侯 潔，霍林生，李宏男

（大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部，大連 116024）

非線性懸吊質(zhì)量擺對(duì)輸電塔減振控制的研究

侯 潔，霍林生，李宏男

（大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部，大連 116024）

針對(duì)懸吊質(zhì)量擺減控制研究中小擺角線性分析的局限性，提出考慮懸吊質(zhì)量擺大擺角非線性特性來計(jì)算結(jié)構(gòu)體系動(dòng)力響應(yīng)的方法，將傳統(tǒng)分析中的懸吊質(zhì)量擺的線性剛度修正為非線性。以一輸電塔為例，通過線性和非線性計(jì)算結(jié)果對(duì)比可知，當(dāng)擺角過大時(shí)線性計(jì)算方法不滿足線性小擺角條件，而非線性計(jì)算方法則可很好模擬質(zhì)量擺在大擺角下的響應(yīng)。通過參數(shù)分析討論了正弦激勵(lì)周期、擺長(zhǎng)及質(zhì)量比對(duì)輸電塔減震率的影響。選取三條不同場(chǎng)地地震記錄，計(jì)算輸電塔附加質(zhì)量擺體系的地震響應(yīng)，結(jié)果表明在不同場(chǎng)地條件下，輸電塔均具有明顯的減震效果。

非線性響應(yīng)；懸吊質(zhì)量擺；輸電塔；減震率

輸電塔具有塔體高、柔性強(qiáng)等高聳塔體的特點(diǎn)，對(duì)地震和風(fēng)等環(huán)境荷載的反應(yīng)敏感，易產(chǎn)生較大的動(dòng)力響應(yīng)。對(duì)大跨度輸電塔進(jìn)行振動(dòng)控制研究已成為電力工程與土木工程界的一個(gè)重要研究課題，既有其重要的理論意義，又有其重要的經(jīng)濟(jì)價(jià)值［1］。懸吊質(zhì)量擺作為一種被動(dòng)阻尼器，具有方法簡(jiǎn)便，易于實(shí)施，效果顯著的特點(diǎn)［2］。

李宏男等［2－5］提出利用懸吊質(zhì)量擺來減小結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的方法，導(dǎo)出了該種復(fù)合體系在地震動(dòng)作用下的運(yùn)動(dòng)方程，利用實(shí)際地震記錄進(jìn)行了大量的數(shù)值計(jì)算，得出了一些對(duì)工程應(yīng)用有參考價(jià)值的結(jié)果?？迪Ａ迹?］論述了高層建筑結(jié)構(gòu)利用懸吊質(zhì)量擺減振的原理及減振性能的研究，通過分析得出了在高層建筑結(jié)構(gòu)頂部各層設(shè)多個(gè)懸吊質(zhì)量擺且其頻率都和結(jié)構(gòu)基頻相同時(shí)，減振效果最好；質(zhì)量擺的減振效果還隨懸吊質(zhì)量的增加而增加，但當(dāng)懸吊質(zhì)量與結(jié)構(gòu)質(zhì)量之比大于2%時(shí)減振效果增加較緩慢。鄧洪洲等［7］利用懸吊質(zhì)量擺對(duì)電視塔的風(fēng)振控制進(jìn)行研究，通過分析計(jì)算表明，懸吊質(zhì)量擺對(duì)電視塔風(fēng)振響應(yīng)有很好的控制效果，并且設(shè)計(jì)安裝簡(jiǎn)單方便、造價(jià)低，是一種實(shí)用性好的控制裝置。賀業(yè)飛等［8］進(jìn)行了懸掛質(zhì)量擺對(duì)輸電塔結(jié)構(gòu)風(fēng)振控制的全塔氣動(dòng)彈性模型試驗(yàn)，并基于控制減振機(jī)理和結(jié)構(gòu)風(fēng)振控制方程，采用脈動(dòng)風(fēng)速功率譜密度函數(shù)，利用三角級(jí)數(shù)法模擬了節(jié)點(diǎn)風(fēng)速時(shí)程，計(jì)算了懸掛質(zhì)量擺控制前后結(jié)構(gòu)順風(fēng)向的加速度時(shí)程和均方根（RMS），進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化分析，研究結(jié)果表明，由模擬風(fēng)載計(jì)算得到的塔頂RMS與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，懸吊質(zhì)量擺模型可有效減小輸電塔的風(fēng)振響應(yīng)。

