吳 曉, 趙均海, 孫 晉, 楊立軍

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雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與應(yīng)變分析

吳 曉*1, 趙均海2, 孫 晉1, 楊立軍1

(1. 湖南文理學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院, 湖南 常德, 415000; 2. 長安大學(xué) 建筑工程學(xué)院, 陜西 西安, 710061)

利用雙模量材料圓軸扭轉(zhuǎn)時純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體, 推導(dǎo)出了雙模量材料剪切彈性模量表達(dá)式, 求得了雙模量材料圓軸扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變. 通過分析發(fā)現(xiàn): 各向同性材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變?yōu)榱? 而雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變卻不為零, 雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變的大小主要受拉壓彈性模量、拉壓泊松比的影響. 雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變不為零的原因是: 雙模量材料的拉壓彈性模量、拉壓泊松比均不相等, 這是雙模量材料固有的特點, 也是雙模量材料與各向同性材料的不同之處. 因此, 提出了雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時的平面假設(shè): 雙模量材料圓軸扭轉(zhuǎn)變形前, 原為平面的橫截面變形后仍保持為平面, 形狀不變, 半徑仍保持為直線.

雙模量; 材料; 扭轉(zhuǎn); 剪切; 應(yīng)變; 平面假設(shè)

眾所周知, 鑄鐵、混凝土等材料都具有拉壓彈性模量不同的雙模量特性, 現(xiàn)已有很多文獻(xiàn)對雙模量材料結(jié)構(gòu)在外載荷作用下的變形進(jìn)行了計算分析. 文獻(xiàn)[1—2]采用有限元法分析了雙模量材料板的變形; 文獻(xiàn)[3]研究了雙模量泡沫材料的等效彈性模量; 文獻(xiàn)[4]研究雙模量材料的本構(gòu)關(guān)系; 文獻(xiàn)[5—10]對雙模量材料結(jié)構(gòu)的彎曲變形進(jìn)行了計算分析; 文獻(xiàn)[11—12]研究了雙模量梁的彎曲變形; 文獻(xiàn)[13]證明了軸向載荷對雙模量梁中性軸位置有較大影響. 文獻(xiàn)[14]在分析雙模量材料結(jié)構(gòu)時, 為了簡化計算, 作了假設(shè): 雙模量材料拉伸彈性模量與泊松比的比值等于壓縮彈性模量與泊松比的比值. 事實上, 很多雙模量材料并不滿足文獻(xiàn)[14]的假設(shè). 本文在摒棄文獻(xiàn)[14]假設(shè)的基礎(chǔ)上, 分析了雙模量材料圓軸扭轉(zhuǎn)變形時的應(yīng)力與應(yīng)變.

1 雙模量材料剪切彈性模量

在實際工程中, 由于結(jié)構(gòu)受力多以平面應(yīng)力狀態(tài)居多, 所以本文僅以雙模量材料結(jié)構(gòu)的平面應(yīng)力狀態(tài)為例, 討論其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系. 當(dāng)雙模量材料結(jié)構(gòu)處于平面應(yīng)力狀態(tài), 其受力單元體如圖1所示.

圖1 雙模量材料單元體

對于圖1所示雙模量材料平面應(yīng)力狀態(tài)單元體, 可知其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系分別為:

式中,1、1分別為拉伸彈性模量和泊松比;2、2分別為壓縮彈性模量和泊松比.

對各向同性材料圓軸純扭轉(zhuǎn)進(jìn)行分析時, 文獻(xiàn)[15]平面假設(shè): 圓軸扭轉(zhuǎn)變形前, 原為平面的橫截面變形后仍保持為平面, 形狀和大小不變, 半徑仍保持為直線; 且相鄰兩截面間的距離不變. 文獻(xiàn)[16]平面假設(shè): 兩圓周線繞桿軸線相對旋轉(zhuǎn)了一個角度, 圓周線的大小和形狀均未改變; 在變形微小的情況下, 圓周線的間距也未變化. 文獻(xiàn)[17]平面假設(shè): 圓桿的橫截面象剛體一樣繞縱軸旋轉(zhuǎn), 其半徑仍保持直線, 橫截面仍保持圓形. 此外, 如果桿的總扭轉(zhuǎn)角很小, 桿長和其半徑均不會改變.

本文對圖2(a)所示雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)進(jìn)行分析時, 作如下平面假設(shè): 圓軸扭轉(zhuǎn)變形前, 原為平面的橫截面變形后仍保持為平面, 形狀不變, 半徑仍保持為直線.

