的克服集群離散非線性以及對集群數(shù)量敏感等問題，本文使用了一種基于馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣譜分析的聚類方法。首先，根據(jù)每臺風機輸出功率時間序列建立了馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣;然后對該馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣進行譜分解來確定主導特征值和集群的數(shù)量，進而由主導特征值計算任意兩臺風機的擴散距離決定聚類的結(jié)果;最后引入波動性和誤差帶兩個指標對聚類結(jié)果進行分析評價。

2.基礎(chǔ)理論

目前存在的聚類算法一般都對集群大小有強制限制，容易陷入局部收斂及實現(xiàn)復雜等問題[11]。譜分解只需解決矩陣特征值分解問題，可以有效的克服上述問題。馬爾科夫鏈是估計系統(tǒng)離散狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率的隨機過程[12]，便于與譜分解結(jié)合使問題簡化。

2.1 馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣

S為隨機試驗的樣本空間，t為時間變量，定義一個具有平穩(wěn)分布的隨機過程x（t），t={1，…，m}。則一個隨機過程的樣本集合為X={x1，…，xn}。根據(jù)文獻[13]，定義矩陣：

（1）

其中是代表數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)接近程度的寬度參數(shù)。

將矩陣A行標準化：

（2）

則矩陣P為馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣，代表著任意兩個過程按照局部相似劃分到一個集群中的概率。

2.2 譜分解

構(gòu)建矩陣P的目標是為了找到劃分的集群的數(shù)量。對馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣進行譜分解也就是分析特征值和特征向量進而發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的幾何結(jié)構(gòu)特點。假定馬爾科夫鏈是非周期和不可約的，根據(jù)馬爾科夫鏈的性質(zhì)可知，存在平穩(wěn)分布且滿足：

（3）

即是矩陣P的特征值為1的左特征向量。同時，對于遍歷不可約馬爾科夫鏈，應滿足下式：

（4）

其中n為馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣P的階數(shù)。

設(shè)表示矩陣P的第i個特征值，表示矩陣P的第i個特征值的左特征向量，表示矩陣P的第i個特征值的右特征向量。將所有特征值降序排列：

那么馬爾科夫矩陣P的譜分解形式為：

（5）

則其低階模型為：

（6）

為了得到很好的低階近似模型Pa，參數(shù)q的選擇有兩種情況：

1）矩陣P有q個主導特征值（q

2）如果矩陣P沒有明顯的主導特征值，若q滿足i，其中q滿足則低階近似模型Pa是由和它們對應的左、右特征向量組成的。

2.3 擴散距離的計算

令X=（x1，x2，...，xn），利用單位向量（e1，e2，...，en）分別表示集合X中元素的分布情況。那么xi和xj的擴散距離可以寫成下式[14]：

其中i表示矩陣P的右特征向量的第i個元素。對于存在q個集群的近似模型，擴散距離表示為：

（13）

如果D2（xi， xj）小于一個臨界值，就認為xi和xj屬于同一個集群。

引入矩陣J：

（14）

對矩陣J進行分析即可得到聚類結(jié)果。

3.聚類結(jié)果評價

基于上一節(jié)的理論可以完成對一個風電場/群的聚類。根據(jù)聚類結(jié)果，可以用集群的平均輸出功率來代替同一集群內(nèi)的每臺風機的輸出功率，對聚類結(jié)果的分析等價于對每個集群平均輸出功率的分析。本節(jié)中，將使用適當?shù)闹笜藢γ總€集群的平均輸出功率進行評價分析。

3.1 波動性指標

由于風電并網(wǎng)困難的原因主要來源于其輸出功率的隨機性和波動性，對風電輸出功率波動性的描述在不同場合應使用不同的方法。本節(jié)中，波動性指標由下式給出：

（15）

其中Piave表示第i個集群的平均輸出功率;t為采樣時間。該式以集群的平均輸出功率的前后采樣時刻的差值的平方和來體現(xiàn)該集群在一段時間內(nèi)輸出功率的波動性情況，顯而易見，值越小，說明該集群風機的平均輸出功率波動性越小，反之亦然。