懸吊質(zhì)量擺在建筑結(jié)構(gòu)的減振研究方面相對(duì)比較成熟，取得了一些成果［9－14］。但現(xiàn)有研究中通常將懸吊質(zhì)量簡(jiǎn)單擺化為一個(gè)單擺振動(dòng)系統(tǒng)，再按單擺小振幅運(yùn)動(dòng)得到單一的水平剛度系數(shù)，然后與主體結(jié)構(gòu)模型建立整體的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行分析。這種簡(jiǎn)化方法的前提是將單擺振動(dòng)時(shí)的控制力中的三角函數(shù)按泰勒函數(shù)展開，從而使得懸吊質(zhì)量擺的運(yùn)動(dòng)方程得到簡(jiǎn)化。然而對(duì)于輸電塔和懸吊質(zhì)量擺體系而言，由于它們都具有柔性的特點(diǎn)，在外部荷載作用下，擺的振動(dòng)幅度將明顯偏離平衡位置。單擺振動(dòng)的控制力中的三角函數(shù)不能簡(jiǎn)單的按泰勒函數(shù)展開，因此，在輸電塔利用懸吊質(zhì)量擺減振控制的研究中，必須考慮懸吊質(zhì)量大振幅幾何非線性的影響。然而，目前尚沒有這方面的研究工作。因此，本文在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，考慮懸吊質(zhì)量擺大幅度幾何非線性的對(duì)輸電塔結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)的影響，提出了在非線性情況下擺和結(jié)構(gòu)位移的精確算法。

1 非線懸吊質(zhì)量擺

當(dāng)懸吊質(zhì)量擺放置在結(jié)構(gòu)上時(shí)，我們重點(diǎn)關(guān)心單擺運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的控制力，單擺與結(jié)構(gòu)相聯(lián)系的介質(zhì)是繩索，因此單擺與結(jié)構(gòu)的相互作用也只能通過繩索來傳遞。對(duì)于結(jié)構(gòu)的振動(dòng)而言，主要考慮水平方向的振動(dòng)，因此繩索施加到結(jié)構(gòu)上的力只有水平分量起到減振作用，通過對(duì)圖1的單自由度體系分析可知，控制力為：

式中：mp為懸吊質(zhì)量擺的質(zhì)量，g為重力加速度，θ為擺轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。

圖1 結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of structure with pendulum

同理，對(duì)于結(jié)構(gòu)體系，運(yùn)用D’Alembert原理，可得到結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程：

式中：m1，c1，k1，x1分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度和相對(duì)于地面的位移，f為外部干擾力（如風(fēng)荷載）。

式（1）在滿足線性小擺角的情況下，可得到cosθ≈1，sinθ≈θ；為了與結(jié)構(gòu)的自由度相適應(yīng)，擺自由度不取角度，而是采用水平位移x（x＝xp－x1，xp為擺相對(duì)于地面的位移），如圖1中所示，x與θ之間的關(guān)系為：

θ≈x／l＝（xp－x1）／l（3）

式中，l為懸吊質(zhì)量擺的長(zhǎng)度。

擺的運(yùn)動(dòng)方程可轉(zhuǎn)化與結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程相類似的形式：

同樣，控制力可以簡(jiǎn)化為：

結(jié)構(gòu)附加擺結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為：

式（1）在大擺角的情況下，cosθ≈1，sinθ≈θ這兩個(gè)式子顯然不成立，應(yīng)采用下面的精確分析。

2 線性與非線性結(jié)果對(duì)比

以一輸電塔結(jié)構(gòu)為例，對(duì)附加質(zhì)量擺結(jié)構(gòu)體系進(jìn)行非線性分析。為簡(jiǎn)化計(jì)算將輸電塔簡(jiǎn)化為23個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)編號(hào)從上往下依次增大，三維有限元模型和簡(jiǎn)化后的結(jié)構(gòu)體系示意圖如圖2所示。

為了得到精確的懸吊質(zhì)量擺的各項(xiàng)參數(shù)以及線性和非線性結(jié)果的對(duì)比，根據(jù)實(shí)際情況，懸吊質(zhì)量擺的參數(shù)設(shè)置如下：

（1）擺長(zhǎng)l：可由懸吊質(zhì)量擺與結(jié)構(gòu)的周期之間的關(guān)系確定，即l＝g／（w／β）2；其中g(shù)為重力加速度，w為結(jié)構(gòu)的一階頻率，β為懸吊質(zhì)量擺與結(jié)構(gòu)的周期之比，取0.8～2.4。

（2）質(zhì)量比μ：質(zhì)量比是懸吊質(zhì)量擺的質(zhì)量與結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量的比值。

