圓的切線有關的證明與計算是初中數學學習的重要內容，也是各省市中考考查的重點內容之一，通常與勾股定理，方程，三角形全等或相似，四邊形的性質與判定，三角函數等相結合，形成復雜、多變的題型. 解決問題時要重點觀察已知條件間的關系，選擇定理進行線段或角的轉化，找出所求與已知的關系，從而轉化未知為已知，解決問題. 本文以近兩年來部分省市的中考題為例，簡要地分析說明，希望對同學們有所啟迪和幫助.

例1 （2013·泰州）如圖1，AB為☉O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長線上的點，∠APD=30°.

（1） 求證：DP是☉O的切線；

（2） 若☉O的半徑為3 cm，求圖中陰影部分的面積.

解：（1） 證明：連接OD，∵∠ACD=60°，

∴由圓周角定理得∠AOD=2∠ACD=120°，

∴∠DOP=180°-120°=60°.

∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°-30°-60°=90°，∴OD⊥DP，

∵OD為半徑，∴DP是☉O切線.

（2） ∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3 cm，

∴OP=6 cm，由勾股定理得：DP=3 cm，∴圖中陰影部分的面積S=S△ODP-S扇形DOB=×3×3-=（-π） cm2.

【評析】（1） 利用圓周角定理得出∠AOD=2∠ACD，然后求出∠DOP的度數，再根據三角形內角和得到∠ODP=90°，最后根據切線的判定定理得到DP是☉O的切線；

（2） 利用勾股定理求出OP、DP的長，再結合扇形和三角形面積求出陰影部分面積. 本題主要考查同學們的推理和計算能力.

例2 （2013·欽州）如圖2，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點，以O為圓心的半圓與AB邊相切于點D，與AC、BC邊分別交于點E、F、G，連接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=.

（1） 求☉O的半徑OD；

（2） 求證：AE是☉O的切線；

（3） 求圖中兩部分陰影面積的和.

解：（1） ∵AB與圓O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；

（2） 連接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四邊形AEOD為平行四邊形，∴AD∥EO.

∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，

又∵OE為圓的半徑，

∴AC為圓O的切線；

（3） ∵OD∥AC，∴=，即=，

∴AC=7.5，∴EC=AC-AE=7.5-3=4.5，

∴S陰影=S△BDO+S△OEC-S扇形FOD-S扇形EOG

=×2×3+×3×4.5-

=3+-=.

【評析】（1） 由AB為圓O的切線，利用切線的性質得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用銳角三角函數定義，根據tan∠BOD及BD求出OD；

（2） 連接OE，AE=OD=3，且OD與AE平行，由一組對邊平行且相等可判定四邊形AEOD為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行得到OE與AD平行，再由DA與AE垂直得到OE與AC垂直，即可得證；

（3） 陰影部分的面積由△BOD的面積+△ECO的面積-扇形DOF的面積-扇形EOG的面積. 本題考查了切線的判定與性質，扇形的面積，銳角三角函數定義，平行四邊形的判定與性質，以及平行線的性質，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵.

例3 （2013·內蒙古呼和浩特）如圖3所示，AC為☉O的直徑且PA⊥AC，BC是☉O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，==.

（1） 求證：直線PB是☉O的切線；

（2） 求cos∠BCA的值.

解：（1） 證明：連接OB、OP，∵==，且∠D=∠D，∴△BDC∽△PDO.

∴∠DBC=∠DPO，∴BC∥OP，

∴∠BCO=∠POA ，∠CBO=∠BOP.

∵OB=OC，∴∠OCB=∠CBO. ∴∠BOP=∠POA.

又∵OB=OA，OP=OP，

∴△BOP≌△AOP（SAS）.

∴∠PBO=∠PAO.

又∵PA⊥AC，∴∠PBO=90°.

∴ 直線PB是☉O的切線.

（2） 由（1）知∠BCO=∠POA. 設PB=a，則BD=2a，

又∵PA=PB=a，∴AD=2a.

又∵=2，

∴DC=CA=×2a=a.

∴OA=a，∴OP=a，

∴cos∠BCA=cos∠POA=.

【評析】（1） 由已知比例式根據三角形相似的判定得△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，再證得△BOP≌△AOP，得∠PBO=∠PAO=90°，從而證得PB是☉O的切線，其中證明△BOP≌△AOP是難點和關鍵；

（2） 關鍵是利用BC∥OP，把∠BCA轉換為Rt△OAP中的∠POA，然后通過設輔助未知數，根據題目中線段比例關系、切線長定理和勾股定理表示出OA、OP的長度，從而進一步求出cos∠POA的值，即cos∠BCA的值. 本題考查了切線的判定和性質，平行的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數的定義，勾股定理，切線長定理等，對同學們綜合運用能力的要求較高，是有一定難度的.

通過對這幾道中考題的分析可以發(fā)現，各地的中考把圓的切線證明和計算均作為考試的重點，要求同學們必須理解和掌握相關定理，能夠將這些知識融會貫通，并能與其他數學知識結合運用進行解題. 在分析問題時若能巧妙地運用切線知識點，就能找到解題的突破口，可以使很多問題化復雜為簡單，化深奧為淺顯，為問題順利解答起到關鍵性作用.

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）