黃 磊，劉利琴，唐友剛

（天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072）

二維矩形月池內(nèi)流體自振特性研究

黃 磊，劉利琴，唐友剛

（天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300072）

研究二維矩形月池流體的自振特性?；诰€性勢流理論，采用Galerkin展開，將問題轉(zhuǎn)化為月池自振頻率特征值問題，求解自振頻率及速度勢函數(shù)的系數(shù)矩陣，獲得二維矩形月池固有頻率及振型的半解析解，分析月池幾何參數(shù)對月池流體自振特性影響。研究表明，由于內(nèi)部與外流連通，月池流體呈垂向活塞（piston）振動及晃蕩（sloshing）運動兩種形式。垂向活塞振動模態(tài)頻率變化主要受液面高度影響，且隨液面高度增加而減小；晃蕩模態(tài)頻率主要受月池寬度影響，隨月池寬度增加而減小?；钊駝幽B(tài)振型在液面較淺時出現(xiàn)波峰，隨液面高度增加而消失。利用CFD方法計算月池運動，結(jié)果與半解析解中振型曲線擬合良好。

月池；半解析解；自振特性；勢流理論

鉆井船、FPSO及Spar平臺等海洋結(jié)構(gòu)物常據(jù)實際需要布置垂直方向貫穿結(jié)構(gòu)主體的月池結(jié)構(gòu)，立管及其它鉆井設(shè)施穿過月池通向海底，以避免遭受過大波流載荷激勵［1－3］。由于底部開口，月池內(nèi)流體運動存在兩類固有振蕩形式，即流體沿深度方向“活塞（piston）”振動及流體液面左右“晃蕩（sloshing）”運動［4－6］。針對月池內(nèi)流體的振動特性及復(fù)雜海洋環(huán)境中月池流體與結(jié)構(gòu)的耦合運動已開展相關(guān)研究。如Aalbers［7］將月池內(nèi)水柱的活塞振蕩處理為彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)，研究波浪作用的船體發(fā)生垂向運動時月池內(nèi)流體活塞振動，分析月池內(nèi)水柱活塞振蕩特性對船舶垂蕩運動影響。結(jié)果表明，月池能有效降低船舶垂蕩運動，改善其運動特性。Molin［8］假設(shè)無限水深靜止船舶的矩形月池，用簡化的準解析法研究月池中流體活塞振蕩、晃蕩運動的固有振動特性，給出液艙內(nèi)流體活塞振動、晃蕩的一階固有頻率近似表達式，并模擬月池內(nèi)二、三維自由液面形狀。Faltinsen等［9］對有限水深條件下二維矩形月池建立線性勢流方程，通過求解域分解，利用伽遼金法研究船舶小幅輻射運動對月池活塞振蕩運動的解析解。Kristiansen等［10－12］利用CFD建立二維月池模型，研究非線性自由液面、邊界阻尼及流動分離對月池活塞振蕩影響，結(jié)果表明流動分離是造成線性勢流理論結(jié)果高于實驗測量數(shù)據(jù)的主要原因。姚熊亮等［13－14］通過實驗研究圓形月池在波浪條件下的流激振蕩特性。周華偉等［15］據(jù)勢流理論研究具有月池的圓柱結(jié)構(gòu)輻射與繞射問題。Zhang等［16］通過分解求解域方法研究兩層流中的月池運動問題。

本文在文獻［8］基礎(chǔ)上，基于線性勢流理論研究二維矩形月池的活塞振動、晃蕩運動特性，分析月池幾何參數(shù)對月池流體自振特性影響，利用CFD軟件模擬月池運動對比解析解振型曲線，研究成果可為相關(guān)計算分析及結(jié)構(gòu)設(shè)計提供參考依據(jù)。

1 數(shù)學(xué)模型建立

月池長度遠大于寬度時，長度方向?qū)υ鲁刈哉裉匦杂绊戄^小。因此可將月池簡化為二維形式?？紤]的二維矩形月池寬度b，液面高度h，月池底部完全開放。建立坐標系，原點o位于月池底部左下角，見圖1。

