屠傳焱

摘 要：讓數(shù)學(xué)課堂成為思維的課堂，就是把數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心. 本文結(jié)合課堂教學(xué)實踐，從“設(shè)”問題、“說”數(shù)學(xué)兩個方面論述如何訓(xùn)練思維，以增強學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的思維能力.

關(guān)鍵詞：思維訓(xùn)練；課堂教學(xué)；？搖“說”問題；？搖“說”數(shù)學(xué)

■問題提出

經(jīng)常有這樣一個現(xiàn)象：某學(xué)生在高一、高二時數(shù)學(xué)成績不理想，到了高三，該學(xué)生刻苦勤奮，遨游題海，于是數(shù)學(xué)成績“突飛猛進”，家長、教師、學(xué)生本人總認為數(shù)學(xué)成績得到了大幅度的提高，可是高考成績出來以后數(shù)學(xué)成績又回到原來的水平. 似乎高三一個學(xué)年的幾千道題目失去了它的實際作用.于是遺憾加迷茫，不知道高三一年來的幾千道題目效用何在？有教師給學(xué)生做的練習(xí)比別人少得多，平時成績也一般，但高考卻考的很好，尤其是高分很突出.

事實上，訓(xùn)練雖然可以調(diào)整人的行為反應(yīng)，但卻遺忘了反應(yīng)主體對外來意外事件的理解力. 大量訓(xùn)練只能解決熟悉問題的反應(yīng)速度，不能解決新問題.高考題目都是新問題.如果你對這一現(xiàn)象做過調(diào)查，你就會發(fā)現(xiàn)所謂“高考回歸原點”的這類學(xué)生往往在做題時，就題論題. 因此，他們的思維沒有得到真正的訓(xùn)練，或者思維沒有得以發(fā)展和優(yōu)化，瓶頸就沒有辦法突破，高考成績自然就不會提高.

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)課堂是訓(xùn)練學(xué)生思維最集中的場所. 讓數(shù)學(xué)課堂成為思維的課堂，就是把數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練作為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心. 課堂教學(xué)過程就是訓(xùn)練優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過程.只有這樣，才能使數(shù)學(xué)課堂成為高效的課堂，充滿活力和創(chuàng)造力的課堂！

如何做好思維體操，增強學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的思維能力？下面談?wù)劰P者在課堂教學(xué)實踐中的具體做法.

■“設(shè)”問題

數(shù)學(xué)教學(xué)中要形成自然的流程、高質(zhì)量的思維過程，我們要設(shè)計一連串好的問題來引領(lǐng)學(xué)生思維的發(fā)展與優(yōu)化. 這一連串有直接或間接內(nèi)在聯(lián)系的問題稱之為“問題鏈”. 設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題鏈可以讓學(xué)生在自由、民主的合作、交流活動中學(xué)會思考，學(xué)會學(xué)習(xí).設(shè)置怎樣的問題能訓(xùn)練學(xué)生的思維呢？筆者研究了兩種設(shè)計：“由高向低，分層設(shè)計”與“由淺入深，逐級設(shè)計”.

1. 由高向低，分層設(shè)計

所設(shè)問題在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，從高層次的元認知問題到低層次的知識再現(xiàn)問題，可以設(shè)置成幾個層次來問，層次越高，問題就越開放，涉及知識越少，探究能力要求就高，訓(xùn)練思維能力就越高；層次越低，涉及具體知識越多，訓(xùn)練思維能力就越低. 教學(xué)操作時，先寬后窄.思維從開放、猜想、直覺、靈感到邏輯推理、分析綜合，再到具體數(shù)學(xué)思想方法.

案例1 同角三角函數(shù)關(guān)系導(dǎo)入

先復(fù)習(xí)一下sinx，cosx，tanx三個三角函數(shù)的定義，然后可分成以下幾個層次提問. 第一層：接下來我們能做些什么呢？這個問題沒有指明目標，自己尋找方向，要學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，屬探索、發(fā)現(xiàn)級別，教師只是提供意識上的提示；第二層：你能發(fā)現(xiàn)sinx，cosx，tanx之間有什么關(guān)系嗎？這個問題具體到三角函數(shù)，教師提供原材料，沒提供具體方向，但指明了關(guān)系，有等量和不等量的暗示，屬探究級別；第三層：sinx，cosx，tanx之間有什么等量關(guān)系？這個問題指明方向，但沒有指明方法，有一定操作指向；第四層：利用定義或單位圓，你能發(fā)現(xiàn)什么，他們之間有什么等量關(guān)系？這個問題指明了方向，提供可能的操作工具，涉及具體的知識與方法，留給學(xué)生的只是具體地解決問題，能力要求也就偏低. 可以看出以上每問都是為了同一個教學(xué)內(nèi)容，但問法不同，要求也就不同，教學(xué)效果也就有差異.

