湯宇

摘要：在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，最常見的問題就是最值的求解方法，對于各種函數(shù)的組織的性質(zhì)的分析。比較常見的函數(shù)的最值求法比較靈活多變并且種類繁多，是教學(xué)活動中的難點(diǎn)也是學(xué)生掌握的難點(diǎn)部分，所以要采用合適的教學(xué)方法對于函數(shù)最值的求法進(jìn)行教授，只有設(shè)計(jì)合理的教學(xué)方案才能收獲很好的教學(xué)效果。筆者在文中主要對函數(shù)最值的性質(zhì)進(jìn)行分析，并且分類對函數(shù)最值的求解方法進(jìn)行了詳細(xì)的分析。

關(guān)鍵詞：最值的性質(zhì) 求解方法 函數(shù)求導(dǎo)

▲▲一、函數(shù)最值的性質(zhì)

從函數(shù)的基本性質(zhì)出發(fā)來看，一些函數(shù)存在最值，有些函數(shù)卻不存在最值，比如一次函數(shù)以及正比例函數(shù)和反比例函數(shù)等不存在最值，但是二次函數(shù)以及三次函數(shù)等存在最值。在函數(shù)最值的求解過程中，對二次函數(shù)進(jìn)行一次求導(dǎo)，使導(dǎo)函數(shù)的值為零的自由變量就是函數(shù)的極值點(diǎn)，換言之，就是導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值就是函數(shù)的最大值或者是最小值。在對三次函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)的過程中，導(dǎo)函數(shù)的根存在多種情況，對于無根的情況就是函數(shù)無最值，有重根以及異根的情況都是函數(shù)存在駐點(diǎn)，但是函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是最值點(diǎn)，所以，就需要在教學(xué)活動中，對學(xué)生分辨極值點(diǎn)以及最值點(diǎn)的區(qū)別，并且在掌握了各種函數(shù)的基本性質(zhì)之后采用正確的方法對于函數(shù)的最值進(jìn)行求解。

▲▲二、常見函數(shù)的最值求解方法

1、對一元函數(shù)最值的求解

在對一元函數(shù)進(jìn)行最值求解的時(shí)候，要先對其進(jìn)行求導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)就是函數(shù)最值點(diǎn)。為此，要首先對于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的求導(dǎo)方法進(jìn)行了解和掌握，函數(shù)如果在一點(diǎn)處連續(xù)，這是函數(shù)可導(dǎo)的前提條件，那么對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到的導(dǎo)函數(shù)的根就是一元函數(shù)的最值點(diǎn)。最對一元函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)過程中，首要的步驟就是要先求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得出了導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)以及不可導(dǎo)點(diǎn)之后，再將駐點(diǎn)以及不可到店導(dǎo)入函數(shù)中求出對應(yīng)的函數(shù)值，并且對于函數(shù)的定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值也要進(jìn)行求解，最后，再對于求解出駐點(diǎn)處對應(yīng)的函數(shù)值以及定義域端點(diǎn)處對應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行比較，大的值就是函數(shù)的最大值，小的函數(shù)值即為函數(shù)的最小值。經(jīng)典例題舉例說明：已知函數(shù)f （x）=ln（1+x）-x，求函數(shù)的最大值，首先要對f（x）求導(dǎo)得f'（x）=1/（1+x）-1，導(dǎo)函數(shù)的唯一根為x=0，則函數(shù)的最大值為f（0）=0。例2：若已知f（x）=x3-x，試求f （x）的最值，首先求出導(dǎo)函數(shù)的根，有-1、0、1，它們是f（x）的極點(diǎn)，然后得到函數(shù)的原函數(shù)的增減區(qū)間，f（x）的四個(gè)單調(diào)區(qū)間分別為減區(qū)間、增區(qū)間、減區(qū)間、增區(qū)間，比較三個(gè)極值的大小，得到最小值為-1/4+c。

