肖艷平，楊翊仁，葉 露

（1.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031；2.中國民航飛行學(xué)院飛行技術(shù)學(xué)院，廣漢 618307）

壁板邊界松馳下顫振非線性動力特性分析

肖艷平1，2，楊翊仁1，葉 露2

（1.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031；2.中國民航飛行學(xué)院飛行技術(shù)學(xué)院，廣漢 618307）

采用分離變量法和伽遼金法建立三維壁板的非線性氣動彈性運(yùn)動方程，用一階活塞理論模擬壁板所受的氣動力，分析了壁板的顫振邊界及穩(wěn)定性，進(jìn)而取邊界松弛因子，動壓和面內(nèi)力為分叉參數(shù)，研究壁板顫振時的分叉及混沌等復(fù)雜動力學(xué)特性。計算結(jié)果表明：邊界松弛下壁板顫振系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的動力學(xué)行為，其分叉特性很復(fù)雜。隨著邊界松弛因子的增大，靜態(tài)穩(wěn)定區(qū)域縮小，而屈曲和混沌區(qū)域增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性降低。

壁板；顫振；活塞理論；邊界條件；分叉

壁板顫振，是指高速氣流中壁板結(jié)構(gòu)的慣性力、彈性力以及一個表面上的氣動力共同作用下產(chǎn)生的一種自激振動現(xiàn)象。雖然壁板顫振由于幾何非線性效應(yīng)，一般不會像機(jī)翼顫振那樣發(fā)生振幅隨時間以指數(shù)形式增長的破壞性振動，而通常呈現(xiàn)出限幅極限環(huán)振動的形式，但是劇烈的壁板顫振對壁板結(jié)構(gòu)的疲勞壽命甚至飛行器的飛行性能以及飛行安全產(chǎn)生十分不利的影響［1－3］。

壁板顫振系統(tǒng)動力特性十分復(fù)雜，隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，壁板表現(xiàn)出靜不穩(wěn)定性（屈曲）和動不穩(wěn)定性（顫振與混沌運(yùn)動）。影響壁板顫振動力特性的系統(tǒng)因素有很多，其中重要一項就是支撐的邊界條件。常規(guī)情況下，研究壁板的動力特性總是假定支撐邊界是理想的，即邊界是簡支或固支的。實(shí)際上，邊界固定很難滿足這種理想的邊界，有很多的因素影響邊界條件，如選用材料機(jī)械性能的偏差，尺寸大小，裝配工藝差異，摩擦，墊圈蠕變等。另外，由于長時間的振動也會使邊界條件發(fā)生改變。這樣必然影響壁板的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和疲勞特性。而對于邊界條件對壁板結(jié)構(gòu)的影響的研究較少，還有待加強(qiáng)。夏巍等［4－6］采用有限元法對理想邊界條件（簡支和固支邊界）壁板的動力學(xué)特性進(jìn)行了研究。Lindsley等［7－8］采用邊界扭轉(zhuǎn)彈簧，通過調(diào)節(jié)扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的大小研究邊界扭轉(zhuǎn)剛度對壁板系統(tǒng)動力特性的影響。Ibrahinua［9－10］采用伽遼金法分析二維無限展長壁板相關(guān)邊界條件下非線性動力特性和和隨機(jī)特性。

本文以超音速流作用下的三維壁板為模型，運(yùn)用Von Karman大變形非線性應(yīng)變－位移關(guān)系和一階活塞氣動力理論，采用分離變量法和伽遼金法建立了三維壁板的顫振方程，再用Matlab編程進(jìn)行了數(shù)值仿真，研究邊界條件對壁板動力特性的影響。

1 動力學(xué)方程

考慮一個受面內(nèi)力Nx，Ny作用的三維壁板a×b× h，且h?a，單位長度質(zhì)量為ρ。上表面作用有沿x方向超音速氣流，其速度為U∞，如圖1所示。根據(jù)Kirchhoff平板理論和Von Karman大變形定理，其控制方程為：

其中：w為板的z向位移，D＝Eh3／12（1－μ2）為板的彎曲剛度，φ為Airy應(yīng)力函數(shù)，E為材料的彈性模量，q0為氣動載荷，▽2（）＝（），xx＋（），yy，下標(biāo)中一撇表示對其后的變量求導(dǎo)數(shù)。在板的y方向上，由于板的兩邊都被簡支，又與來流垂直，高階模態(tài)不易激發(fā)，僅取其一階模態(tài)就可以體現(xiàn)此方向上的變形影響，故N取1。而在板的?方向上，為簡化分析，只取四階，即M取4。