案例2 求y=■值域

案例1是新知識引入，這個案例是解題思路的引出，所有的知識學(xué)生都已經(jīng)學(xué)過. 因此第一層是讓學(xué)生自己思考，自己研究如何解決問題，這是第一層，屬探究級別；第二層問：你能想到相關(guān)內(nèi)容嗎？提示要學(xué)會聯(lián)想相關(guān)可能的內(nèi)容，沒有指明方向，只是作出策略上的暗示，學(xué)生可以聯(lián)想三角函數(shù)、分式函數(shù)及結(jié)構(gòu)上類似的斜率等具體知識；第三層問：這是什么樣的結(jié)構(gòu)形式，你會想到什么？這里指明了結(jié)構(gòu)：分式形式，暗示與分式函數(shù)相關(guān)，可以用反函數(shù)分離變量法求值域，也可以用數(shù)形結(jié)合但不具體；第四層問：這個式子類似反比例函數(shù)及解析幾何中的斜率，你能用他們來解答嗎？這個問題直接指明了具體的方法. 這四問對學(xué)生提示是不同的，對學(xué)生的思維要求是由高到低.

2. 由淺入深，逐級設(shè)計

教材中有些內(nèi)容學(xué)生的經(jīng)歷少，感悟不深，尤其是起始概念、方法和思想.為了增加學(xué)生的體驗，我們使用由低級到高級逐級鋪墊深入的設(shè)計方法，為學(xué)生提供歸納、總結(jié)的情景，讓學(xué)生在這個問題鏈情景中體會如何步步深入探究問題；讓學(xué)生在體驗中逐步領(lǐng)悟知識的內(nèi)涵，從而提升學(xué)生的領(lǐng)悟與理解能力，感受問題的解決過程.

案例3 直線與平面平行的判定引入

問題1：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1B1與面ABCD是什么關(guān)系？還有類似與面ABCD平行的直線嗎？（可以問教室頂上的直線與地面之間的位置關(guān)系）

問題2：你會定義直線與平面平行嗎？

問題3：任畫一直線與面ABCD平行嗎？在平面A1B1C1D1內(nèi)畫A1C1和其他比較特殊的直線呢？（可以用一個木棒比畫一下與地面是否平行？）

問題4：用定義判定起來困難，需要找新的判定工具嗎？

這種案例設(shè)計要從學(xué)生的實際生活、學(xué)生熟悉的背景、學(xué)生已有的知識和能力出發(fā)設(shè)計一個個問題鏈，讓學(xué)生有建構(gòu)的時間和經(jīng)歷.

案例4 由平行四邊形ABCD作背景設(shè)計向量減法，練習(xí)問題鏈.

■

圖1

已知O是平行四邊形ABCD的對角線的交點，若■=a，■=b，■=c，則

問題1：■=_______，■=_______；

直接表示，讓學(xué)生熟悉向量的基本運算及向量的平移不變性，知識單一.

問題2：■=_______；

需要綜合問題1的知識.

問題3：■+■=_______；

需要綜合問題1、2及加法知識.

問題4：證明b+c-a=■；

不僅涉及背景多（向量的加法），思維方法要改進，還涉及轉(zhuǎn)化思想與分步處理的方法.

問題5：若P滿足■+■+■=0，則P處于△ABD的什么位置？

這個問題不僅在運算方法上有變化，而且解決方向是開放的，增強了探究的意識.

這種案例設(shè)計要考慮兩個方面：一是知識、技能設(shè)計由單一知識點到兩個或兩個以上知識點的認識、操作與應(yīng)用；二是思維方式的設(shè)計，由直接到間接，由具體到抽象，由正向到逆向，由收斂到發(fā)散，逐步提高思維層次.

要說明的是，兩種設(shè)計方式可以同時交叉使用，問題的跨度可以根據(jù)自己學(xué)生能力及課堂學(xué)生思維的反應(yīng)進行調(diào)整.

一個好的問題，對于所授內(nèi)容來講是具有啟發(fā)意義的問題；對教學(xué)活動來講是具有探索和拓展意義的問題；對學(xué)生的情感來講又是學(xué)生熟悉或感興趣的問題；對長遠目標來講是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的問題，是提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性與創(chuàng)造性的問題. 在平常的教學(xué)過程中，我們一方面要用新課程理念武裝自己的教育、教學(xué)觀念，學(xué)習(xí)一些教育、教學(xué)理論，用全新理念和理論分析一些好的問題鏈設(shè)計，從中學(xué)習(xí)、體會其藝術(shù)性，提高自己的設(shè)計技巧與能力，另一方面我們要自己動腦創(chuàng)作一些好的問題設(shè)計，實現(xiàn)我們對課程資源的再創(chuàng)造，逐步提升自己的問題設(shè)計的能力.

