李冬昌

高考數(shù)學(xué)解答題的答題方式不同于選擇題和填空題，解答題既要結(jié)果又要過程，考生必須嚴(yán)格按照演繹推理的方式按部就班地進(jìn)行解答和表述，可以說這里已經(jīng)沒有“投機(jī)取巧”的機(jī)會(huì).高考是以分?jǐn)?shù)取勝的，考生必須樹立“能完全解答的題目一分不失，不能完全解答的題目分段、分步得分”的思想意識(shí).

解答題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是按解答的過程，根據(jù)“得分點(diǎn)”分步給分，每個(gè)步驟又按要點(diǎn)給分.但是，并非寫得越多得分越高，而是踩上“得分點(diǎn)”就給分（“踩點(diǎn)”），即按所用的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法的要點(diǎn)給分，允許“等價(jià)答案”，允許“跳步得分”.因此，考生在解答時(shí)應(yīng)盡可能地把過程分步寫出，特別是那些解題層次分明的題目和那些已經(jīng)程序化的方法，每進(jìn)行一步“得分點(diǎn)”的演算都可以得到這一步的滿分，應(yīng)做到步驟清、要點(diǎn)明、格式齊.

解答題的前面三道題目一般是中等題，考生要力爭(zhēng)全對(duì)，注意表達(dá)要準(zhǔn)確，考慮要周全，書寫要規(guī)范，邏輯要嚴(yán)密，防止被扣“步驟分”.數(shù)學(xué)考試真正的難點(diǎn)就是解答題的最后三道題的第二問和第三問的把關(guān)部分.對(duì)這幾個(gè)把關(guān)的點(diǎn)，考生可以采用一些非常規(guī)的方法（如有些探索性的問題，考生可以用特殊代替一般，從而得到問題的結(jié)論，然后將結(jié)論寫出來）.這些非常規(guī)的方法雖然不能代替一般的演繹推理的方法，但可以使考生多得一些分?jǐn)?shù).

下面根據(jù)教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合高考的閱卷情況，談?wù)勗跀?shù)學(xué)解答題中如何利用分步和跳步得分的體會(huì).

一、較容易的解答題的求解

對(duì)于比較容易解答的解答題（一般是前面三道），宜采用“一慢一快”的方法，就是審題要慢、解題要快，速戰(zhàn)速?zèng)Q，為后面三道解答題留下充足的答題時(shí)間.

考生找到解題方法后，書寫要簡明扼要、快速規(guī)范，不要拖泥帶水、重復(fù)啰唆，用高考閱卷老師的話說就是寫出“得分點(diǎn)”.一般來講，一個(gè)原理寫一步就可以了.至于不是題目直接考查的過渡知識(shí)，考生可以直接寫出結(jié)論，高考允許合理省略非關(guān)鍵步驟，但應(yīng)詳略得當(dāng).

例1 （2011年高考湖南文科卷第18題，滿分為12分）某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y（單位：萬千瓦時(shí)）與該河上游在六月份的降雨量X（單位：毫米）有關(guān).據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X=70時(shí)，Y= 460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，

110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.

（Ⅰ）完成如下的頻率分布表：

近20年六月份降雨量頻率分布表

（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時(shí)）或超過530（萬千瓦時(shí)）的概率.

解 （Ⅰ）在所給的數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個(gè)，為160毫米的有7個(gè)，為200毫米的有3個(gè).…………………………………………………①

故近20年六月份降雨量頻率分布表為

…②

（Ⅱ）P（“發(fā)電量低于490萬千瓦時(shí)或超過530萬千瓦時(shí)” ）=P（Y<490或Y>530）= P（X<130或X>210）………………………………………………③

= P（X=70）+ P（X=110）+ P（X=220）= + + = .

故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時(shí)）或超過530（萬千瓦時(shí)）的概率為 .…④

①②③④表示本題的四個(gè)得分點(diǎn).第一小題有兩個(gè)得分點(diǎn)：一個(gè)是寫出頻數(shù)得3分，一個(gè)是寫出頻率得3分.第二小題有兩個(gè)得分點(diǎn)：一個(gè)是轉(zhuǎn)化為已知得4分，一個(gè)是求出概率并作答得2分.

二、較難的解答題的求解

對(duì)于較難的解答題（后面三道題）來說，考生要想在有限的時(shí)間內(nèi)全做正確是不大現(xiàn)實(shí)的.當(dāng)然，考生也不能全部放棄，應(yīng)該盡可能地爭(zhēng)取多拿分.對(duì)絕大多數(shù)考生來說，這里最重要的是：如何從拿不下來的題目中分段得分.我們說，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略，下面談四個(gè)策略.

