楊 斌，程軍圣

（湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082）

基于奇異值分解及特征正交分解的結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)方法

楊 斌，程軍圣

（湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082）

為直接通過結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)提取損傷特征參數(shù)，將奇異值分解和特征正交分解運(yùn)用到結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析中。該方法首先通過對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜矩陣的奇異值分解，獲得模態(tài)頻率，然后在模態(tài)頻率處計(jì)算互相關(guān)矩陣，利用特征正交分解獲得收斂于結(jié)構(gòu)模態(tài)向量的特征正交模態(tài)，進(jìn)而構(gòu)建了損傷定位向量，最后通過結(jié)構(gòu)單元應(yīng)力的不同分布準(zhǔn)確定位了損傷位置。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，該方法能有效的進(jìn)行損傷檢測(cè)和定位。

特征正交分解；奇異值分解；損傷定位向量；結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)

基于振動(dòng)響應(yīng)的結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)方法得到廣泛研究及應(yīng)用。傳統(tǒng)的損傷檢測(cè)方法主要通過結(jié)構(gòu)損傷前后模態(tài)參數(shù)變化識(shí)別損傷，如固有頻率、模態(tài)振型、模態(tài)柔度及模態(tài)應(yīng)變能等。其中，基于模態(tài)柔度變化的損傷檢測(cè)方法較有效，僅需前幾階模態(tài)參數(shù)即可獲得準(zhǔn)確的損傷檢測(cè)結(jié)果，因此應(yīng)用較廣［1－2］。Bernal［3］在結(jié)構(gòu)模態(tài)柔度變化基礎(chǔ)上提出基于損傷定位向量（Damage Locating Vector，DLV）的檢測(cè)方法，可更好體現(xiàn)柔度變化及結(jié)構(gòu)損傷間內(nèi)在聯(lián)系。為比較結(jié)構(gòu)損傷前后模態(tài)參數(shù)變化通常需對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，以獲取準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)；但某些情況下結(jié)構(gòu)激勵(lì)不易獲取，較難通過傳統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法獲取準(zhǔn)確的模態(tài)參數(shù)，無法判斷結(jié)構(gòu)狀態(tài)。特征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，POD）在結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)分析中得到廣泛應(yīng)用。該方法通過分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)矩陣，獲得能有效表征結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的特征正交模態(tài)（Proper Orthogonal Modes，POM），無需進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，適用于處理激勵(lì)未知的運(yùn)行工況下結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)。Feeny等［4］將POD方法用于振動(dòng)響應(yīng)分析，通過分解振動(dòng)響應(yīng)矩陣，獲得能有效表征結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的特征正交模態(tài)。Galvanetto等［5］將POD方法用于損傷檢測(cè)，通過對(duì)比損傷前后POM變化進(jìn)行損傷識(shí)別及定位。Han等［6］研究認(rèn)為僅當(dāng)結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣正比于單位矩陣時(shí)POD分解所得POM才會(huì)收斂于結(jié)構(gòu)模態(tài)向量。結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)若質(zhì)量矩陣發(fā)生變化，POD分解所得POM將會(huì)極大偏離模態(tài)向量，無法準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的固有屬性。因此又提出濾波POD分解方法；但該方法不能處理諧波頻率情況，易得錯(cuò)誤模態(tài)參數(shù)［7］。

本文提出基于奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）及特征正交分解的損傷檢測(cè)方法，對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜密度矩陣進(jìn)行SVD分解，據(jù)奇異值曲線識(shí)別有效的模態(tài)頻率，在模態(tài)頻率處計(jì)算互相關(guān)函數(shù)，通過該函數(shù)矩陣的POD分解獲得收斂于結(jié)構(gòu)模態(tài)向量的POM。通過模態(tài)頻率及POM構(gòu)建柔度指標(biāo)，由柔度變化矩陣獲得損傷定位向量，再由結(jié)構(gòu)單元應(yīng)力的不同分布準(zhǔn)確定位損傷位置。并通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證該方法的有效性。

1 基于奇異值分解的特征正交分解在結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)分析中應(yīng)用

特征正交分解為簡(jiǎn)單有效的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)分析方法。通過對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)矩陣進(jìn)行特征正交分解，可得能有效表征結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的特征正交模態(tài)。

