平面極坐標(biāo)系在高中物理競賽中的應(yīng)用

殷正徐

(江蘇省沭陽高級中學(xué),江蘇 沭陽 223600)

1 極坐標(biāo)系簡介

為了描述質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動,可以在該平面建立極坐標(biāo)系,如圖1所示.在參考系上取點(diǎn)O,引有刻度的射線Ox稱為極軸,即構(gòu)成極坐標(biāo)系.設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動至A點(diǎn),引,稱為質(zhì)點(diǎn)的矢徑;質(zhì)點(diǎn)位置矢量與極軸所夾的角φ稱為質(zhì)點(diǎn)的幅角,通常規(guī)定自極軸逆時針轉(zhuǎn)至位置矢量的幅角為正,反之為負(fù).r和φ與平面上質(zhì)點(diǎn)的位置一一對應(yīng),稱為質(zhì)點(diǎn)的極坐標(biāo).

在極坐標(biāo)系中亦可對矢量進(jìn)行正交分解.質(zhì)點(diǎn)在A處,沿位置矢量方向稱為徑向,沿此方向所引單位矢量叫徑向單位矢量,記作;與此方向垂直指向φ增加的方向稱為橫向,沿此方向的單位矢量叫橫向單位矢量,記作

圖1

圖2

2 質(zhì)點(diǎn)在極坐標(biāo)系中運(yùn)動的描述

(1)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程:r＝r(t),φ＝φ(t).

(2)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程:r＝r(φ).

如圖2,質(zhì)點(diǎn)在Δt時間發(fā)生一段位移Δr,速度的變化量為Δ

3 極坐標(biāo)系在高中物理競賽中的應(yīng)用

3.1 繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動

例1.如圖3所示,拖車A在水平的河岸上,通過定滑輪拖動河中的船B,當(dāng)拖車A的速度達(dá)到vA時,它的加速度為aA,此時OB繩與水平方向的夾角為θ,B到O的距離為L.求:此時船B的速度vB及加速度aB.

圖3

解析:如圖4所示,以O(shè)點(diǎn)為極點(diǎn),水平向左方向建立極坐標(biāo)系Ox,小船B的運(yùn)動可看成兩個分運(yùn)動的合成:一是B沿繩方向靠近O點(diǎn)的分運(yùn)動,即徑向運(yùn)動;另一個是垂直于OB繩方向的運(yùn)動,即橫向運(yùn)動.B的徑向運(yùn)動應(yīng)與拖車的運(yùn)動有相同大小的各個運(yùn)動量.

圖4

將B的運(yùn)動沿徑向和橫向分解可知,

圖5

對加速度,如圖5所示,B沿繩方向的分運(yùn)動的加速度由兩部分組成,其中表示物體沿徑向運(yùn)動產(chǎn)生的加速度,等于沿繩方向的加速度aA,而表示由于矢徑的轉(zhuǎn)動所產(chǎn)生的加速度,與aA方向相同,得由矢量運(yùn)算法則可知

在求本題加速度時有一種典型的錯誤解法:認(rèn)為船B沿繩方向的加速度就是拖車A的加速度,即ar＝aA,得aB＝aA/cosθ.錯誤原因就是死記拉船模型中船速度應(yīng)該沿繩和沿繩垂直的方向分解的結(jié)論,而不清楚這樣分解是依據(jù)極坐標(biāo)系.并且想當(dāng)然地認(rèn)為加速度的分解應(yīng)該與速度相同,于是犯了上述錯誤.

圖6

例2.(2011年華約第2題)如圖6所示,紙面內(nèi)兩根足夠長的桿AB、CD都穿過小環(huán)M,桿AB兩端固定,桿CD可以在紙面內(nèi)繞過D點(diǎn)并與紙面垂直的固定軸轉(zhuǎn)動.若桿CD從圖示位置開始,按照圖中箭頭所示的方向,以均勻角速度轉(zhuǎn)動,則小環(huán)M的加速度

(A)逐漸增加.(B)逐漸減小.

(C)先增加后減小.(D)先減小后增加.

圖7

解析:如圖7所示,設(shè)D到AB的距離為h,作Dx∥AB,以D點(diǎn)為極點(diǎn)、Dx為極軸建立平面極坐標(biāo)系.設(shè)DC與Dx所成角度為φ,則小環(huán)M的極角為

小環(huán)M的極徑為

將(1)式對時間求導(dǎo)得

小環(huán)M的速度分解為徑向速度vr和橫向速度vφ.

根據(jù)(2)、(3)兩式得

根據(jù)矢量的合成與分解法則得

其中－φ為矢徑r到速度的角度.