1.缺步解答

如果遇到一個(gè)很難的問題，考生確實(shí)“啃”不動(dòng)，這時(shí)一個(gè)明智的做法是：將它分解成一系列的步驟，或者一個(gè)個(gè)子問題，能演算幾步就演算幾步，每進(jìn)行一步“得分點(diǎn)”的演算，就可以得到這一步的滿分.盡管最后的結(jié)論沒有得出來，但是分?jǐn)?shù)已得過半.從近幾年高考解答題的特點(diǎn)來看，入口易，完善難，不可輕易放棄任何一題.

例2 （2011年高考湖南文科卷第21題，滿分為13分）已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，l2與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求 · 的最小值.

解 （Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）.由題意有 -|x|=1.化簡得y2=2x+2|x|.當(dāng)x≥0時(shí)，y2=4x；當(dāng)x<0時(shí)，y=0.

所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x（x≥0）和y=0（x<0）. ………………………………………①

（Ⅱ）由題意可知，直線l1的斜率存在且不為0，將其設(shè)為k，則直線l1的方程為y=k（x-1）.

由y=k（x-1），y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是有x1+x2 =2+ ，x1x2=1.

由于l1⊥l2，所以直線l2的斜率為- .

設(shè)D（x3，y3），E（x4，y4），則同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1.…………………………………………②

故 · =（ + ）·（ + ）= · + · + · + · =| |·| |+| |· | |=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）………………③

=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+（x3+x4）+1=1+（2+ ）+1+1+（2+4k2）+1=8+4（k2+ ）≥8+4×2 =16.

當(dāng)且僅當(dāng)k2= ，即k=±1時(shí)， · 取最小值16.………………………………………………④

在直線與圓錐曲線這類題中，這種解答策略最明顯.本題有①②③④四個(gè)得分點(diǎn)，第一問求出軌跡方程得4分，第二問一般總能做到步驟②，即可得到7分.

2.跳步解答

考生在解題時(shí)卡在某個(gè)過渡環(huán)節(jié)上是很常見的.這時(shí)，考生可以先承認(rèn)中間結(jié)論，然后向后推導(dǎo)，看能否得到結(jié)論.如果得不出，證明這個(gè)途徑不對(duì)，立即改變方向；如果能得出預(yù)期的結(jié)論，這時(shí)再回過頭來，集中力量攻克這個(gè)“中途點(diǎn)”.如果受到高考時(shí)間所限，“中途點(diǎn)”的攻克來不及了，那么考生可以將前面的先寫下來，再寫上“證明某步之后，繼而有……”，然后一直做到底.也許，后面中間步驟又想出來了，這時(shí)考生也不要亂七八糟地補(bǔ)上去，可補(bǔ)在后面，書寫為“事實(shí)上，某步可證明如下”.

有的題目可能設(shè)有多問，如果第一問求不出來，考生可以將第一問當(dāng)成已知，先做第二問，這也算是跳步解答.

例3 （2011年高考湖南理科卷第18題，滿分為12分）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：

試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.

（Ⅰ）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；

（Ⅱ）記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解 （Ⅰ）P（“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”）=P（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）+P（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）…①

= + = .………………………………②

（Ⅱ）由題意可知，X的可能取值為2，3.

P（X=2）=P（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）= = ；

P（X=3）=P（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）+P（“當(dāng)天商品銷售量為2件”）+P（“當(dāng)天商品銷售量為3件”）= + + = .

故X的分布列為

………………………③

X的數(shù)學(xué)期望為EX=2× +3× = .………④

本題的這兩道小題可以說是互相獨(dú)立的，彼此不相干.所以，如果第一小題做不出來，考生可以跳過去，直接做第二小題.本題的上述四個(gè)得分點(diǎn)的得分分別為4分、2分、4分、2分.

3.退步解答

“以退求進(jìn)”是一個(gè)重要的解題策略.如果不能解決題中所提出的問題，那么考生可以從一般退到特殊，從復(fù)雜退到簡單，從整體退到局部.總之，退到一個(gè)考生能夠解決的問題為止.

比如：數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若{Sn}是等差數(shù)列，求公比q.

對(duì)等比數(shù)列問題，考生需考慮到q=1與q≠1兩種情況.考生可以先對(duì)特殊的q=1進(jìn)行討論，滿足題意，找到解題思路和穩(wěn)定情緒后，再討論q≠1時(shí)是否也滿足題意，這時(shí)發(fā)現(xiàn)無解.如果對(duì)q≠1的情況確實(shí)不會(huì)解，考生還可以開門見山地寫上：本題分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.也許只能完成其中一種情況，但考生沒有用一種情況來代替主體，這在概念和邏輯上是清楚的.