2、對于二元函數(shù)的最值求解方法探討

（1）配方法

在對二元函數(shù)進(jìn)行最值求解的過程中，要首先對于二元函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征以及性質(zhì)進(jìn)行分析，除此之外，還要結(jié)合函數(shù)的特殊性質(zhì)，對于二次函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐浞?，使其能夠轉(zhuǎn)化成為一元函數(shù)來進(jìn)行求解，之后再利用函數(shù)的基本性質(zhì)，對于函數(shù)進(jìn)行相關(guān)的求解，比如函數(shù)的絕對值大于零或者是函數(shù)的平方大于等于零等處理方法進(jìn)行求解。相關(guān)例題說明：已知x-y2-2y+5=0，求x的最小值，首先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)x=y2+2y-5，然后將方程右邊進(jìn)行配方，得到y(tǒng)2+2y-5=（y+1）2-6 ≥ - 6，則x 最小值為- 6。例：求2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值，合并同類項(xiàng)得2x2-4xy+3y2-12y+13=2（x-y）2+3（y-2）2+1，當(dāng)x=y=2時(shí)，原函數(shù)的最小值為1。

（2）求導(dǎo)法

通過二元函數(shù)的性質(zhì)分析可以知道二元函數(shù)的極值在函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)以及駐點(diǎn)處，二元函數(shù)存在最值的充分條件為函數(shù)在連續(xù)并且存在極值，函數(shù)在抹點(diǎn)處取得極值的必要條件就是函數(shù)在某一點(diǎn)處存在二階偏導(dǎo)數(shù)，令函數(shù)對x的二階偏導(dǎo)數(shù)為A，對y的二階偏導(dǎo)數(shù)為B，對x、y的偏導(dǎo)數(shù)為C，若B2-AC小于0，并且A小于0，則該點(diǎn)處的函數(shù)值為極大值；若B2-AC小于0，并且A大于0，則該點(diǎn)處的函數(shù)值為極小值；若B2-AC小于0，則該點(diǎn)不是極值點(diǎn)，根據(jù)求出極值來得到最大值。

3、對于三角函數(shù)最值的求解方法探討

對于三角函數(shù)最值的求導(dǎo)是函數(shù)最值求導(dǎo)的重要組成部分，三角函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中國所占的比重視比較大的，所以在三角函數(shù)最值的求解方法的教學(xué)過程中，三角函數(shù)的教學(xué)課時(shí)比重是比較大的。對于三角函數(shù)的最值進(jìn)行求解，其實(shí)就是對于三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行最值的求導(dǎo)，這就需要學(xué)生對于三角函數(shù)的基本知識進(jìn)行充分的了解和掌握之后才能夠?qū)ζ溥M(jìn)行靈活的求解。在解答三角函數(shù)的最值問題時(shí)，需要充分了解函數(shù)的定義域?qū)χ涤虻挠绊懞驼摇⒂嘞业娜≈捣秶?，同時(shí)還要應(yīng)用二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值，像利用函數(shù)的正弦與余弦的平方和等于1等性質(zhì)。在剛剛學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，需要從基礎(chǔ)出發(fā)，避免計(jì)算量過大的題目，從基礎(chǔ)出發(fā)，加強(qiáng)三角工具的應(yīng)用意識，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力。

4、對于解析幾何中的最值求解問題

解析幾何中的最值問題是解析幾何綜合性問題的重要內(nèi)容之一，常以直線與圓、圓錐曲線等內(nèi)容為載體，綜合考查函數(shù)、不等式、三角等知識，涉及的知識點(diǎn)較多，屬偏難問題。其常見方法首先有代數(shù)法，代數(shù)法就是先建立一個(gè)“目標(biāo)函數(shù)”，再根據(jù)其特點(diǎn)靈活運(yùn)用求函數(shù)最值的方法求得最值。其次就是幾何法，幾何法是借助圖形特征利用圓或圓錐曲線的定義及幾何性質(zhì)來求最值的一種方法。最值問題在數(shù)列和立體幾何應(yīng)用題等知識點(diǎn)中也有體現(xiàn)，但都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)或解析幾何形式的最值問題來予以解決，這里不一一細(xì)述了。對于解析幾何中的最值求解問題需要學(xué)生多進(jìn)行解題練習(xí)，對于多種題型的解題方法都要有很好的掌握，這樣才能夠做好解析幾何中的最值求解問題。

▲▲三、結(jié)束語

綜上所述，對于各種函數(shù)的最值求解問題是多種多樣的，教師在實(shí)際的教學(xué)活動中，要采用合理的教學(xué)方法，對于教學(xué)計(jì)劃進(jìn)行詳細(xì)認(rèn)真的制定，要在課堂的講課中對于函數(shù)的最值求解的多種方法要進(jìn)行講解，這樣才能夠使學(xué)生更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)以及最值的求解方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]張秀芳.多元函數(shù)條件極值的解法探討[J].安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009；3