小環(huán)M的加速度a分解為徑向加速度ar和橫向加速度aφ,只需求出兩者中的任意一個就可以求出小環(huán)M的加速度.由極坐標(biāo)加速度公式可以看出本題求解相對簡單.

由(4)式得

由(3)式對時間求導(dǎo)得

由(3)、(5)、(6)式得

由加速度的合成與分解得

由于圖中φ變小,a變大,故正確答案是(A)選項(xiàng).

本題的常見解法是先根據(jù)運(yùn)動的合成與分解求出小環(huán)的速度v,然后利用加速度公式求解.雖說得出相同結(jié)果,卻過分依賴數(shù)學(xué),缺少必要的物理過程分析,不利于學(xué)生解題能力的提升.

這道題也可以先求解徑向加速度ar然后進(jìn)行合成,讀者可以試試.

3.2 星體繞中心天體運(yùn)動

例3.已知行星繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)動(開普勒第一定律),試證明行星所受太陽引力必定與距離平方成反比.

解析:行星繞太陽作橢圓運(yùn)動時,在極坐標(biāo)系中其軌跡方程為

其中p為半正焦弦、e為離心率,是兩個常量.

由(1)式對時間t求導(dǎo),得

再次對時間t求導(dǎo),得

極坐標(biāo)系中徑向加速度ar為

得

根據(jù)牛頓第二定律,行星所受的徑向力(即引力)為

對于固定的行星橢圓軌道,L和p均為常量,故引力與距離平方成反比.

討論引力問題選用極坐標(biāo)系時原點(diǎn)選在不動的引力源上,運(yùn)動物體受的力均通過原點(diǎn),是有心力,在極坐標(biāo)中只有徑向力,沒有橫向力.另外,天體在萬有引力作用下的軌道是圓錐曲線,用極坐標(biāo)系表示軌跡形式統(tǒng)一簡單,計(jì)算比較容易.

例4.(第28屆復(fù)賽題)如圖8所示,哈雷彗星繞太陽S沿橢圓軌道逆時針方向運(yùn)動,其周期T為76.1年.1986年它過近日點(diǎn)P0時與太陽S的距離r0＝0.590AU,AU是天文單位,它等于地球與太陽的平均距離.經(jīng)過一段時間,彗星到達(dá)軌道上的P點(diǎn),SP與SP0的夾角θP＝72.0°.已知:1AU＝1.50×1011m,引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2,太陽質(zhì)量mS＝1.99×1030kg,試求P到太陽S的距離rP及彗星過P點(diǎn)時速度的大小及方向(用速度方向與SP0的夾角表示).

圖8

解析:取極坐標(biāo),極點(diǎn)位于太陽S所在的焦點(diǎn)處,由S引向近日點(diǎn)的射線Sx為極軸,極角為θ,取逆時針為正向,用r、θ表示彗星的橢圓軌道方程為

其中e為橢圓偏心率,p是過焦點(diǎn)的半正焦弦,若橢圓的半長軸為a,根據(jù)解析幾何可知

將(2)式代入(1)式得

以TE表示地球繞太陽運(yùn)動的周期,則TE＝1.00年,以aE表示地球到太陽的距離(認(rèn)為地球繞太陽作圓周運(yùn)動),則aE＝1.00AU,根據(jù)開普勒第三定律

在近日點(diǎn)θ＝0,由(3)式得

將θP、a、e的數(shù)據(jù)代入(3)式即得

可以證明,彗星繞太陽作橢圓運(yùn)動的機(jī)械能

式中m為彗星的質(zhì)量.以vP表示彗星在P點(diǎn)時速度的大小.根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

可得

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

圖9

設(shè)P點(diǎn)速度方向與極軸的夾角為φ,彗星在近日點(diǎn)的速度為v0,如圖9,根據(jù)角動量守恒定律有

根據(jù)(8)式,同理可得

由(6)、(10)、(11)、(12)式并代入其他有關(guān)數(shù)據(jù),可得φ＝127°.

解決天體運(yùn)動問題常用兩個守恒方程,即機(jī)械能守恒(如8式)和角動量守恒(如11式),兩式中均含有星體運(yùn)動半徑(如本題中rP),極坐標(biāo)系方程中正好包含此半徑,故可以方便地表示兩個守恒方程,而若應(yīng)用直角坐標(biāo)系來表示就很麻煩了.