4.輔助解答

一道題目的完整解答，既要有主要的實(shí)質(zhì)性的步驟，也要有次要的輔助性的步驟，如準(zhǔn)確的作圖，將題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，設(shè)出應(yīng)用題中的未知量，函數(shù)中變量的取值范圍，軌跡題中的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，數(shù)學(xué)歸納法證明中第一步n的取值等.如果處理得當(dāng)，這些步驟也會(huì)增分，考生千萬不要小視它們.

另外，書寫也是輔助解答.卷面隨意涂改或者正確答案的位置不合理，都會(huì)造成不必要的失分.所以，有人說書寫工整、卷面整齊也得分，不無道理.

（作者為湖南寧遠(yuǎn)縣一中高級(jí)教師，連續(xù)六年參加湖南高考數(shù)學(xué)閱卷工作，其中三次擔(dān)任閱卷小組組長，三次擔(dān)任閱卷大組組長）（責(zé)任編校？筑周峰）

故 · =（ + ）·（ + ）= · + · + · + · =| |·| |+| |· | |=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）………………③

=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+（x3+x4）+1=1+（2+ ）+1+1+（2+4k2）+1=8+4（k2+ ）≥8+4×2 =16.

當(dāng)且僅當(dāng)k2= ，即k=±1時(shí)， · 取最小值16.………………………………………………④

在直線與圓錐曲線這類題中，這種解答策略最明顯.本題有①②③④四個(gè)得分點(diǎn)，第一問求出軌跡方程得4分，第二問一般總能做到步驟②，即可得到7分.

2.跳步解答

考生在解題時(shí)卡在某個(gè)過渡環(huán)節(jié)上是很常見的.這時(shí)，考生可以先承認(rèn)中間結(jié)論，然后向后推導(dǎo)，看能否得到結(jié)論.如果得不出，證明這個(gè)途徑不對(duì)，立即改變方向；如果能得出預(yù)期的結(jié)論，這時(shí)再回過頭來，集中力量攻克這個(gè)“中途點(diǎn)”.如果受到高考時(shí)間所限，“中途點(diǎn)”的攻克來不及了，那么考生可以將前面的先寫下來，再寫上“證明某步之后，繼而有……”，然后一直做到底.也許，后面中間步驟又想出來了，這時(shí)考生也不要亂七八糟地補(bǔ)上去，可補(bǔ)在后面，書寫為“事實(shí)上，某步可證明如下”.

有的題目可能設(shè)有多問，如果第一問求不出來，考生可以將第一問當(dāng)成已知，先做第二問，這也算是跳步解答.

例3 （2011年高考湖南理科卷第18題，滿分為12分）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：

試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.

（Ⅰ）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；

（Ⅱ）記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解 （Ⅰ）P（“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”）=P（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）+P（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）…①

= + = .………………………………②

（Ⅱ）由題意可知，X的可能取值為2，3.

P（X=2）=P（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）= = ；

P（X=3）=P（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）+P（“當(dāng)天商品銷售量為2件”）+P（“當(dāng)天商品銷售量為3件”）= + + = .

故X的分布列為

………………………③

X的數(shù)學(xué)期望為EX=2× +3× = .………④

本題的這兩道小題可以說是互相獨(dú)立的，彼此不相干.所以，如果第一小題做不出來，考生可以跳過去，直接做第二小題.本題的上述四個(gè)得分點(diǎn)的得分分別為4分、2分、4分、2分.

3.退步解答

“以退求進(jìn)”是一個(gè)重要的解題策略.如果不能解決題中所提出的問題，那么考生可以從一般退到特殊，從復(fù)雜退到簡單，從整體退到局部.總之，退到一個(gè)考生能夠解決的問題為止.

比如：數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若{Sn}是等差數(shù)列，求公比q.

對(duì)等比數(shù)列問題，考生需考慮到q=1與q≠1兩種情況.考生可以先對(duì)特殊的q=1進(jìn)行討論，滿足題意，找到解題思路和穩(wěn)定情緒后，再討論q≠1時(shí)是否也滿足題意，這時(shí)發(fā)現(xiàn)無解.如果對(duì)q≠1的情況確實(shí)不會(huì)解，考生還可以開門見山地寫上：本題分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.也許只能完成其中一種情況，但考生沒有用一種情況來代替主體，這在概念和邏輯上是清楚的.

4.輔助解答

一道題目的完整解答，既要有主要的實(shí)質(zhì)性的步驟，也要有次要的輔助性的步驟，如準(zhǔn)確的作圖，將題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，設(shè)出應(yīng)用題中的未知量，函數(shù)中變量的取值范圍，軌跡題中的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，數(shù)學(xué)歸納法證明中第一步n的取值等.如果處理得當(dāng)，這些步驟也會(huì)增分，考生千萬不要小視它們.

