學(xué)好相似三角形不僅能讓我們對圖形相似有更深刻的認(rèn)識，也能使我們以前學(xué)過的全等三角形的知識得以鞏固和提高. 正是由于相似三角形具有很強的綜合性，在歷年中考中，常常對相似三角形的知識點進(jìn)行考查.

例1 （2013·佛山）如圖1所示的網(wǎng)格中每個方格都是邊長為1的正方形. 若A，B，C，D，E，F(xiàn)都是格點，試說明△ABC∽△DEF.

【分析】利用圖形與勾股定理可以推知圖中兩個三角形的三條對應(yīng)邊成比例，由此可以證得△ABC∽△DEF.

解：∵在△ABC中，AC=，BC==，AB=4. 在△DEF中，DF==2，EF==2，ED=8.

∴===2，∴△ABC∽△DEF.

【點評】本題考查了相似三角形的判定、勾股定理. 三角形相似的判定方法有：

（1） 平行線法：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，這是判定三角形相似的一種基本方法，相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，在應(yīng)用時要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形；

（2） 三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；

（3） 兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；

（4） 兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

例2 （2013·自貢）如圖2，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BG⊥AE于G，BG=4，則△EFC的周長為（）.

A. 11B. 10C. 9D. 8

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理；平行四邊形的性質(zhì).

【分析】題中有平行的條件，便可考慮根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，求出△ABE的周長，便可得出△EFC的周長.

解：∵在#9649;ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點E，

∴∠BAF=∠DAF.

∵AB∥DF，AD∥BC，

∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠DAF=∠AEB，

∴AB=BE=6，AD=DF=9，

∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形.

∵AD=BC，AB=DC，

∴EC=FC=9-6=3.

在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，

∴AG==2，∴AE=2AG=4，

∴△ABE的周長等于16.

又∵△CEF∽△BEA，相似比為1∶2，

∴△CEF的周長等于8，故選D.

【點評】本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握相似三角形的周長之比等于相似比，此題難度較大. 相似三角形的性質(zhì)有：

（1） 相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；

（2） 相似三角形的一切對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線）的比等于相似比；

（3） 相似三角形的周長比等于相似比；

（4） 相似三角形的面積比等于相似比的平方.

例3 （2013·株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4. 點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖3）或線段AB的延長線（如圖4）于點P.

（1） 當(dāng)點P在線段AB上時，求證：△AQP∽△ABC；

（2） 當(dāng)△PQB為等腰三角形時，求AP的長.

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理.

【分析】（1） 由兩對角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），易證得△AQP∽△ABC.

（2） 當(dāng)△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論.

①當(dāng)點P在線段AB上時，如題圖3所示. 由三角形相似關(guān)系（△AQP∽△ABC）計算AP的長；

②當(dāng)點P在線段AB的延長線上時，如題圖4所示. 利用角之間的關(guān)系，證明點B為線段AP的中點，從而可以求出AP.

解：（1） 證明：在△AQP與△ABC中，

∵∠AQP=∠ABC=90°，∠A=∠A（公共角），∴△AQP∽△ABC.

（2） 解：設(shè)AP=x.

∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，

∴AC===5.

由（1）知△AQP∽△ABC，

∴=，即=，∴PQ=x.

①由圖3知：PB=AB-AP=3-x.

又∵△PQB為等腰三角形，

∴PQ =PB，即x=3-x，∴x=；

②由圖4知：PB=AP-AB=x-3.

又∵△PQB為等腰三角形，

∴BP=BQ，∠BQP=∠P.

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A. ∴BQ=AB，

∴AB=BP，AP=2×3=6.

綜上所述，AP的長為或6.

例4 （2013·泰安）如圖9，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點.

（1） 求證：AC2=AB·AD；

（2） 求證：CE∥AD；

（3） 若AD=4，AB=6，求的值.

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線.

【分析】（1） 由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得AC2=AB·AD；

（2） 由E為AB的中點，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=0.5AB=AE，繼而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；

（3） 易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得的值.

解：（1） 證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD∶AC=AC∶AB，∴AC2=AB·AD；

（2） 證明：∵E為AB的中點，∴CE=

0.5AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；

（3） 解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD∶CE=AF∶CF，∵CE=0.5AB，∴CE=0.5×6=3，∵AD=4，∴=，∴=.

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì). 此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實驗初級中學(xué)）