陳國(guó)貴, 龔善初, 黃亦斌

?

從哈密頓原理推導(dǎo)正則變換條件的幾個(gè)概念問(wèn)題

陳國(guó)貴1, 龔善初*1, 黃亦斌2

(1. 揭陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系, 廣東 揭陽(yáng), 522000; 2. 江西師范大學(xué) 物理與通信電子學(xué)院, 江西 南昌, 330027)

本文厘清了從哈密頓原理推導(dǎo)正則變換條件的幾個(gè)基本概念問(wèn)題, 澄清了一些誤解, 并給出了正確的推導(dǎo)過(guò)程.

哈密頓原理; 正則變換; 相空間

哈密頓原理和正則變換是理論力學(xué)中的重要內(nèi)容. 后者的條件也可從前者導(dǎo)出, 故二者存在緊密聯(lián)系. 然而在從哈密頓原理推導(dǎo)正則變換條件的過(guò)程中, 筆者發(fā)現(xiàn)不少著述都存在一定問(wèn)題.

1 用于推導(dǎo)正則變換條件的哈密頓原理不是通常的哈密頓原理

這一點(diǎn)也可以從物理角度來(lái)理解. 固定相空間中的一點(diǎn)就是給定初位置和初速度, 那么此后的真實(shí)相軌道就完全確定了. 它顯然不一定能通過(guò)預(yù)先給定的相空間中的另一點(diǎn), 從而固定相空間中的2點(diǎn)一般找不到真實(shí)軌道. 與此相反, 位形空間中通過(guò)任意2點(diǎn)總有真實(shí)軌道存在, 這是因?yàn)榇藭r(shí)只是給定了初位形, 還可以調(diào)節(jié)初速度使得在一定時(shí)刻到達(dá)給定的末位形. 因此, 在“修改的哈密頓原理”中, 并不要求、也不能要求相空間中始末端的完全固定, 只要求其部分正則變量——廣義坐標(biāo)固定. 所以, 在相空間中邊界條件的形式只能是由給定時(shí)刻的q(1)和q(2)所確定的2個(gè)超曲面, 而不能是2個(gè)點(diǎn).

2 正則變換條件的正確推導(dǎo)

根據(jù)修改的哈密頓原理, 考慮到邊界條件, 可得正則方程:

根據(jù)正則變換的含義, 希望找到一組新變量

由于原正則方程可由作用量的變分導(dǎo)出, 故新正則方程也應(yīng)涉及新作用量:

的變分:

由于只要求式(3)中的積分項(xiàng)為0能保證式(8)中的積分項(xiàng)為0, 所以兩作用量可相差一邊界項(xiàng):

或者說(shuō), 兩被積函數(shù)可相差一全導(dǎo)數(shù):

或

現(xiàn)在, 由式(8)、式(9)得:

由式(11), 考慮等時(shí)變分, 有:

故式(12)可以寫為:

3 系統(tǒng)取真實(shí)相軌道時(shí)新作用量可不取駐值

先看邊界條件. 由相空間中的一般變換式(5)知:

4 正則變換的條件還可放寬

關(guān)鍵在于式(9). 兩作用量不僅可相差一個(gè)邊界項(xiàng), 還可相差一個(gè)倍數(shù):

[1] Wu TaYou. Classical Mechanics: Langrangian and Hamiltonian Dynamics[M]. Taipei: Lein-King Publ Co, 1977.

[2] 陳濱. Hamilton原理四種表達(dá)形式的異同[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 1994, 16(1):64—68.

[3] 陳濱. 正則空間Hamilton原理的一個(gè)性質(zhì)[A]. 振動(dòng)與控制的研究[C]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 1994.

[4] 朱如曾. 關(guān)于哈密頓原理的兩種不變性問(wèn)題[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 1994, 16(4): 63—67.

[5] 陳濱. 論Hamilton作用量的極值性質(zhì)[J]. 商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào),1997, 13(1): 1—19.

[6] 朱如曾. 非完整力學(xué)的第二類、第一類和中間類型變分原理[J]. 中國(guó)科學(xué)A輯, 1999, 29(1): 49—54.

[7] 格林伍德D T. 經(jīng)典動(dòng)力學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1982: 211—212.

Some conceptual problems in deduction of condition of canonical transformation by Hamilton’s principle

CHEN GuoGui1, GONG ShanChu1, HUANG YiBin2

(1. Department of Electronic Engineering, Jieyang Vocational and Technical College, Jieyang 522000, China; 2. Department of Physics, Jiangxi Normal University, Nanchang 330027, China)

Some conceptual problems in deduction of condition of canonical transformation by Hamilton’s principle are clarified, and some misunderstanding about it are pointed out. The correct deduction is given.

Hamilton’s principle; canonical transformation; phase space

10.3969/j.issn.1672-6146.2014.03.003

O 316

1672-6146(2014)03-0011-04

email: gsc@jyc.edu.cn.

2014-03-27

(責(zé)任編校:劉剛毅)