圖1 壁板模型Fig.1 Themodel of panel

2 氣動力

3 線性分析

線性顫振分析目的是為了確定系統(tǒng)的顫振邊界，即系統(tǒng)無量綱臨界動壓隨邊界松弛因子k的變化關(guān)系。令q＝eiΩt，代入式（9）的線性部分，可以得到系統(tǒng)的特征值矩陣，其中Ω通常情況為復(fù)數(shù)形式，Ω＝ω＋ci，ω為實(shí)部，即為系統(tǒng)頻率，c為虛部，表征系統(tǒng)的阻尼。取結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)sb＝1，sh＝300，質(zhì)量參數(shù)／M∞＝0.01，面內(nèi)力Rv＝Ry＝0，代入式（9）的線性部分，根據(jù)特征值計算結(jié)果得到系統(tǒng)的頻率ω與阻尼c隨無量綱動壓λ的變化，如圖2所示。實(shí)線和長短線分別表示理想的固支和簡支邊界條件。由圖可知：對于特定的k，當(dāng)無量綱動壓λ＜λcr時，系統(tǒng)一階頻率隨動壓的增加而增大，系統(tǒng)阻尼全部都小于零，系統(tǒng)平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定；當(dāng)λ＝λcr時，第一階頻率與第二階頻率相交，系統(tǒng)失穩(wěn)，此時阻尼等于零，系統(tǒng)平衡點(diǎn)失穩(wěn)，即系統(tǒng)產(chǎn)生顫振。圖3給出了不同無量綱面內(nèi)壓力R（R＝－Rx／π2）下顫振臨界動壓λcr隨邊界松弛因子k的變化曲線。由圖2可知k＝1與k＝∞時，系統(tǒng)的動態(tài)情況已經(jīng)很接近，因此圖3和后面計算重點(diǎn)關(guān)注k變化區(qū)間為0～1。由圖3可知，k等于零（固支邊界）時的顫振臨界動壓λcr大于k大于零時的顫振臨界動壓λcr，邊界約束松弛減小了顫振臨界動壓，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。另外，當(dāng)面內(nèi)壓力Rx增大時，穩(wěn)定區(qū)域減小，而顫振區(qū)域在增大，面內(nèi)壓力不利于壁板穩(wěn)定。

4 非線性分析

基于Matlab編程，采用四階龍格－庫塔法對式（9）進(jìn)行積分，得到模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)，再利用（3）式將其轉(zhuǎn)化到物理坐標(biāo)下，即可得到壁板的最大位移處（＝0.75＝0.5）時間響應(yīng)歷程。

4.1 穩(wěn)定邊界

分別取五個不同的邊界松弛因子k，考察其對壁板動力學(xué)行為分布的影響。圖4給出了R－λ參數(shù)平面內(nèi)系統(tǒng)的動力特性分布。從圖中可以看出，顫振系統(tǒng)在參數(shù)平面內(nèi)表現(xiàn)出各種動力學(xué)行為，包括（Ⅰ）靜態(tài)平衡，（Ⅱ）靜態(tài)屈曲，（Ⅲ）極限環(huán)運(yùn)動，（Ⅳ）擬周期和混沌。而邊界松弛因子的大小對顫振模型的動力學(xué)特性影響很大。當(dāng)k增大時，靜態(tài)穩(wěn)定區(qū)域縮小，而屈曲和混沌區(qū)域在增大。由此可見，邊界松弛降低了系統(tǒng)維持靜態(tài)穩(wěn)定的能力，增加混沌運(yùn)動的可能性。此結(jié)果與通過線性穩(wěn)定性分析得到的結(jié)果吻合，但線性分析無法得到混沌區(qū)域的變化情況。

圖2 特征值隨動壓的變化圖Fig.2ωand c vsλfor different k

圖3 顫振臨界動壓隨邊界松弛因子的變化圖Fig.3λcrvs k for different R

圖4 不同邊界松弛因子下正方形壁板穩(wěn)定邊界Fig.4 Stability boundary for different values of relaxation parameter

4.2 k為分岔參數(shù)

將邊界松弛因子k作為可變參數(shù)，計算系統(tǒng)的分叉圖。對某個k值，當(dāng)位置＝0.75＝0.5處達(dá)到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)后，記錄速度為零的位移。改變k值，按上述過程便得到了離散無量綱位移隨邊界松弛因子k變化的分叉圖。取λ＝230，R＝5.7，邊界松弛因子k的變化區(qū)間為［0，1］，則無量綱位移隨k變化的分叉圖如圖5所示。隨k的增大，系統(tǒng)經(jīng)歷了衰減振動狀態(tài)，周期1振動，周期3振動和擬周期振動后，又進(jìn)入周期3振動，擬周期振動，隨后進(jìn)入混沌狀態(tài)。繼續(xù)增大k值，系統(tǒng)再次進(jìn)入周期3，最后由擬周期振動進(jìn)入混沌運(yùn)動狀態(tài)。