圖2(a)所示雙模量材料圓軸扭轉(zhuǎn)時, 可知其受力單元體為圖2()所示純剪切狀態(tài), 所以由材料力學(xué)理論可以得到:

利用式(2)或式(3)及式(5)可以求得:

由材料力學(xué)應(yīng)變公式可得以下各式:

利用式(6)、(7)可以求得:

由于γ=/, 所以雙模量材料剪切彈性模量為:

利用式(7)、(8)有:

所以, 由式(11)可以求得:

2 雙模量圓軸扭轉(zhuǎn)時平面假設(shè)

對式(12)進(jìn)行分析可知, 圖2所示雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時, 雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變是不為零的, 雙模量材料圓軸扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變?yōu)槭?12)中的ε=((1-1)/1-(1-2)/2)/2. 由于有機(jī)玻璃是典型的雙模量材料, 下面以有機(jī)玻璃為例來分析1/1=2/2對雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變的影響. 有機(jī)玻璃的材料參數(shù)為:1= 172 GPa,1= 0.34,2= 295 GPa,2= 0.395. 把有機(jī)玻璃的材料參數(shù)代入式(12)可得:ε=((1-1)/1-(1-2)/2)/2 = 0.089 3× 10-5. 把有機(jī)玻璃的材料參數(shù)代入式(12), 并假設(shè)1/1=2/2, 有ε'=(1/1-1/2)/2 = 0.121 2× 10-5. 對比以上計算結(jié)果, 可知兩者相對誤差為(ε'-ε)/ε= 35.72%. 這說明假設(shè)1/1=2/2時, 對相關(guān)雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變帶來的誤差影響是非常大的. 所以, 研究雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時, 為了簡化計算, 假設(shè)1/1=2/2是不合理的.

圖2 雙模量扭轉(zhuǎn)模型

現(xiàn)有文獻(xiàn)對雙模量材料結(jié)構(gòu)在外載荷作用下變形進(jìn)行計算分析時, 都沿用彈性理論研究各向同性材料結(jié)構(gòu)外載荷作用下變形時所作的基本假設(shè). 文獻(xiàn)[15—17]研究各向同性材料圓軸純扭轉(zhuǎn)作的平面假設(shè)在本質(zhì)上是相同的. 文獻(xiàn)[15]作的平面假設(shè)是默認(rèn)了圓軸純扭轉(zhuǎn)變形很微小, 所以相鄰兩截面間的距離不變. 文獻(xiàn)[16]作的平面假設(shè)是: 在變形微小的情況下, 圓周線的間距也未變化. 文獻(xiàn)[17]作的平面假設(shè)是: 如果桿的總扭轉(zhuǎn)角很小, 桿長和其半徑均不會改變. 顯然本文的研究結(jié)果表明, 文獻(xiàn)[15—17]研究各向同性材料圓軸純扭轉(zhuǎn)作的平面假設(shè), 對研究雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)已不適用.

由于扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)是研究圓軸純扭轉(zhuǎn)的基礎(chǔ), 所以本文對雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與應(yīng)變計算結(jié)果進(jìn)行分析, 并把雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與應(yīng)變計算結(jié)果與文獻(xiàn)[14]研究雙模量材料純剪切狀態(tài)時的結(jié)論進(jìn)行比較, 提出了雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時的平面假設(shè): 雙模量材料圓軸扭轉(zhuǎn)變形前, 原為平面的橫截面變形后仍保持為平面, 形狀不變, 半徑仍保持為直線. 本文的研究為進(jìn)一步深入分析雙模量材料圓軸的扭轉(zhuǎn)奠定了基礎(chǔ).

3 結(jié)論

① 推導(dǎo)出了雙模量材料剪切彈性模量表達(dá)式.

② 假設(shè)1/1=2/2, 對相關(guān)雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變帶來的誤差影響是非常大的. 所以, 研究雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時, 為了簡化計算, 假設(shè)1/1=2/2是不合理的.

③ 雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變不為零. 雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變不為零的原因是: 雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時軸向正應(yīng)變的大小主要受拉壓彈性模量、拉壓泊松比的影響,雙模量材料的拉壓彈性模量、拉壓泊松比均不相等, 這是雙模量材料固有的特點, 也是雙模量材料與各向同性材料的不同之處.

④ 提出了雙模量材料圓軸純扭轉(zhuǎn)時的平面假設(shè): 雙模量材料圓軸扭轉(zhuǎn)變形前, 原為平面的橫截面變形后仍保持為平面, 形狀不變, 半徑仍保持為直線.

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Analysis of stress and strain for circular shaft with bimodular materials in torsion

WU Xiao1, ZHAO JunHai2, SUN Jin1, YANG LiJun1

(1. College of Civil and Architecture Engineering, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China; 2. School of Civil and Engineering, Changan University, Xi’an 710061, China)

Using the pure shear stress state element of circular shaft with bimodulus materials in torsion, the shear modulus expression is derived, and then the axial normal strain of circular shaft with bimodulus materials in torsion is obtained. And the analysis shows that the normal strain was zero of circular shaft in torsion with isotropic properties materials, while the normal strain was not zero with bimodulus materials. And the axial normal strain of circular shaft with bimodulus materials in torsion was mainly controlled by the tensile and compressive elastic modulus, tensile and compression Poisson ratio. The reason of axial normal strain being not zero is as follow: elastic modulus of tension and compression, tension and compression Poisson ratio are not equal. So this is the characteristic of bimodulus material, and which is different from isotropic properties materials. Therefore, the hypothesis is proposed of circular shaft with bimodulus materials in torsion: the cross section of circular shaft with bimodulus materials in torsion remains plane, and its shape remains same, radius remains as a straight line.

bimodulous; materials; torsion; shear, strain; plane assumption

10.3969/j.issn.1672-6146.2014.03.015

O 341

1672-6146(2014)03-0063-04

email: wx2005220@163.com.

2014-03-26

湖南省“十一五”重點建設(shè)學(xué)科資助(湘教通[2006]180號)

(責(zé)任編校: 江 河)