【思維導(dǎo)圖】

【名師箴言】

人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線； 輔助線，如何添？把握定理和概念.

計(jì)算半徑與弦長(zhǎng)，弦心距來中間站； 是直徑，成半圓，想成直角徑連弦.

圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連； 切線長(zhǎng)度要計(jì)算，勾股定理最方便.

要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線； 還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓.

要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨； 切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變.

在解題實(shí)踐中，同學(xué)們常常希望能找到復(fù)雜問題的巧妙解法，利用行之有效的數(shù)學(xué)方法和靈活巧妙的解題技巧獲得復(fù)雜數(shù)學(xué)題的創(chuàng)新解法，也是我們?cè)跀?shù)學(xué)解題中的不懈追求.下面從與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)題中，擷取幾例巧解題，希望能拓展同學(xué)們的解題思路.

一、 巧用圓的中心對(duì)稱性解題

例1 （2013·揚(yáng)州）如圖1，已知☉O的直徑AB=6，E、F為AB的三等分點(diǎn)，M、N為上兩點(diǎn)，且∠MEB=∠NFB=60°，則EM+FN=______.

【分析】注意到圓是中心對(duì)稱圖形，結(jié)合題目的條件將線段FN繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°即可將兩條線段組合為圓的一條弦，接下來就是常規(guī)思路，在圓中求一條弦的長(zhǎng)度的方法：利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形，再用勾股定理進(jìn)行計(jì)算. 如圖2，作OC⊥MD于點(diǎn)C，易得OC=OE=，∴MD=2MC=2=2=，即EM+FN=.

二、 巧用圓的旋轉(zhuǎn)不變性解題

例2 如圖3，已知，正△A1B1C1的外接圓O內(nèi)切于正△ABC，若△ABC的面積是4，則陰影部分的面積是（）.

A. 2

B.

C. 2

D. +π

【分析】旋轉(zhuǎn)☉O，易知兩陰影部分能組合成一個(gè)等邊三角形，其面積為△ABC的四分之一，所以應(yīng)選B.

三、 巧用平移，化復(fù)雜為常規(guī)

例3 如圖4，☉P內(nèi)含于☉O，☉O的弦AB切☉P于點(diǎn)C，且AB∥OP. 若陰影部分的面積為10π，則弦AB的長(zhǎng)為______.

【分析】將☉P平移使兩圓的圓心重合，易知此時(shí)☉P仍然與AB相切，所得圓環(huán)面積等于原陰影部分的面積.設(shè)切點(diǎn)為D，連接OD、OA，由πOA2-πOD2=10π，得OA2-OD2=10=AD2，從而AB=2AD=2.

四、 巧用矩形性質(zhì)

例4 如圖5，四邊形PAOB是扇形OMN的內(nèi)接矩形，頂點(diǎn)P在上，且不與M、N重合，當(dāng)P點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，矩形PAOB的形狀、大小隨之變化，則AB的長(zhǎng)度（）.

A. 變大B. 變小

C. 不變D. 不能確定

【分析】連接OP，易知AB=OP，而OP為半徑，在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中保持不變，從而AB長(zhǎng)度不變.

五、 巧構(gòu)等邊三角形

例5 （2012·吉林）如圖6，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半徑OA=6. 將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊. 點(diǎn)O恰好落在弧AB上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，求整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)和面積.

【分析】陰影部分的周長(zhǎng)包括線段AC+CD+DB的長(zhǎng)和弧AB的長(zhǎng). 由折疊的性質(zhì)可知，AC+CD=OA=6，DB=OB=6，故周長(zhǎng)可求. 求面積需要連接OD，由折疊與半徑的性質(zhì)易知△ODB是正三角形，得到∠CBO=30°，進(jìn)而求出OC的長(zhǎng)，陰影部分的面積=S扇形AOB-2S△OBC.

六、 巧用切線性質(zhì)構(gòu)造全等三角形

例6 如圖7，點(diǎn)P在雙曲線y=（x>0）上，以P為圓心的☉P與兩坐標(biāo)軸分別相切于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)E為y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥PE交x軸于點(diǎn)F，若OF-OE=6，則k的值是______.

【分析】連接PA、PB，則四邊形PAOB為正方形，易證△PAF≌△PBE，從而AF=BE. ∴OF-OE=OA+AF-（BE-OB）=OA+OB=6，∴OA=OB=3，∴P（3，3），可得k=3×3=9.

七、 巧構(gòu)輔助圓

例7 如圖8，OA=OB=OC且∠ACB=30°，則∠AOB的大小是（）.

A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°

【分析】由OA=OB=OC，可作以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓經(jīng)過A、B、C，如圖9所示.顯然，該圓經(jīng)過點(diǎn)B、C，利用同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍即可求出∠AOB的度數(shù).

八、 巧構(gòu)直角三角形

例8 已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O為AB邊上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓交AC于D點(diǎn)，過D作☉O的切線交BC于E.

（1） 若O為AB的中點(diǎn)（如圖10），則ED與EC的大小關(guān)系為：ED_____EC（填“>”“<”或“=”）

（2） 若OA<3時(shí)（如圖11），（1）中的關(guān)系是否還成立？為什么？

（3） 當(dāng)☉O過BC中點(diǎn)時(shí)（如圖12），求CE長(zhǎng).

【分析】（1） 根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ODE=90°，則∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10，根據(jù)勾股定理的逆定理可證得∠ABC=90°，則∠A+∠C=90°，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，從而證得結(jié)論；

（2） 證法同（1）；

（3） 連接OF，設(shè)☉O半徑為r，則OB=6-r，OF=r，BF=4，由勾股定理可得r=. 連接OE，設(shè)CE=DE=x，由勾股定理可得OD2+DE2=OE2=OB2+BE2，∴r2+x2=（6-r）2+（8-x）2. 可求得x=3. 巧妙構(gòu)造直角三角形，連續(xù)利用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）