圖1 二維矩形月池坐標系Fig．1 Coordinate of a two dimensional rectanglemoonpool

設(shè)船舶具有無限長寬且靜止不動，月池內(nèi)流體為無粘、無旋、不可壓縮的理想流體，據(jù)線性勢流理論，得月池內(nèi)流體控制方程為

2 數(shù)值計算結(jié)果

2.1 系數(shù)矩陣數(shù)值計算

本文利用復(fù)化辛浦生算法［17］，數(shù)值計算式（13）中二重積分得系數(shù)tmn，并將計算結(jié)果與采用Molin計算方法［8］所得結(jié)果進行對比，見圖2。由圖2看出，兩種計算方法所得結(jié)果吻合較好。

2.2 固有振動頻率

通過Galerkin展開將計算月池的固有振動特性問題轉(zhuǎn)化為計算式（18）的特征值問題。截取適當階次，即可得各階頻率近似解。其中0階代表月池的piston模態(tài)，奇數(shù)階代表反對稱sloshing模態(tài)，其余偶數(shù)階代表對稱sloshing模態(tài)。取月池寬b＝20 m、液面高h分別為1 m、10 m時，不同截斷階次N對應(yīng)的piston模態(tài)及前三階sloshing模態(tài)頻率見表1、表2。由二表看出，各階頻率收斂速度均較快。

表1 b＝20 m，h＝1 m不同截斷階次下各階模態(tài)頻率Tab.1 b＝20 m，h＝1m，Piston and sloshingmode frequencies for d ifferent truncation order

表2 b＝20 m，h＝10m不同截斷階次下各階模態(tài)頻率Tab.2 b＝20 m，h＝10 m，Piston and sloshing mode frequencies for different truncation order

月池寬度b分別為10 m、20 m時piston模態(tài)頻率及1、2階sloshing模態(tài)頻率隨月池液面高度h的變化曲線見圖3～圖6。

圖2 積分結(jié)果對比Fig．2 Integration value comparison

圖3 自振頻率隨h變化（b＝10 m）Fig．3 Natural frequency change versus h（b＝10 m）

圖4 自振頻率比值隨h變化（b＝10 m）Fig．4 Ratio of natural frequency change versus h（b＝10 m）

圖3為各階自振頻率隨液面高度h變化曲線。由圖3看出，Piston模態(tài)頻率為最低階模態(tài)。此階模態(tài)振動時月池內(nèi)流體整體上下運動，隨液面高度增加流體質(zhì)量持續(xù)增加，自振頻率隨之降低。而各階sloshing模態(tài)主要由自由液面左右晃動激勵時產(chǎn)生，液面高度變化不影響sloshing模態(tài)，各階sloshing曲線為水平平行；但液面高度較低時自由液面位置離月池底部較近，sloshing頻率會隨h增高而降低，由于月池底部開放內(nèi)外相連，流體流動對自由液面運動產(chǎn)生耦合作用。由此知，月池水平運動時底部開放對月池內(nèi)流體影響范圍較小，離月池底超5 m以上的流體已基本不受底部流體流動影響。

圖4為對應(yīng)不同液面高度h的各階自振頻率與h＝0．001 m時自振頻率比值變化曲線。由圖4可清晰看出各階頻率變化率。h較小時頻率下降速度相同，此時底部流體流動明顯主導(dǎo)各階模態(tài)變化；而隨h升高，僅piston模態(tài)頻率持續(xù)下降，其它各階sloshing模態(tài)頻率不變化。

圖5、圖6為月池寬度20 m時兩組頻率隨h變化曲線。與圖3、圖4對比看出，月池寬度增加未改變自振頻率隨h的變化規(guī)律。由此可見，液面高度h為決定pinston模態(tài)頻率的關(guān)鍵參數(shù)，而對sloshing模態(tài)頻率影響較小。由于piston模態(tài)頻率隨h持續(xù)降低，h較高時piston模態(tài)自振頻率可能接近平臺自振頻率及波浪入射頻率，應(yīng)特別關(guān)注。圖7為液面高度1 m時月池各階自振頻率隨月池寬度變化曲線。由圖7看出，月池寬度從1 m增長至15 m時各階頻率均逐漸減小，超過15 m后頻率變化趨于平穩(wěn)。對比各曲線知，sloshing模態(tài)頻率隨寬度變化率高于piston模態(tài)。圖8為各高度頻率與液面1 m高頻率比值變化曲線。由圖8看出，各階sloshing模態(tài)頻率隨月池寬度變化率相同，均高于piston模態(tài)頻率。

