張亞飛，韓凱歌，沈艷

哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001

最小二乘廣義逆求解方法研究及應(yīng)用

張亞飛，韓凱歌，沈艷

哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001

廣義線性系統(tǒng)是自動控制理論的一個重要組成部分，在研究廣義線性系統(tǒng)的諸多問題中常常需要計算系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的廣義逆，因而廣義逆矩陣的求解方法就顯得格外重要。文中給出了矩陣最小二乘廣義逆的2種求解方法，分別證明了2種方法的正確性，最后舉出廣義線性控制系統(tǒng)的實際算例。通過用這2種方法求解系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的最小二乘廣義逆，驗證了所給方法的有效性和可行性，同時方法簡單易行，適合計算機(jī)編程計算。

廣義系統(tǒng)；Moore-Penrose方程；矩陣廣義逆；最小二乘廣義逆；行式

1920年穆爾（Moore）首先提出了廣義逆的概念，其后的30年并未受到人們的重視，直到1955年英國物理學(xué)家彭諾斯（Penrose）明確提出與Moore的廣義逆等價的定義，廣義逆的概念才引起數(shù)學(xué)界的重視，從此以后廣義逆矩陣進(jìn)入了一個新的研究階段。現(xiàn)如今，廣義逆矩陣主要應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、系統(tǒng)理論、信號處理、現(xiàn)代控制理論等領(lǐng)域［1］，這大大推動了廣義逆矩陣?yán)碚摰难杆侔l(fā)展，使其成為矩陣論的一個重要分支。

1 廣義逆矩陣的定義

根據(jù)文獻(xiàn)［2-4］，矩陣廣義逆的定義如下：

定義1 設(shè)矩陣A∈?m×n，若存在矩陣G∈?n×m，滿足以下4個方程（Moore-Penrose簡稱M-P方程的全部或者一部分，則G稱為A的1個Moore-Penrose廣義逆矩陣（AH為A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣）。

按照定義，如果G是滿足第i個條件的廣義逆矩陣，就記為A{ i}，如果G是滿足第i、j個條件的廣義逆矩陣，就記為A｛i，j｝，如果G是滿足第i、j、k個條件的廣義逆矩陣，就記為A｛i，j，k｝，如果G是滿足4個條件的廣義逆，就記為A｛1，2，3，4｝或A＋。其中只有A＋是唯一確定的，其余A｛i｝、A｛i，j｝、A｛i，j，k｝中廣義逆矩陣都是不唯一的，每一種廣義逆都包含一類矩陣，應(yīng)用較多的主要以下5種：

A｛1｝，A｛1，2｝，A｛1，3｝，A｛1，4｝，A｛1，2，3，4｝。A｛1，3｝中任意一個確定的廣義逆矩陣稱作矩陣A的最小二乘廣義逆。

文獻(xiàn)［5］中給出了求滿秩矩陣A的減號逆矩陣A｛1｝的2種方法；文獻(xiàn)［6］在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上將其推廣到求自反廣義逆矩陣A｛1，2｝，本文將根據(jù)已有結(jié)論繼續(xù)推廣至求矩陣A的最小二乘廣義逆矩陣A｛1，3｝。

式中：i1，i2，…，im是1，2，…，n中m個數(shù)碼的選排列；τ（i1，i2，…，im）是排列i1，i2，…，im的逆序數(shù)。

若D是一個m×n（m≥n）階列式，則有：

式中：j1，j2，…，jn是 1，2，…，m 中 n個數(shù)碼的選排列。τ（j1，j2，…，jn）是排列j1，j2，…，jn的逆序數(shù)。

不難證明，行式與行列式有相同的有關(guān)行的性質(zhì)［7］，對于行式可以先進(jìn)行行變換，化成階梯型，則行式可求；同樣，列式與行列式有相同的有關(guān)列的性質(zhì)，通過列變化可求得列式的值。

為A的廣義伴隨矩陣，這里Aij（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n）是矩陣A中元素aij的代數(shù)余子行（列）式［7］。