設(shè)結(jié)構(gòu)測(cè)點(diǎn)數(shù)L，采樣點(diǎn)數(shù)N，得結(jié)構(gòu)響應(yīng)矩陣為

由此可見，結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣正比于單位矩陣時(shí)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)協(xié)方差矩陣特征向量即為模態(tài)向量。由特征正交分解所得特征正交模態(tài)收斂于模態(tài)向量；但實(shí)際結(jié)構(gòu)中難以獲知結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣，較難滿足結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣正比于單位矩陣。若結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣不正比于單位矩陣，則式（4）不成立，因此無法得到式（5）。結(jié)構(gòu)響應(yīng)矩陣特征正交分解所得特征正交模態(tài)不收斂于結(jié)構(gòu)模態(tài)向量，不能準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的固有特性。

為克服特征正交分解不足，本文提出基于奇異值分解及特征正交分解的模態(tài)向量提取方法。對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜矩陣進(jìn)行奇異值分解，通過奇異值曲線獲得模態(tài)頻率，在模態(tài)頻率處積分得協(xié)方差矩陣，對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征正交分解，可得收斂于模態(tài)向量的特征正交模態(tài)。用頻域分解方法對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜矩陣進(jìn)行奇異值分解，不僅有效識(shí)別模態(tài)頻率，且能識(shí)別由諧波頻率所致虛假模態(tài)，因而在模態(tài)分析中應(yīng)用廣泛［8］。

設(shè)結(jié)構(gòu)激勵(lì)為x（t），則結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜矩陣為

式中：Gxx（jω）為激勵(lì)功率譜矩陣；Gyy（jω）為響應(yīng)功率譜矩陣；H（jω）為頻響函數(shù)矩陣。

頻響函數(shù)矩陣可表示成分式形式為

式中：dk為常數(shù)。

對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜矩陣進(jìn)行SVD分解，通過奇異值曲線峰值可有效識(shí)別模態(tài)頻率。在模態(tài)頻率處結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)只含該階模態(tài)響應(yīng)。在第i階模態(tài)頻率ωi處結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)矩陣可表示為

由式（10）可見，在模態(tài)頻率處通過對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)矩陣進(jìn)行特征正交分解，所得特征正交模態(tài)收斂于結(jié)構(gòu)模態(tài)向量。

2 基于柔度變化的損傷定位向量法

該方法較固有頻率及模態(tài)振型對(duì)結(jié)構(gòu)損傷更敏感，且只需前幾階模態(tài)即可獲得準(zhǔn)確損傷檢測(cè)結(jié)果。而基于損傷定位向量的損傷檢測(cè)方法［9］能更好體現(xiàn)柔度變化及結(jié)構(gòu)損傷間內(nèi)在聯(lián)系。其原理為：設(shè)有一特殊載荷向量，在該載荷作用下?lián)p傷前后結(jié)構(gòu)位移不發(fā)生變化，即結(jié)構(gòu)損傷單元處無應(yīng)力產(chǎn)生。當(dāng)此載荷向量施加于正常狀況結(jié)構(gòu)時(shí)計(jì)算單元應(yīng)力，單元內(nèi)力為零的單位即為損傷單元。計(jì)算步驟為：

（1）通過模態(tài)參數(shù)計(jì)算柔度矩陣，即

由式（16）知，載荷向量L＝V0，即載荷向量可由柔度變化矩陣的奇異值分解獲得。

（4）將所得載荷向量L施加于正常狀況結(jié)構(gòu)，計(jì)算、比較結(jié)構(gòu)各單元應(yīng)力σj，確定損傷單元。

實(shí)際情況中因測(cè)量誤差及噪聲影響，單元應(yīng)力計(jì)算結(jié)果不為零，可通過較小單元應(yīng)力指示損傷單元。

3 應(yīng)用

本文用桁架結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［10］驗(yàn)證該方法的有效性。桁架結(jié)構(gòu)由鋼管通過螺栓搭接而成，見圖1。激振器在垂直方向?qū)Y(jié)構(gòu)施加白噪聲激勵(lì)。加速度傳感器通過磁座安裝于桁架結(jié)構(gòu)，垂向布設(shè)13個(gè)振動(dòng)加速度傳感器，分別采集正常狀態(tài)及損傷狀態(tài)結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)。采樣頻率250 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)1 024。通過減小鋼管部件橫截面積在單元4上設(shè)置40%的剛度減少模擬損傷。結(jié)構(gòu)正常狀態(tài)最左端傳感器加速度響應(yīng)見圖2。