圖5 自振頻率隨h變化（b＝20 m）Fig．5 Natural frequency change h（b＝20 m）

圖6 自振頻率比值隨h變化（b＝20m）Fig．6 Ratio of natural frequency change versus versus h（b＝20 m）

圖7 自振頻率隨b變化（h＝1m）Fig．7 Natural frequency change versus b（h＝1m）

圖10 自振頻率比值隨b變化（h＝10 m）Fig．10 Ratio of natural frequency change versus b（h＝10m）

圖8 自振頻率比值隨b變化（h＝1 m）Fig．8 Ratio of natural frequency change versus b（h＝1m）

圖9 自振頻率隨b變化（h＝10 m）Fig．9 Natural frequency change versus b（h＝10m）

圖7、圖8中月池液面較淺，寬度高于液面高度，該形式月池在鉆井船、FPSO等結(jié)構(gòu)中較常見。而對深水SPAR平臺月池，其液面較高與月池長度相當，甚至高于月池長度。圖9～圖12為液面高度10 m、20 m時自振頻率隨月池寬度變化曲線。由圖9看出，b＜10 m時sloshing模態(tài)頻率下降較明顯；b＞10 m后隨寬度繼續(xù)增加sloshing模態(tài)頻率變化逐漸平緩。piston模態(tài)曲線則始終變化較小，曲線形狀較平緩。對比圖11可知，液面高度20 m時自振頻率隨月池寬度變化與圖9中液面高度10 m曲線具有完全相同規(guī)律。圖10為不同月池寬度時各階自振頻率與b＝1 m時比值變化曲線。由圖11看出，各階sloshing頻率隨寬度增加變化規(guī)律完全相同，且變化速度由快變慢。對比圖12看出，液面高度增加未影響此變化規(guī)律。

由圖9～圖12可知，月池寬度對sloshing模態(tài)頻率影響非常明顯，此為sloshing模態(tài)由自由液面運動所致。月池寬度變化對自由液面形狀產(chǎn)生直接影響，因此自振模態(tài)頻率發(fā)生明顯變化。液面較低時自由液面離底部較近，其運動會受由底面流體流動影響，但范圍有限。而對垂直方向振動的piston模態(tài)頻率，基本不受月池寬度變化影響。

2.3 自由液面

將由式（18）所得各階特征值對應(yīng)的特征向量矩陣B代入式（19）得矩陣A。將矩陣A、B代入式（9）及自由液面方程

式中：η為波面升高。

由式（20）可得各階自振頻率對應(yīng)振型。

圖13～圖15為20 m寬月池不同液面高度時piston模態(tài)及1～3階sloshing模態(tài)對應(yīng)振型。由三圖看出，piston模態(tài)呈活塞運動特性，波面整體升高偏離平衡位置；sloshing模態(tài)奇數(shù)階為反對稱振型，偶數(shù)階為對稱振型，波面曲線在平衡位置具有三角函數(shù)特征。

圖11 自振頻率隨b變化（h＝20m）Fig．11 Natural frequency change versus b（h＝20 m）

圖12 自振頻率比值隨b變化（h＝20m）Fig．12 Ratio of natural frequency change versus b（h＝20 m）

圖13 b＝20m，h＝0．02 m時月池各階模態(tài)振型Fig．13 Free surface shape for different orders when b＝20 m，h＝0．02 m

圖14 b＝20 m，h＝2 m時月池各階模態(tài)振型Fig．14 Free surface shape for different orderswhen b＝20 m，h＝2m

