基于瞬態(tài)Ar方程的非線性渦流無損評價數(shù)值模擬

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（1.中國工程物理研究院 總體工程研究所，綿陽 621900；2.西安交通大學 航天航空學院，西安 710049）

碳素鋼等磁性材料因其良好的力學性能和耐腐蝕性被用作核電站中主要的結構材料。地震等強載荷產生的塑性變形等機械損傷可能導致結構材料斷裂和失效，結構材料塑性變形等機械損傷的定量無損檢測和評價是保證核電站安全的關鍵技術。

國內塑性變形損傷傳統(tǒng)評價方法主要有基于金相分析、硬度壓痕測試和X射線衍射法等，屬于破壞性測試或無法在現(xiàn)場使用。國內外基于非線性渦流檢測的試驗研究如日本M.SHI WA基于非線性渦流信號，研究發(fā)現(xiàn)非線性渦流信號頻譜分析后的三次諧波分量幅值隨鉻鉬鋼焊后熱處理溫度發(fā)生顯著變化［1]。日本東北大學 T.TAKAGI和 T.UCHIMOTO研究過非線性渦流信號與石墨鑄鐵中白口組織（鑄件內部因含滲碳體導致局部過硬的缺陷）含量以及鑄鐵內石墨形態(tài)特征的相關性［2－3]。

筆者之前就非線性渦流檢測對碳素鋼材料的塑性損傷評價開展了一些試驗研究，而國內外關于非線性渦流檢測的數(shù)值模擬還未見研究報道。作為非線性渦流數(shù)值模擬的一個嘗試，基于Ar方程和Crank－Nicholson直接積分法首次開發(fā)了非線性渦流數(shù)值模擬程序，并且通過對比數(shù)值模擬結果與試驗檢測結果，證明了塑性變形導致的磁導率變化是非線性渦流檢測信號變化的直接誘因，也驗證了非線性渦流檢測對碳素鋼等磁性材料塑性變形無損定量評價的可行性。

1 瞬態(tài)Ar方程

磁準靜態(tài)場（MQS）的麥克斯韋方程忽略位移電流密度項，其微分形式的基本方程組為［4]：

式中：H為磁場強度，A·m－1；J為電流面密度，A·m－2；E為電場強度，V·m－1；B為磁感應強度，T；D為電通密 度，C·m－2；ρ為電 荷 體 密 度，C·m－3。

由于磁場B是無源場，所以有▽·B＝0，引入一個矢量函數(shù)A（稱為磁矢位）使得B＝▽×A，推導可得：

對全體分析區(qū)域進行劃分，并定義各個劃分區(qū)域（如圖1）：

全體區(qū)域：衰減區(qū)域＋混合區(qū)域＋正常區(qū)域。

衰減區(qū)域：僅由變形矢量磁位Ar記述的區(qū)域Vr。

混合區(qū)域：Ar和僅依賴電流源的As相混合的一層有限元區(qū)域Vtr。

正常區(qū)域：由通常矢量磁位A（＝Ar＋As）記述的區(qū)域Vt。

圖1 分析區(qū)域劃分示意圖

導體區(qū)域：包含在正常區(qū)域中的導體區(qū)域。

其中總磁矢位A＝Ar＋As，Ar稱為變形磁矢位，As是僅僅由電流源所產生的磁矢位。由于在分析區(qū)域內僅依賴電流源的場As和僅依賴渦電流源的場Ar是獨立考慮的，所以不劃分電流源的網格。

由式（1）和（5）可得在空氣中：

所以低頻渦流場微分控制方程為：

由式（5）可得在導體中：

由磁場的連續(xù)性邊界條件得：

利用六面體棱邊元方法對微分控制方程式（9）～（12）進行有限元離散可得伽遼金有限元方程如式（13）：

式中：［N]為矢量形狀函數(shù)；n為單位法線矢量。

可簡寫為：

2 數(shù)值模擬程序改良與開發(fā)

將非線性渦流數(shù)值模擬作為瞬態(tài)問題而非復數(shù)問題處理，基于變形磁矢位低頻渦流場控制方程式（14）可寫成：

式中：［K]，［C]，［M]為全局系數(shù)矩陣；I（t）為依賴于時間函數(shù)的激勵電流，采用正弦激勵電流；A為矢量磁位，Wb·m－1。

對于瞬態(tài)問題，矢量磁位A關于時間的導數(shù)?A/?t可由關于時間步的差分（Ak－Ak－1）/Δt近似計算，其中Ak＝A（t0＋kt），k表示第k次時間步，t表示時間步長，t0表示初始時間。為了提高計算穩(wěn)定性，矢量磁位A可由Crank－Nicholson直接積分法替換：

