一、 常見(jiàn)考點(diǎn)

（一） 矩形

1. 矩形的概念：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2. 矩形的性質(zhì)：

（1） 具有平行四邊形的一切性質(zhì).

（2） 矩形的四個(gè)角都是直角.

（3） 矩形的對(duì)角線相等.

（4） 矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形.

3. 矩形的判定：

（1） 定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

（2） 定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

（3） 定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

4. 矩形的面積：S矩形=長(zhǎng)×寬=ab.

（二） 菱形

1. 菱形的概念：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

2. 菱形的性質(zhì)：

（1） 具有平行四邊形的一切性質(zhì).

（2） 菱形的四條邊相等.

（3） 菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

（4） 菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形.

3. 菱形的判定：

（1） 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

（2） 定理1：四邊都相等的四邊形是菱形.

（3）定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

4. 菱形的面積：S菱形=底邊長(zhǎng)×高=兩條對(duì)角線乘積的一半.

（三） 正方形

1. 正方形的概念：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

2. 正方形的性質(zhì)：

（1） 具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

（2） 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等.

（3） 正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

（4） 正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有4條對(duì)稱(chēng)軸.

（5） 正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的小等腰直角三角形.

（6） 正方形的一條對(duì)角線上的一點(diǎn)到另一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離相等.

3. 正方形的判定：

（1） 判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：

先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等；先證它是菱形，再證有一個(gè)角是直角.

（2） 判定一個(gè)四邊形為正方形的一般順序如下：

先證明它是平行四邊形；再證明它是菱形（或矩形）；最后證明它是矩形（或菱形）.

4. 正方形的面積：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線長(zhǎng)為b，S正方形=a2=.

二、 典型考題

1. （2013·天津）如圖1，在△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得△CFE，則四邊形ADCF一定是（）.

A. 矩形B. 菱形

C. 正方形D. 梯形

【考點(diǎn)解剖】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定，主要利用了對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形的判定方法.

【解題思路】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=CE，DE=EF，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ADCF是平行四邊形，然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出∠ADC=90°，再利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形解答.

解：∵△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得△CFE，∴AE=CE，DE=EF，

∴四邊形ADCF是平行四邊形.

∵AC=BC，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，

∴∠ADC=90°，∴#9649;ADCF是矩形.

故選A.

【方法規(guī)律】熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵.

2. （2013·江西）如圖2，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接DE和BF，分別取DE、BF的中點(diǎn)M、N，連接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____.

【答案】2.

【考點(diǎn)解剖】本題考查了陰影部分面積的求法，涉及矩形的中心對(duì)稱(chēng)性、面積割補(bǔ)法、矩形的面積計(jì)算公式等知識(shí)，解題思路方法多樣，計(jì)算并不復(fù)雜，若分別計(jì)算再相加，則耗時(shí)耗力，仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積其實(shí)就是原矩形面積的一半（即2），這種“整體思想”事半功倍，所以平時(shí)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想、方法的學(xué)習(xí)與積累.

【解題思路】△BCN與△ADM全等，面積也相等，#9649;DFNM與#9649;BEMN的面積也相等，所以陰影部分的面積其實(shí)就是原矩形面積的一半.

【方法規(guī)律】仔細(xì)觀察圖形特點(diǎn)，搞清部分與整體的關(guān)系，把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的來(lái)計(jì)算.

3. （2013·聊城）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足為E，求證：AE=CE.

【考點(diǎn)解剖】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，難度中等.

【解題思路】過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于F，根據(jù)同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角邊”證明△BCF和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=CE，再證明四邊形AEFB是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AE=BF，從而得證.

【點(diǎn)評(píng)】作輔助線構(gòu)造出全等三角形與矩形是解題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）