另外，書寫也是輔助解答.卷面隨意涂改或者正確答案的位置不合理，都會(huì)造成不必要的失分.所以，有人說書寫工整、卷面整齊也得分，不無道理.

（作者為湖南寧遠(yuǎn)縣一中高級(jí)教師，連續(xù)六年參加湖南高考數(shù)學(xué)閱卷工作，其中三次擔(dān)任閱卷小組組長，三次擔(dān)任閱卷大組組長）（責(zé)任編校？筑周峰）

故 · =（ + ）·（ + ）= · + · + · + · =| |·| |+| |· | |=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）………………③

=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+（x3+x4）+1=1+（2+ ）+1+1+（2+4k2）+1=8+4（k2+ ）≥8+4×2 =16.

當(dāng)且僅當(dāng)k2= ，即k=±1時(shí)， · 取最小值16.………………………………………………④

在直線與圓錐曲線這類題中，這種解答策略最明顯.本題有①②③④四個(gè)得分點(diǎn)，第一問求出軌跡方程得4分，第二問一般總能做到步驟②，即可得到7分.

2.跳步解答

考生在解題時(shí)卡在某個(gè)過渡環(huán)節(jié)上是很常見的.這時(shí)，考生可以先承認(rèn)中間結(jié)論，然后向后推導(dǎo)，看能否得到結(jié)論.如果得不出，證明這個(gè)途徑不對(duì)，立即改變方向；如果能得出預(yù)期的結(jié)論，這時(shí)再回過頭來，集中力量攻克這個(gè)“中途點(diǎn)”.如果受到高考時(shí)間所限，“中途點(diǎn)”的攻克來不及了，那么考生可以將前面的先寫下來，再寫上“證明某步之后，繼而有……”，然后一直做到底.也許，后面中間步驟又想出來了，這時(shí)考生也不要亂七八糟地補(bǔ)上去，可補(bǔ)在后面，書寫為“事實(shí)上，某步可證明如下”.

有的題目可能設(shè)有多問，如果第一問求不出來，考生可以將第一問當(dāng)成已知，先做第二問，這也算是跳步解答.

例3 （2011年高考湖南理科卷第18題，滿分為12分）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：

試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.

（Ⅰ）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；

（Ⅱ）記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解 （Ⅰ）P（“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”）=P（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）+P（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）…①

= + = .………………………………②

（Ⅱ）由題意可知，X的可能取值為2，3.

P（X=2）=P（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）= = ；

P（X=3）=P（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）+P（“當(dāng)天商品銷售量為2件”）+P（“當(dāng)天商品銷售量為3件”）= + + = .

故X的分布列為

………………………③

X的數(shù)學(xué)期望為EX=2× +3× = .………④

本題的這兩道小題可以說是互相獨(dú)立的，彼此不相干.所以，如果第一小題做不出來，考生可以跳過去，直接做第二小題.本題的上述四個(gè)得分點(diǎn)的得分分別為4分、2分、4分、2分.

3.退步解答

“以退求進(jìn)”是一個(gè)重要的解題策略.如果不能解決題中所提出的問題，那么考生可以從一般退到特殊，從復(fù)雜退到簡單，從整體退到局部.總之，退到一個(gè)考生能夠解決的問題為止.

比如：數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若{Sn}是等差數(shù)列，求公比q.

對(duì)等比數(shù)列問題，考生需考慮到q=1與q≠1兩種情況.考生可以先對(duì)特殊的q=1進(jìn)行討論，滿足題意，找到解題思路和穩(wěn)定情緒后，再討論q≠1時(shí)是否也滿足題意，這時(shí)發(fā)現(xiàn)無解.如果對(duì)q≠1的情況確實(shí)不會(huì)解，考生還可以開門見山地寫上：本題分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.也許只能完成其中一種情況，但考生沒有用一種情況來代替主體，這在概念和邏輯上是清楚的.

4.輔助解答

一道題目的完整解答，既要有主要的實(shí)質(zhì)性的步驟，也要有次要的輔助性的步驟，如準(zhǔn)確的作圖，將題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，設(shè)出應(yīng)用題中的未知量，函數(shù)中變量的取值范圍，軌跡題中的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，數(shù)學(xué)歸納法證明中第一步n的取值等.如果處理得當(dāng)，這些步驟也會(huì)增分，考生千萬不要小視它們.

另外，書寫也是輔助解答.卷面隨意涂改或者正確答案的位置不合理，都會(huì)造成不必要的失分.所以，有人說書寫工整、卷面整齊也得分，不無道理.

（作者為湖南寧遠(yuǎn)縣一中高級(jí)教師，連續(xù)六年參加湖南高考數(shù)學(xué)閱卷工作，其中三次擔(dān)任閱卷小組組長，三次擔(dān)任閱卷大組組長）（責(zé)任編校？筑周峰）