（3）周期比α：輸入的正弦波的周期與結(jié)構(gòu)周期的比，α取0.2～2.0。

（4）減震率γ：γ＝（D0－D1）／D0，D1和D0分別為加懸吊質(zhì)量擺與不加懸吊質(zhì)量擺時(shí)結(jié)構(gòu)的最大位移。

圖2 三維有限元模型和簡(jiǎn)化后的輸電塔結(jié)構(gòu)體系Fig.2 Three dimensional finite elementmodel and simplified transmission tower structure system

圖3為El Centro波（SW）作用下結(jié)構(gòu)的頂層位移曲線（地震波的峰值加速度為0.2 g），在二號(hào)節(jié)點(diǎn)設(shè)置懸吊質(zhì)量擺，以控制結(jié)構(gòu)震動(dòng)反應(yīng)，取周期比β＝1，質(zhì)量比μ＝0.03。圖3為結(jié)構(gòu)頂層位移時(shí)程曲線（取前30 s），圖4為擺的轉(zhuǎn)角時(shí)程曲線。

圖3 結(jié)構(gòu)的頂層位移曲線（El Centro）Fig.3 Time history of the displacement of top floor（El Centro）

圖4 擺的轉(zhuǎn)角時(shí)程曲線（El Centro波）Fig.4 Time history of the angle of pendulum（El Centro）

由圖3位移時(shí)程曲線可以看出，結(jié)構(gòu)的反應(yīng)，在整個(gè)地震作用時(shí)間內(nèi)忽略非線性與考慮非線性控制的位移曲線有很明顯的區(qū)別，頂層位移最大相差40%；圖4的擺的角度時(shí)程曲線中轉(zhuǎn)角的最大值接近于30°，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了小振幅振動(dòng)（θ＜5°）的限制條件，單擺小角度線性化的簡(jiǎn)化方法已經(jīng)失效，因而現(xiàn)有的忽略非線性來計(jì)算結(jié)構(gòu)的反應(yīng)的方法存在極大的安全隱患。因此，在輸電塔利用懸吊質(zhì)量擺減震控制的研究中，必須考慮懸吊質(zhì)量擺大幅度幾何非線性的影響。

3 參數(shù)分析

當(dāng)結(jié)構(gòu)受到正弦激勵(lì)Xg（t）＝a0×sin（w×t）時(shí)，用非線性的方法進(jìn)行了大量的分析研究。圖5、圖6分別為質(zhì)量比μ＝0.01與μ＝0.03時(shí)，懸吊質(zhì)量擺與結(jié)構(gòu)的周期比β、輸入的正弦波的周期與結(jié)構(gòu)的周期比α之間的關(guān)系曲線。當(dāng)α在0.2～1.0之間時(shí)，結(jié)構(gòu)的位移在β＝1附近時(shí)減震效果比較明顯；α在1.2～2.0之間時(shí)，由于地基條件比較柔，輸電塔結(jié)構(gòu)本身也比較柔，在此種情況下，懸吊質(zhì)量擺難以達(dá)到理想的減震效果。圖7分別為α＝0.6及α＝0.8時(shí)在不同周期比β的條件下，減震率γ關(guān)于質(zhì)量比μ的關(guān)系曲線。質(zhì)量比μ越大，減震率越高；當(dāng)μ＝0.01～0.03時(shí)，減震率增加的越快，并且較為經(jīng)濟(jì)合理，但超過0.04，減震率不再增長(zhǎng)；β越小，擺長(zhǎng)l越小，減震效果越顯著。

4 不同場(chǎng)地條件下的驗(yàn)證

本文分別選取遷安波、taft波和天津波作為地震動(dòng)輸入（峰值加速度為0.1 g），以代表不同的場(chǎng)地類型。圖8至圖10分別表示質(zhì)量比μ＝0.01、周期比β＝1.5時(shí)，在三條不同地震波作用下，結(jié)構(gòu)的頂層位移曲線。表1至表3為由計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)未控、忽略非線性控制和考慮非線性控制三種情況時(shí)的最大位移、減震率、最大擺角、相對(duì)誤差等參數(shù)。其中D0、Dx、Dn分別為結(jié)構(gòu)未控、忽略非線性及考慮非線性控制三種情況結(jié)構(gòu)頂層的最大位移反應(yīng)；γx和γn為忽略非線性及考慮非線控制的減震率；θx和θn為忽略非線性及考慮非線性控制的最大擺角；η為相對(duì)誤差，表示懸吊質(zhì)量擺在忽略和考慮非線性時(shí)引起的擺的角度誤差，其表達(dá)式如下：