圖1 桁架結(jié)構(gòu)示意圖Fig．1 The truss structure

計(jì)算各測(cè)點(diǎn)響應(yīng)組成的功率譜矩陣，對(duì)功率譜矩陣進(jìn)行奇異值分解，通過奇異值曲線確定模態(tài)頻率。在每個(gè)頻率下對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜矩陣Gyy（jω）進(jìn)行奇異值分解，得奇異值δ1≥δ2≥…≥δn，取每個(gè)頻率ω下前4階奇異值，結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜矩陣奇異值曲線見圖3。選奇異值最大的前3階模態(tài)頻率為ω1＝20．1 Hz，ω2＝41．2 Hz，ω3＝62．0 Hz

圖2 結(jié)構(gòu)正常狀態(tài)下振動(dòng)響應(yīng)Fig．2 The structural response under normal condition

圖3 結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜奇異值曲線圖Fig．3 The singular value curve of the response power spectrum

圖4 結(jié)構(gòu)單元應(yīng)力分布Fig．4 The stress distribution of different element

在各階模態(tài)頻率附近選若干譜線，相加后即可得到該頻率處互相關(guān)矩陣，并對(duì)該矩陣進(jìn)行特征正交分解得到特征正交模態(tài)。通過模態(tài)頻率及特征正交模態(tài)構(gòu)建柔度指標(biāo)，計(jì)算損傷前后柔度變化矩陣。對(duì)柔度變化矩陣進(jìn)行奇異值分解，通過式（14）求得載荷向量，進(jìn)而通過有限元模型求得結(jié)構(gòu)損傷單元所在列各單元應(yīng)力（圖4），比較各單元應(yīng)力確定損傷單元為第4單元。由此可見，基于奇異值分解及特征正交分解的結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)方法能有效檢測(cè)結(jié)構(gòu)損傷及位置。

4 結(jié) 論

（1）本文將奇異值分解與特征正交分解結(jié)合用于結(jié)構(gòu)損傷特征參數(shù)提取。通過對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜矩陣的奇異值分解獲得模態(tài)頻率，計(jì)算互相關(guān)矩陣；并對(duì)其特征正交分解獲得收斂于結(jié)構(gòu)模態(tài)向量的特征正交模態(tài)，通過對(duì)模態(tài)頻率和特征正交模態(tài)組成的柔度矩陣奇異值分解，構(gòu)建損傷定位向量；通過結(jié)構(gòu)各單元應(yīng)力分布對(duì)結(jié)構(gòu)損傷位置做出準(zhǔn)確判斷。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果表明，該方法能準(zhǔn)確檢測(cè)結(jié)構(gòu)損傷及損傷位置。

（2）該方法存在局限性。通過結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜奇異值曲線峰值拾取只適用簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率識(shí)別，復(fù)雜結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率辨識(shí)仍需進(jìn)一步模態(tài)參數(shù)識(shí)別過程；因基于損傷定位向量的損傷檢測(cè)方法在檢測(cè)損傷位置時(shí)需先建立結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確有限元模型，故實(shí)際應(yīng)用中受限制。

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Structure damage detection method based on singular value decom position and proper orthogonal decom position

YANG Bin，CHENG Jun-sheng
（State key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body，Hunan University，Changsha 410082，China）

To extract the sensitive damage features directly from the structural vibration responses，the singular value decomposition and the proper orthogonal decomposition were applied to decompose the structural vibration response matrix into a set of proper orthogonal modes，which can represent the structure natural properties．The singular value decomposition was applied on the structural vibration power spectralmatrix to figure out the modal frequencies，then at eachmodal frequency the correlation matrix was calculated．The proper orthogonal decomposition was applied on the correlation matrix calculated to get the proper orthogonalmodes which can converge to the normal structuralmodes．The proper orthogonalmodeswere used to construct a damage locating vector，and to determine the damage location through inspecting the different stress distribution in each element．The experimental results show that the proposed method can detect and locate the damage effectively．

proper orthogonal decomposition；singular value decomposition；damage locating vector；structure damage detection

TH113．1

：A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．22．029

國家自然科學(xué)基金（51075131）；湖南省自然科學(xué)基金（11JJ2026）

2013－02－05 修改稿收到日期：2013－12－19

楊斌男，博士生，1987年10月生

程軍圣男，教授，博士生導(dǎo)師，1968年10月生郵箱：signalp＠tom．com