即行式有依行展開：

2 求矩陣最小二乘廣義逆的2種方法

由線性代數(shù)的有關(guān)結(jié)論有：若矩陣A∈?n×n，A＝（aij）n×n，則一行元素與另一行相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零；若A∈?m×n，A＝（aij）m×n，文獻(xiàn)［7］中：

式中Im為m階單位陣。

由于文中研究均為實矩陣，故AH可寫為AT。

2．1 求矩陣最小二乘廣義逆A｛1，3｝的伴隨矩陣法

2．2 求矩陣最小二乘廣義逆A｛1，3｝的初等變換法

不妨設(shè)矩陣A∈?m×n，r≤min｛m，n｝，用

表示矩陣 A 位于 i1，i2，…，ir行，j1，j2，…，jr列的元素保持位置不變的r階方陣，故

的計算與線性代數(shù)中求方陣逆矩陣方法一致，可用初等變換或公式法求得。

定理2 設(shè)矩陣A∈?m×n，（m≤n），如果矩陣

為滿秩方陣，則

是矩陣A的最小二乘廣義逆，其中O是（n－m）× m階零矩陣。

是A的最小二乘廣義逆（證畢）。

3 算例分析

矩陣最小二乘廣義逆是現(xiàn)代控制理論研究的基礎(chǔ)，它廣泛應(yīng)用于自動控制理論中［8-9］。下面給出廣義線性控制系統(tǒng)的算例。

例 考慮廣義線性控制系統(tǒng)：

式中：x（t）為狀態(tài)向量，u（t）為輸入向量。設(shè)該系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣為這里分別用上述2種方法求出狀態(tài)矩陣A的最小二乘廣義逆。

1）伴隨矩陣法

即為狀態(tài)矩陣A的最小二乘廣義逆。

2）初等變換法

顯然，矩陣A的秩r（A）＝2，若取

以上G1、G2、G3均為A的最小二乘廣義逆。

算例只討論到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣最小二乘廣義逆，后續(xù)系統(tǒng)研究問題在此暫不詳述。

廣義線性系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的最小二乘廣義逆矩陣是研究廣義系統(tǒng)解耦問題、系統(tǒng)等價變換以及魯棒控制器設(shè)計等諸多問題的基礎(chǔ)，因此矩陣最小二乘廣義逆的求解方法對自動控制理論研究有重要意義。另外，最小二乘廣義逆還用于求解線性方程組［10-11］。

4 結(jié)束語

文中給出2種求解矩陣最小二乘廣義逆的方法，公式簡單易行，便于計算機(jī)編程處理。在處理線性方程組、廣義線性控制系統(tǒng)有關(guān)問題時，經(jīng)常需要求得相關(guān)矩陣的最小二乘廣義逆，利用文中給出的結(jié)論易將最小二乘廣義逆顯式給出。

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Research and application on the solution of
the least square generalized inverses

ZHANG Yafei，HAN Kaige，SHEN Yan
College of Science，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China

A generalized linear system is an important part of automatic control theory，and the generalized inverse of status matrix needs to be calculated usually in the research of generalized linear system，thus the solving methods of generalized inverse is especially significant．This paper discusses two methods to get the least square generalized inverse of matrix，both the processes of proof are given．A generalized linear system as an example shows that the two methods are valid and practical．The least square generalized inverse is obtained by the two methods respective-ly．It also validates that the two methods are simple and easy，suitable for programming and computing．

generalized linear system；Moore-Penrose equation；generalized inverse of matrix；least square general-ized inverse；determinants of rows

O151．21

A

1009-671X（2014）03-0060-004

10．3969／j．issn．1009－671X．201307017

http：／／www．cnki．net／kcms／doi／10．3969／j．issn．1009-671X．201307017．html

2013-07-22．

日期：2014-06-05．

國家自然科學(xué)基金資助項目（11002037）．

張亞飛（1988-），男，碩士；

沈艷（1965-），女，教授，博士．

張亞飛，E-mail：314888842＠qq．com．