為了對波動性進行全方位分析，確保分析結(jié)果準確有效，本節(jié)將再引入階躍變化[15]與式（15）組成對波動性的多指標評價方法。

若風機輸出功率時間序列為x（t），，那么階躍變化為：

（16）

（17）

k為選取采樣點的個數(shù)。則階躍變化的標準差為：

（18）

（19）

由（16）至（19）可得出在指定段時間內(nèi)，描述風機輸出功率的波動性的序列，以及該序列的標準差，用上述兩項結(jié)果，對該時間段內(nèi)風機功率輸出的波動性進行分析。

3.2 誤差帶指標

為了優(yōu)化聚類效果，避免出現(xiàn)聚類后集群的平均輸出功率與集群內(nèi)每臺風機輸出功率的偏差過大，使平均輸出功率能較好的反映集群內(nèi)風機的輸出功率，引入集群誤差帶指標：

（20）

其中Pij（t）為t時刻的第i個集群內(nèi)的第j臺風機的輸出功率 Pistd（t）表示t時刻的第i個集群的風機輸出功率標準差。

Sij（t）表示t時刻時第i個集群內(nèi)的第j臺風機與該集群內(nèi)所有風機平均值的偏離程度，若Sij（t）與Sij（t+1）均大于某一閾值，那么就認為第i個集群內(nèi)的第j臺風機已經(jīng)不能歸為該集群，應當從該集群內(nèi)移除，重新計算在t+1時刻該集群風機功率輸出均值，進而確保該集群風機的平均輸出功率更能有效的代表該集群內(nèi)各臺風機的輸出功率。

移除風機之后，應隨時關(guān)注優(yōu)化前后集群風機輸出功率標準差Pistd的差值，當差值呈明顯減小趨勢時，則代表被剔除的風機對該集群平均輸出功率的影響逐漸變小，可將原剔除的風機重新歸入原集群。

表1 樣本數(shù)據(jù)

時間

序列 1號風機 … 20號風機

Y（t） x（t） Y（t） x（t）

1 23.4 -20.4 10.39 -2.89

2 3 7.51

… …

2027 223.2 -35.4 254.0 -32.7

2028 187.8 221.3

4.實例分析

本節(jié)基于華北某風電場數(shù)據(jù)，采樣時間從2012年5月1日到2012年5月15日，采樣周期為10分鐘。在風電場66臺風機中隨機抽取20臺風機生成基本數(shù)據(jù)，并假設(shè)輸出功率數(shù)據(jù)是一個隨機馬爾科夫過程[16]。

這里同樣使用風機輸出功率波動性作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)：

（21）

其中y（t）是風機在t時刻的功率輸出值，x（t）為相鄰兩數(shù)據(jù)的差值。表1列舉了部分數(shù)據(jù)。

4.1 構(gòu)建馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣

根據(jù)第二節(jié)可知，為了衡量任意兩臺風機的相似程度，必須要先建立馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣P。設(shè)隨機過程集合，其中xi表示第i臺風機的x（t）的序列。所以X是一個202720的矩陣。將X矩陣進行歸一化處理，，根據(jù)（1）式，列出矩陣：

其中參數(shù)。

根據(jù)（2）式，得馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣：

4.2 譜分解

基于譜分解理論，矩陣P的特征值和特征向量包含著劃分集群的特征。用線性代數(shù)的方法求解出矩陣P的特征值和特征向量。由（3）和（4）聯(lián)立求出固定分布是：

求出矩陣P的特征值并且按照降序排列：

可知矩陣P不存在q個接近于1的主導特征值。但是對特征值序列分析可以發(fā)現(xiàn)所以q=4，即集群數(shù)量為4個。

4.3 計算擴散距離

通過矩陣P的特征值和它對應的右特征向量可以求解任意兩臺風機的擴散距離。以風機1和風機2為例，其擴散距離為：

由（14）得：

它的第ij個元素就對應的是第i臺風機與第j臺風機的擴散距離，該數(shù)值越小，則表示這兩臺風機的相似度越高。因此，選取一個合適的閾值，當J（i，j）的值小于該閾值時，則第i與第j臺風機可歸為一類。本例中，該閾值取0.005。