式中：0≤θ≤1為控制積分穩(wěn)定性的參數(shù)。

將式（16）代入式（15），則當前步的矢量磁位A可通過式（17）計算出來。

對于常規(guī)渦流法的數(shù)值模擬通常將材料的磁導率視為一定值來處理。因控制方程的剛度矩陣與單元的磁導率相關，將所有導體單元的磁導率定義為一個數(shù)組，以每個單元中心的磁感應強度作為判定參數(shù)，滿足一定條件則對該單元的磁導率進行重新賦值，然后進入下一個積分時間步。直至所有積分時間步計算完成，輸出所有時間步檢測線圈的電壓檢測值。

利用定長時間步的Crank－Nicholson直接積分法改良低頻渦流場的數(shù)值模擬程序，在逐步積分法的每個時間步中導入碳素鋼相對磁導率μr和磁感應強度B的非線性磁化曲線，通過非線性磁化曲線對磁導率進行重新賦值，而不同于常規(guī)渦流法中將磁導率視為一個定值來處理。圖2所示為所采用的碳素鋼μr－B近似磁化關系曲線［5]。

將μr－B關系曲線近似分為若干個區(qū)間，通過式（17）計算出矢量磁位A，從而可以計算出磁感應強度B。如果某一積分時間步計算所得的單元中心磁感應強度B滿足Bi＜B＜Bi＋1，則通過式（18）的迭代方法對該單元磁導率重新賦值：

圖2 碳素鋼μr－B關系曲線

重新賦值后的磁導率進行單元剛度陣組裝并進行下一次的積分時間步的信號計算。最后輸出所有時間步的檢測信號。由此，基于瞬態(tài)Ar方程并改良后的模擬程序可計算得出非線性渦流模擬信號。

3 模型算例與結果

利用定長時間步的Crank－Nicholson直接積分法改良開發(fā)的數(shù)值模擬程序，在逐步積分法的時間步中導入碳素鋼的非線性磁化曲線，可獲取非線性渦流的數(shù)值模擬信號。圖3所示為非線性渦流法的數(shù)值計算模型，為了提高計算速度，采用有限元和棱邊元方法對整個分析區(qū)域進行離散，將導體外電流源的作用等效在導體的邊界上，因此線圈是不需要網格劃分的，只需要對導體區(qū)域和空氣區(qū)域進行網格劃分。在計算模型中激勵線圈和檢出線圈直徑15 mm，高3 mm，匝數(shù)500。

圖3 非線性渦流數(shù)值計算模型

根據(jù)導入的非線性磁化曲線，采用開發(fā)的非線性渦流數(shù)值模擬程序計算得到，在任意激勵頻率下的非線性渦流檢測信號。在激勵線圈中施加一正弦電流，圖4為檢出線圈中得到的檢測信號與正弦激勵信號對比圖，從圖中可見檢測信號不完全是一正弦信號，出現(xiàn)了倍頻信號。

碳素鋼發(fā)生塑性變形后會產生反磁致伸縮效應，材料內部微觀組織發(fā)生貝氏體等相變導致磁各向異性，從而影響材料的初始磁導率等電磁特性［6－9]。根據(jù)該原理，在非線性渦流檢測信號的數(shù)值模擬中通過改變圖2中材料的初始磁導率（假定范圍為60～85 H/m），等效模擬材料不同程度塑性變形的情況。對所得到的檢測信號進行傅里葉變換的頻譜分析之后得到信號的功率頻譜圖如圖5所示，圖中可見基波和高次諧波的波峰。

圖4 非線性渦流數(shù)值模擬信號

在數(shù)值模擬中任意選取10 kHz作為激勵頻率，計算得到不同初始磁導率情況（即不同程度塑性變形）下材料的非線性渦流信號，提取檢測信號頻譜圖中基波、三次諧波對應的幅值參數(shù)，可得到不同初始磁導率情況（即不同程度塑性變形）下的關系結果，如圖6所示。

由以上關系結果圖可發(fā)現(xiàn)非線性渦流模擬信號頻譜圖中基波幅值、三次諧波隨材料的初始磁導率即塑性變形程度的增大出現(xiàn)下降的趨勢，這一趨勢與此前試驗中碳素鋼的檢測結果是一致的。

圖5 非線性渦流模擬信號頻譜圖

圖6 基波與三次諧波幅值與塑性變形關系

4 結論

基于變形磁矢位（Ar）低頻渦流場控制，采用Crank－Nicholson直接積分法改良開發(fā)了非線性渦流數(shù)值模擬程序。對一簡化的磁性材料三維模型，以不同初始磁導率等效模擬材料不同程度塑性損傷，計算得到不同損傷程度下非線性渦流信號。提取信號中基波幅值和三次諧波幅值得出與塑性損傷之間關系曲線。通過對比該關系曲線與此前試驗研究中碳素鋼的試驗檢測結果是一致的，證明了塑性變形導致的磁導率變化是非線性渦流檢測信號變化的直接誘因，也驗證了非線性渦流檢測對碳素鋼等磁性材料塑性變形無損定量評價的可行性。

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