圖15 b＝h＝20 m時月池各階模態(tài)振型隨h變化Fig．15 Free surface shape for different orderswhen b＝h＝20m

圖16 b＝20 m時piston模態(tài)振型Fig．16 Free surface shape of piston mode for different h when b＝20 m

對比圖13～圖15看出，不同液面高度振型具有明顯差異。h＝0．02 m時液面較低，sloshing模態(tài)各階振型在接近月池兩側(cè)壁處出現(xiàn)波峰，piston模態(tài)在月池寬度方向出現(xiàn)波峰。當液面高度達到2 m時波峰逐漸減小，低階頻率波峰仍存在，而高階頻率此現(xiàn)象已消失。該現(xiàn)象因底部流體流動所致。piston模態(tài)液面較低，液柱在垂向振動時，液面向上或向下會出現(xiàn)波峰，而高液面時，液面完全呈平面，在平衡位置上下振動。sloshing模態(tài)隨液面高度增加底面流動對其影響衰減較迅速。底面流動對自由液面形狀影響隨h減小速度高于對頻率影響減小速度。

圖17 b＝20 m時不同h一階sloshing模態(tài)振型Fig．17 Free surface shape for 1st orders sloshingmode for different h

圖18 b＝20 m時不同h二階sloshing模態(tài)振型Fig．18 Free surface shape for 2nd orders sloshingmode for different h

圖19 CFD模型Fig．19 CFD model

寬20 m、不同液面高度時piston模態(tài)振型曲線見圖16。該圖進一步表明，液面越低piston模態(tài)在月池寬度方向波峰越大。液面超過12 m時波峰基本消失，月池內(nèi)流體垂向振動類似于剛體運動。月池寬20 m時不同液面高度對應(yīng)二階sloshing模態(tài)振型曲線見圖17、圖18。兩圖表明，sloshing模態(tài)一、二階振型接近月池兩側(cè)壁處出現(xiàn)波峰，隨液面升高波峰逐漸降低；液面高于2 m時該波峰基本消失。

2.4 數(shù)值仿真對比

利用數(shù)值仿真方法計算月池自振并對比與分析，以驗證結(jié)果的有效性。計算所用CFD軟件FLUENT為基于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的有限體積法，利用動網(wǎng)格技術(shù)模擬邊界運動。在其前處理模塊Gambit中建立計算模型、劃分網(wǎng)格。月池模型為二維模型，包括月池內(nèi)流體、月池外流體、船體，月池內(nèi)外流體相聯(lián)通。月池及兩側(cè)船體結(jié)構(gòu)均寬20 m，計算區(qū)域總寬160 m。用非結(jié)構(gòu)性三角形單元進行網(wǎng)格劃分，對月池內(nèi)流體網(wǎng)格局部細化，以便對月池內(nèi)流體運動準確刻畫。計算模型見圖19。

據(jù)sloshing模態(tài)一階自振頻率計算一階周期T1＝2π／ω1，對液面高2 m、10 m時模型施加周期T1的水平簡諧激勵。月池內(nèi)流體運動響應(yīng)穩(wěn)定后取體積分數(shù)0．5的自由液面曲線，與一階振型進行對比。CFD計算液面高2 m曲線與解析解液面高1 m、2 m的一階sloshing模態(tài)振型曲線對比見圖20。由圖20看出，解析解與CFD具有相同特征?？拷鼉蓚?cè)壁處出現(xiàn)峰值。CFD模擬液面高2 m時結(jié)果與解析解中液面高1 m的曲線穩(wěn)合程度更高。在用勢流理論求解時設(shè)流體為無粘理想流體，而在CFD方法模擬中，流體粘性對側(cè)壁處流體也會產(chǎn)生影響，造成側(cè)壁處波峰較明顯。但粘性對計算結(jié)果影響相對整體振型尺度較小，可忽略。液面高10 m時CFD計算曲線與解析解一階sloshing模態(tài)振型曲線對比見圖21。由圖21看出，兩條曲線擬合較好。