3.3 平面內(nèi)的追擊問題

例5.(犬狼追擊題)1只狼沿半徑為R的圓形島邊緣以逆時針方向勻速跑動,如圖10所示,狼過A點(diǎn)時,1只獵犬以相同的速率從O點(diǎn)出發(fā)追擊狼.若追擊過程中,狼、犬、O點(diǎn)始終在同一條直線上,則獵犬是沿什么軌跡運(yùn)動的？在何處追上了狼？

解析:如圖11,以O(shè)A方向建立極坐標(biāo)系,設(shè)某一時刻獵犬和狼的位置分別為B和C,獵犬到圓心O點(diǎn)距離為r,幅角為φ,設(shè)此時獵犬速度為v,與OB方向的夾角為α.

圖10

圖11

由獵犬與狼繞O點(diǎn)角速度相同,得

由上式得

上式兩邊對時間求導(dǎo)

獵犬的徑向速度為

由(2)、(3)式解得

又狼的角速度為

由(4)、(5)式得dα＝dφ,積分得α＝φ＋C.當(dāng)t＝0時,α＝0,φ＝0,所以有

由(1)、(6)式得r＝Rsinφ.

綜上,狼跑過1/4圓后被獵犬追上.

獵犬追狼問題是高中物理競賽的一個經(jīng)典例題.該題有很多解法,但有的解法比較繁瑣高中學(xué)生不易理解,有的解法看似簡潔卻不夠嚴(yán)密.用極坐標(biāo)解決本題,思路清晰,過程簡潔,體現(xiàn)出極坐標(biāo)系在解決平面追擊類問題的優(yōu)勢.

例6.如圖12所示,在外接圓半徑為R的正方形ABCD的4個頂點(diǎn)分別站有一個人,這4個人同時以相同的速率運(yùn)動.在此過程中,從A點(diǎn)出發(fā)者的速度始終指向從B點(diǎn)出發(fā)者,從B點(diǎn)出發(fā)者的速度始終指向從C點(diǎn)出發(fā)者,從C點(diǎn)出發(fā)者的速度始終指向從D點(diǎn)出發(fā)者,從D點(diǎn)出發(fā)者的速度始終指向從A點(diǎn)出發(fā)者.試求4個人的運(yùn)動軌跡.

圖12

圖13

解析:如圖13所示,在某一時刻,從A、B、C、D4點(diǎn)出發(fā)的人分別運(yùn)動到A′、B′、C′、D′點(diǎn).根據(jù)對稱性可知,四邊形A′B′C′D′為正方形.以O(shè)A為極軸建立坐標(biāo)系,則A′點(diǎn)的極坐標(biāo)為(r,φ).設(shè)從A點(diǎn)出發(fā)的運(yùn)動者運(yùn)動到A′點(diǎn)時的速度為v(矢徑到速度v方向的角度為徑向速度為vr,橫向速度為vφ,則將代入上式并化簡,得對上式積分,得r＝Ce－θ,其中C為積分常數(shù).

由上式可以看出,從A點(diǎn)出發(fā)的人的軌跡為一對數(shù)螺線.根據(jù)對稱性,其他3個人的運(yùn)動軌跡也為同樣的對數(shù)螺線.

例5中物體是從極點(diǎn)出發(fā),例6中物體是最終到達(dá)極點(diǎn),兩個都是平面內(nèi)追擊問題.此問題初看起來好像無法下手,然而利用極坐標(biāo)系中徑向速度與橫向速度的大小關(guān)系,不僅可以十分方便地解決此問題,而且物理圖像特別清晰.實(shí)際上我們可以將此問題中的正方形推廣到正n邊形的情況下,運(yùn)動者的軌跡為其中R為正n邊形的外接圓半徑.

4 結(jié)語

上面6道例題是物理競賽中的常見題型,題中物體的共同點(diǎn)都繞著某個固定點(diǎn)運(yùn)動,應(yīng)用極坐標(biāo)系是解決此類問題的系統(tǒng)方案.最新全國中學(xué)生物理競賽內(nèi)容提要(2013年開始實(shí)行)已經(jīng)明確將極坐標(biāo)納入考試范圍,可見其重要性和基礎(chǔ)性.除了增加極坐標(biāo)系之外,內(nèi)容提要還增加了初等函數(shù)的微分和積分,這是非常必要的——沒有微積分的相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就無法真正應(yīng)用極坐標(biāo)系.

1 漆安慎,杜嬋英.力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社,1999.

2 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽物理教程(力學(xué)篇)［M］.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2012.

3 舒幼生.物理學(xué)難題集萃(增訂本)［M］.北京:高等教育出版社,1999.

4 鐘小平.高中物理競賽解題方法(力學(xué)部分)［M］.杭州:浙江大學(xué)出版社,2007.