4.4 仿真結(jié)果

風機聚類結(jié)果如表2所示：

表2 聚類結(jié)果

風機數(shù)量 20

集群數(shù)量 4

集群號 集群1 集群2 集群3 集群4

風機號 1，5，9，12，

15，19，20 2，4，6，

10，18 7，11，13，

14，16 3，8，17

對應風場內(nèi)風機號 1，2，5，4，

10，9，7 66，64，62，

60，61 20，27，21

25，24 12，14，13

圖1 某時間段內(nèi)不同集群內(nèi)風機平均輸出功率

4.5 仿真結(jié)果分析

4.5.1 波動性分析

由圖1可知，在一定時間內(nèi)，四個集群的風機平均輸出功率差異明顯，由（15）可得在t=370至t=440之間各個集群的波動值，結(jié)果為：

計算結(jié)果表明該時間段內(nèi)，集群1、3的波動性較小，而集群2、4的波動性較大。應用階躍變化指標結(jié)果得出集群3的階躍變化標準差最小;集群2的階躍變化標準差最大。結(jié)合兩個指標得出集群3在該時間段內(nèi)的波動性最小。當電網(wǎng)需要該風場內(nèi)風機并網(wǎng)時，可以優(yōu)先調(diào)度集群3中的各臺風機，減小風力發(fā)電的波動性對電網(wǎng)的沖擊，確保電網(wǎng)運行安全和穩(wěn)定。

圖2 某時間段內(nèi)不同集群內(nèi)風機輸出功率標準差

圖3 某時間段內(nèi)集群2中所有風機的功率輸出

圖4 某時間段內(nèi)集群4中所有風機的輸出功率

4.5.2 誤差帶分析

圖5 某時間段內(nèi)集群3中所有風機的輸出功率

由圖5可知在采樣時間t=395附近，各個風機與該集群平均功率輸出之間的偏差很大。取t=396，則取1，根據(jù)計算，66號和64號風機從集群內(nèi)移除。

圖6 優(yōu)化后某時間段內(nèi)集群3中各個風機輸出功率

圖7 優(yōu)化后某時間段內(nèi)集群3的標準差

由圖6、圖7可知，優(yōu)化后的集群3的標準差比原集群3的標準差在一個時間段內(nèi)更小，意味著，優(yōu)化后的集群3的輸出功率平均值與集群內(nèi)各個風機的輸出功率的偏差更小，使用優(yōu)化后集群3平均輸出功率則比原集群3平均輸出功率更具有代表性與真實性。由圖7可知，在t=415附近，優(yōu)化前后的標準差近似相同，可將移除的66號與64號風機重新歸入該集群，達到對該集群優(yōu)化的目的。

5.結(jié)論

本文將馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣與譜分解理論相結(jié)合應用于風電場輸出功率特性分析方面。首先，使用風機相鄰時刻的輸出功率變化量建立了馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣并對該矩陣進行譜分解確定了集群數(shù)量，有效的避免了因為集群數(shù)量不確定而導致聚類結(jié)果差別很大的問題;然后，根據(jù)譜分解結(jié)果計算任意兩臺風機的擴散距離進行聚類。為解決由于大型風電場/群內(nèi)各個風機輸出功率特性的不同，導致并網(wǎng)時對電網(wǎng)沖擊過大的問題提供了有效的方法。

結(jié)合聚類結(jié)果，本文提出了波動性指標與誤差帶指標。前者以輸出功率的平穩(wěn)性對各個集群進行評價，后者則可以根據(jù)實時狀態(tài)微調(diào)每個集群內(nèi)的風機組成，優(yōu)化每個集群的平均輸出功率，提高了每個集群的平均輸出功率的實時準確性。結(jié)合這兩項指標，為實現(xiàn)對集群輸出功率平穩(wěn)性的實時監(jiān)控提供可能。

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作者簡介：李藝欣（1989—），男，華北電力大學控制與計算機工程學院碩士研究生在讀，研究方向：大型風電場調(diào)度策略研究。