上面所述的現(xiàn)象通過相平面曲線來描述更為清楚。當(dāng)k＜0.06時，平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)，任何擾動經(jīng)一段時間后將回到平衡點(diǎn)。當(dāng)0.06≤k＜0.13時，系統(tǒng)處于簡單的極限環(huán)振動，如圖6（a）。當(dāng)0.13≤k＜0.135，0.17≤k＜0.28和0.45≤k＜0.6時，系統(tǒng)處于周期3極限環(huán)振動，如圖6（c，f）；當(dāng)0.135≤k＜0.17，0.28≤k＜0.325及時0.6≤k＜0.65，系統(tǒng)處于擬周期振動，如圖6（b，d，f）；當(dāng)0.325≤k＜0.45與k≥0.65時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，如圖6（e，h）。

圖5 分叉圖；λ＝230，R＝5.7Fig.5 Bifurcation diagram forλ＝230 and R＝5.7

圖6＝0.75＝0.5處相圖，λ＝230，R＝5.7Fig.6 Phase－p lane plots wher＝0.75＝0.5 forλ＝230，R＝5.7

4.3 λ和R為分岔參數(shù)

取R＝5.7，k＝0.2，無量綱位移隨動壓變化的分叉圖如圖7所示。當(dāng)λ＞184.5后，系統(tǒng)由屈曲狀態(tài)直接進(jìn)入混沌狀態(tài)；當(dāng)λ＞223.5后系統(tǒng)進(jìn)入周期3振動，直到λ＝234.5系統(tǒng)再次進(jìn)入混沌運(yùn)動狀態(tài)。當(dāng)λ＞276.5后，系統(tǒng)處于非對稱的極限環(huán)振動狀態(tài)，大振幅偏向壁板的哪一側(cè)是隨機(jī)的。當(dāng)λ≥288后，系統(tǒng)進(jìn)入對稱極限環(huán)振動狀態(tài)。圖8給出無量綱位移隨面內(nèi)壓力變化的分叉圖（取λ＝230，k＝0.2）。隨面內(nèi)壓力R的增大，系統(tǒng)經(jīng)歷了衰減振動狀態(tài)，周期1振動（R≥4.57），周期3振動（R≥5.32），擬周期振動（R≥5.3），隨后又進(jìn)入周期3振動（R≥6.33），擬周期振動（R≥6.56），最后進(jìn)入混沌運(yùn)動狀態(tài)（R≥6.63）。

圖7 分叉圖；R＝5.7Fig.7 Bifurcation diagram for R＝5.7 and k＝0.2

圖8 分叉圖；λ＝230，k＝0.2Fig.8 Bifurcation diagram forλ＝230 and k＝0.2

5 結(jié) 論

通過對邊界松弛下壁板顫振非線性動力特性的研究，可得出如下結(jié)論：

（1）線性理論分析表明邊界松弛減小了顫振臨界動壓，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

（2）考慮幾何大變形非線性時，通過分析顫振系統(tǒng)在邊界松弛下其運(yùn)動特性在分岔參數(shù)平面內(nèi)的分布，發(fā)現(xiàn)隨著邊界松弛因子的增大，穩(wěn)定區(qū)域減小，而靜態(tài)屈曲區(qū)域和混沌運(yùn)動參數(shù)范圍在增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性降低。通過對分叉圖及相圖分析可得，邊界松弛改變了系統(tǒng)顫振特性。

（3）當(dāng)面內(nèi)壓力增大時，穩(wěn)定區(qū)域減小，而顫振區(qū)域在增大，面內(nèi)壓力不利于壁板穩(wěn)定。

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Non linear dynam ic analysis for a panel's flutter w ith boundary condition relaxation

XIAO Yan-ping1，2，YANG Yi-ren1，YE Lu2
（1.School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；2.School of Flight Technology，Civil Aviation Flight University of China，Guanghan 618307，China）

A nonlinear dynamic analysis for a panel's flutter with boundary condition relaxation was conducted here.The flutter differential equations of a three-dimensional panel were built by using separation of variables and Galerkin method.The first piston theory was employed to calculate the aerodynamic load on the panel.The flutter boundary and stability for the flat panelwere analyzed.Then，taking temperature，dynamic pressure and in-plane load as bifurcation parameters，their bifurcations and chaos behaviors were studied.The results demonstrated that the rich dynamic behaviors of the panelwith boundary condition relaxation and its complex dynamic characteristicswith variation of bifurcation parameters are revealed；both the buckling region and chaotic region increase with increase in relaxation of boundary conditions and the stability of the system decreases.

panel；flutter；piston theory；boundary condition；bifurcation

V214.3

A

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助（2010Z707）項目；中國民航飛行學(xué)院面上項目（J2010－77）

2012－09－28 修改稿收到日期：2013－03－11

肖艷平女，博士生，講師，1980年生