由以上表1～表3和圖8～圖10可以看出，天津波作用在結(jié)構(gòu)上，線性算法最大擺角可達(dá)到32°；Taft波作用時(shí)，線性算法最大擺角可達(dá)到14°，雖然考慮非線性和忽略非線性結(jié)構(gòu)頂層的最大位移相差不大，但時(shí)程曲線相差較為明顯，線性化的簡(jiǎn)化方法已經(jīng)失效，現(xiàn)有的分析方法存在極大的安全隱患，因此必須考慮懸吊質(zhì)量大振幅幾何非線性的影響。遷安波作用時(shí)，最大擺角滿足單擺小角度線性化的簡(jiǎn)化方法，考慮非線性與忽略非線性的結(jié)果基本一致，兩條曲線基本重合，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文采用的計(jì)算方法的正確性。

圖5 減震率γ與周期比β的關(guān)系曲線（μ＝0.01）Fig.5 Curve of the relationship between decreasing amplitude ratioγ and period ratioβ（μ＝0.01）

圖6 減震率γ與周期比β的關(guān)系曲線（μ＝0.03）Fig.6 Curve of the relationship between decreasing amplitude ratio γand period ratioβ（μ＝0.03）

圖7 減震率γ與質(zhì)量比μ的關(guān)系曲線（α＝0.6，α＝0.8）Fig.7 Curve of the relationship between decreasing amp litude ratioγ and mass ratioμ（α＝0.6，α＝0.8）

表1 最大位移響應(yīng)（天津波（SN））Tab.1 Maximum disp lacem ent response（Tianjing（SN））

表2 最大位移響應(yīng)（Taft波）Tab.2 Maximum displacement response（Taft）

表3 最大位移響應(yīng)（遷安波）Tab.3 Maximum d isp lacement response（Qian’an）

圖8 結(jié)構(gòu)的頂層位移曲線（天津波（SN））Fig.8 Time history of the displacement of top floor（Tianjing（SN））

圖9 結(jié)構(gòu)的頂層位移曲線（Taft波）Fig.9 Time history of the displacement of top floor（Taft）

圖10 結(jié)構(gòu)的頂層位移曲線（遷安波）Fig.10 Time history of the displacement of top floor（Qian’an）

5 結(jié) 論

本文提出了利用懸吊質(zhì)量擺減小結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的非線性分析方法。通過理論分析與數(shù)值計(jì)算，得到以下結(jié)論：

（1）應(yīng)用懸吊質(zhì)量擺，在周期比β較小時(shí)，擺長(zhǎng)l較小時(shí)，懸吊質(zhì)量擺的角度可能會(huì)超出單擺小角度線性化的適用范圍，且減震率以及擺角誤差較大，采用線性方法不能真實(shí)的反映結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，應(yīng)該采用非線性算法。

（2）一般情況下，周期比β在1附近時(shí)減震效果最好。當(dāng)周期比β達(dá)到2時(shí)線性與非線性結(jié)果趨于一致，懸吊質(zhì)量擺的角度也趨于符合線性擺的要求。

（3）場(chǎng)地條件相對(duì)較柔時(shí)，輸電塔結(jié)構(gòu)不宜采用懸吊質(zhì)量擺來減震。

（4）其他條件相同的條件下，質(zhì)量比μ越大減震效果越明顯，且在質(zhì)量比μ＝0.01～0.03時(shí)效果較好。

［1］李 黎，尹 鵬.大跨越輸電塔－線體系風(fēng)振控制研究［J］.工程力學(xué)，2008，12（25II）：213－229.

LI Li，YIN Peng.The research on wind-induced vibration control for big-span electrical transmission tower-line system［J］.Engineering Mechanics，2008，12（25II）：213－229.

［2］李宏男，Singh MP.結(jié)構(gòu)動(dòng)力吸振擺的優(yōu)化參數(shù)［J］.世界地震工程，1994，11（4）：14－17.

LIHong-nan，Singh MP.Optimum parameters of vibration energy-dissipating pendulum for structures［J］.World Earthquake Engineering，1994，11（4）：14－17.

［3］李宏男.擺－結(jié)構(gòu)體系減震性能研究［J］.工程力學(xué)，1996，13（3）：123－129.

LI Hong-nan.Study on vibration damping properties of pendulum-structure system［J］.Engineering Mechanics，1996，13（3）：123－129.