圖20 Sloshing模態(tài)解析解與h＝2 m時CFD自由液面計算結(jié)果對比Fig．20 Free surface shape of analytical solution and CFD solution when h＝2 m in sloshingmode

圖22 Piston模態(tài)解析解與h＝10 m時CFD自由液面計算結(jié)果對比Fig．22 Free surface shape of analytical solution and CFD solution in pistonmode

圖21 Sloshing模態(tài)解析解與h＝10m時CFD自由液面計算結(jié)果對比Fig．21 Free surface shape of analytical solution and CFD solution when h＝2m in sloshingmode

據(jù)piston模態(tài)自振頻率計算垂蕩周期T0＝2π／ω0，對液面高2 m、10 m時模型施加周期T0的垂蕩方向簡諧激勵。月池內(nèi)流體運動響應(yīng)穩(wěn)定后取體積分數(shù)0．5的自由液面曲線與piston模態(tài)振型進行對比。CFD計算及解析解自由液面對比曲線見圖22。由圖22看出，CFD結(jié)果與解析解結(jié)果擬合較好，CFD計算中自由液面在高2 m時出現(xiàn)明顯波峰，隨液面升高其波峰減小趨于平面，與解析解呈現(xiàn)相同變化趨勢。對比圖20～圖22各曲線可知，利用勢流理論研究底部開放月池的振動特性，求解效率高，結(jié)果精度能滿足要求。

3 結(jié) 論

本文利用線性勢流理論建立月池計算模型，研究其自振頻率及自由液面。對底板完全開放的月池，自振特性顯現(xiàn)垂向piston模態(tài)及水平方向sloshing模態(tài)。結(jié)論如下：

（1）月池流體有piston及sloshing兩種運動模態(tài)，其中piston模態(tài)頻率低于sloshing模態(tài)各階固有頻率，sloshing模態(tài)振型的奇數(shù)階為反對稱振型，偶數(shù)階為對稱振型。

（2）月池液面高度變化對piston模態(tài)頻率影響較大：液面增度piston模態(tài)頻率降低，液面足夠高時piston模態(tài)頻率可能接近結(jié)構(gòu)的自振頻率及波浪入射頻率，引起結(jié)構(gòu)大的振動；月池寬度變化對sloshing模態(tài)頻率影響較大，b＜10時sloshing模態(tài)頻率下降較明顯。

（3）液面高度h較小時sloshing模態(tài)振型在接近月池兩側(cè)壁處出現(xiàn)波峰，piston模態(tài)在月池寬度方向出現(xiàn)波峰。液面增度波峰逐漸降低并消失，此時月池內(nèi)流體的垂向振動為剛體運動。

（4）CFD結(jié)果與半解析解piston模態(tài)及sloshing模態(tài)振型變化規(guī)律相同，顯示半解析解計算精度良好。

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Natural vibration characteristics of fluid in a two dimensional rectangular moonpool

HUANG Lei，LIU Li-qin，TANG You-gang
（State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

Based on the linear potential theory，the equations of fluid motions in a two dimensional rectangular moonpoolwere converted into an eigenvalue problem by Galerkin method．Via solving the coefficientmatrix of potential function，the semi-analytical solution of natural frequencies and shapes of fluid was obtained and the influences of geometric parameters of themoonpool on its natural vibration characteristics were discussed．The results show that there exist two natural vibration modes of fluid in themoonpool，namelt，the piston mode and sloshing mode．The piston mode frequency in vertical direction decreases as the liquid height increases and ismainly determined by the liquid height，whereas sloshingmode frequencies decreases as themoonpool width increases and mainly depend on themoonpoolwidth．In the piston mode shape crestappears as the liquid depth is small，and vanishes as the liquid depth increases．The CFD method was used to verify the semi-analytical solution and the free surface curves in the two results are in good coincidence．

moonpool；semi-analytical solution；natural vibration characteristics；potential theory

P751

：A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．22．025

國家自然科學(xué)基金資助項目（51179125）

2013－05－15 修改稿收到日期：2013－11－21

黃磊男，博士生，1981年生

劉利琴女，博士，副教授，1977年生