［4］李宏男，宋本有.高層建筑利用懸吊質(zhì)量擺的減震研究［J］.地震工程與工程振動(dòng)，1995，15（4）：55－60.

LIHong-nan，SONG Ben-you.Seismic respone reduction for tall buildings by suspended mass pendulums［J］.Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1995，15（4）：55－60.

［5］李宏男，Singh MP，孫玉良.工程結(jié)構(gòu)利用懸吊擺的振動(dòng)控制［J］.地震工程與工程振動(dòng)，1996，16（3）：61－71.

LI Hong-nan，Singh MP，SUN Yu-liang.Suspended pendulum damper for vibration control of engineering structures［J］.Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1996，16（3）：61－71.

［6］康希良.高層建筑結(jié)構(gòu)利用質(zhì)量擺減震的分析［J］.蘭州鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，1996，15（4）：1－5.

KANG Xi-liang.Reductive vibration analysis of tall building structures using mass pendulums［J］.Journal of Lanzhou Railway Institute，1996，15（4）：1－5.

［7］鄧洪洲，董 軍，王肇民.多個(gè)懸吊擺體系對(duì)電視塔風(fēng)振控制研究［J］.振動(dòng)與沖擊，1998，17（2）：39－42.

DENG Hong-zhou，Dong Jun，WANG Zhao-m in.Study on wind-induced vibration control of tv-tower with suspended mass pendulum system［J］.Journal of Vibration and Shock，1998，17（2）：39－42.

［8］賀業(yè)飛，樓文娟，孫炳楠，等.懸掛質(zhì)量擺對(duì)大跨越輸電塔的風(fēng)振控制［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，39（12）：1891－1896.

HE Ye-fei，LOU Wen-juan，SUN Bing-nan，et al.Wind induced vibration control of long span transmission tower with suspended mass pendulums［J］.Journal of Zhejiang University，2005，39（12）：1891－1896.

［9］Guo AX，Xu Y L，LiH.Dynamic performance of cable-stayed bridge tower with multi-stage pendulum mass damper under wind excitations－Ⅰ：theory［J］.Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2007，6（3）：295－306.

［10］Guo A X，Xu Y L，Li H.Dynamic performance of cablestayed bridge tower with multi-stage pendulum mass damper under wind excitations－Ⅱ：experiment［J］.Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2007，6（4）：417－424.

［11］Nagarajaiah S，Pasala D T R.NEESR-Adapt-Struct：Semiactive control of ASD Device—Adaptive Length Pendulum Dampers［C］.19th Analysis＆Computation Specialty Conference，2010：325－334.

［12］Nagarajaiah S.Adaptive passive，semiactive，smart tuned mass dampers：identification and control using empiricalmode decomposition，Hilbert transform，and short-term Fourier transform［J］.Structural Control and Health Monitoring，2009，16：800－841.

［13］Roffel A J，Lourenco R，Narasimhan S，et al.Adaptive compensation for detuning in pendulum tuned mass dampers［J］.Journal of Structure Engineering，2011，137：242－251.

［14］Ben Mekki O，Bourquin F，Maceri F，et al.An adaptive pendulum for evolving structure［J］.Structure Control and Health Monitoring，2012，19：43－54.

Aseism ic control of transm ission towers w ith nonlinear suspended m ass pendu lum s

HOU Jie，HUO Lin-sheng，LIHong-nan
（Faculty of Infrastructure Engineering，Dalian University of Technology，Dalia 116024，China）

Due to the limitation of linear analysis for a suspended pendulum control system with small swing angle，a method analyzing dynamic response of a structure considering nonlinear stiffnessof pendulum was proposed here.Taking a 500 kV transmission tower as a numerical example and comparing the results under linear and nonlinear conditions，it was found that the swing angle of pendulum may exceed the limitation of linear assumption and the nonlinear analysis can simulate a structural dynamic system with large swing angles of pendulum perfectly.The effects of parameters of the control system including excitation periods，pendulum length and mass ratio on the seismic reduction ratio of the transmission tower were studied.Three seismic records were used to calculate the dynamic response of the transmission tower with suspended pendulums.The results showed that themitigation effect of suspended pendulums on the structural response is very obvious under different seismic excitations.

nonlinear response；suspended mass pendulum；transmission tower；seismic response reduction ratio

TU351.1

A

國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新群體項(xiàng)目（51121005）；國家自然科學(xué)基金國際合作交流項(xiàng)目（51261120375）

2013－01－17 修改稿收到日期：2013－03－27

侯 潔女，碩士生，1988年生