■“說”數(shù)學(xué)

維果斯基說：語言是思維的外殼.通過語言，可以了解學(xué)生的思維狀況，打開思維之門，推動思維的發(fā)展. 在交流與表達中，“說”數(shù)學(xué)是一個重要的方式. 所謂的“說”數(shù)學(xué)，就是用自己的語言說出數(shù)學(xué)知識、思想方法及解決問題的過程與策略等數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種學(xué)習(xí)方式. 教師通過學(xué)生“說”數(shù)學(xué)來了解學(xué)生對知識的理解程度，對數(shù)學(xué)思想、方法的應(yīng)用水平以及學(xué)生的情感、態(tài)度等等. 學(xué)生自己在“說”數(shù)學(xué)的過程中要整理自己的知識、思路及方法，把原來不連續(xù)的、散亂的思維整理清楚，培養(yǎng)學(xué)生的歸納整理，系統(tǒng)優(yōu)化，數(shù)與符號應(yīng)用、想象、分析綜合等思維能力；學(xué)生也能從“說”數(shù)學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn)問題，促進學(xué)生進一步的深入思考；學(xué)生也能從“說”數(shù)學(xué)中鍛煉自己用數(shù)學(xué)的語言與別人交流的能力，提高自己自由表達數(shù)學(xué)思想方法的自信心. 數(shù)學(xué)不同于語文、英語等文科課程. 它是以文字語言、符號語言、圖形語言組成的邏輯體系較強的學(xué)科，要求學(xué)生語言敘述要準確. 大家知道，教師的語言表達能力會影響教學(xué)效果，同時學(xué)生的表達水平也會影響教學(xué)效果. 一個教師水平再好，若學(xué)生不說話，老師就不能清楚學(xué)生的思維情況，教學(xué)反饋就不到位. 因此，在養(yǎng)成學(xué)生想“說”、有話可“說”的基礎(chǔ)上，還要加強學(xué)生“會說”的訓(xùn)練，讓學(xué)生能準確表達自己的思想，促進學(xué)生各種思維的優(yōu)化.

1. “說”概念

學(xué)生用自己的語言說清概念、定理、公式等知識，能促進學(xué)生對它們的記憶、理解以及提高學(xué)生的語言表達能力. 數(shù)學(xué)是用一系列的概念、定理、公式等支撐起來的具有嚴謹?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)的體系. 學(xué)生要想說清楚，必須要對它們理解. 有一些學(xué)生背得很熟，但讓他們用自己的語言說清楚就不行了. 在教學(xué)中，我們要學(xué)生用自己的語言來說說所學(xué)的知識，不僅說清楚內(nèi)含，而且說清楚與其他知識的聯(lián)系以及它的使用范圍、注意點，有必要時可以讓學(xué)生舉一個例子. 通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生不僅理解、復(fù)習(xí)以前的知識，促進與之相關(guān)知識間的聯(lián)系，而且同時也培養(yǎng)學(xué)生的表達能力. 例如，學(xué)習(xí)了余弦定理，可以讓學(xué)生用自己的自然語言敘述這個定理，而不是用字母來敘述，然后再讓學(xué)生說說應(yīng)用范圍，舉一個例子. 這樣，學(xué)生就會基本應(yīng)用這個公式了，不會導(dǎo)致一些學(xué)生雖然會背，但到實際的題目中就不知道對應(yīng)關(guān)系，不能正確應(yīng)用它.

2. “說”思路

人們常常會有這種感覺：在說話的過程中會發(fā)現(xiàn)自己原來的想法或思路有問題. 事實上，人的語言與思維不一定是同步的. 思維有時是跳躍的，不連續(xù)的，因此在敘述的過程中，總是要思考一下如何表達；想的不一定能說清楚，所以有時需要整理一下思路，完善自己的思路，使思路清晰. 在解題教學(xué)中，教師要求學(xué)生在過程中用玻利亞的解題順序表（“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現(xiàn)計劃”和“回顧反思”）來提示自己，從而提高解題的思維意識，促進思維的連貫性. 教學(xué)中，教師僅僅要求學(xué)生寫出答案或者運算步驟是不夠的，主要的是讓學(xué)生描述他們獲得答案的過程以及他們解決問題時所遇到的困難，不斷鼓勵學(xué)生弄清想法，并能用數(shù)學(xué)語言闡述.

通過這個過程，學(xué)生往往能發(fā)現(xiàn)一些錯誤，比如寫錯了、運算錯誤等等，也能在整理思路的過程中發(fā)現(xiàn)新的或更好的解法，教師也能及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題，并進行及時的指導(dǎo)、點撥.

案例5 一次測驗中求方程log■■+log■■=3的解集的答對率為100%，但有5人將解集寫成了解的形式. 評講教師覺得有蹊蹺，讓其中一個板演，結(jié)果是這樣的：

log■■=3，log■=3，2x=8，x=4.代入檢驗成立，所以x=4 .

這位教師再讓學(xué)生說理由，學(xué)生說對數(shù)的加法法則：log■+log■=log■.

教師再問：那么你是怎么記住對數(shù)的加法法則呢？

學(xué)生說：記得以前我們學(xué)過的一個公式是ab+ac=a（b+c）.

試想如果教師不去問，不去讓學(xué)生說出自己的思考過程，就失去了了解學(xué)生的思維的機會，就不能反思自己的教學(xué)過程.

3. “說”體會

孔子說“學(xué)而不思則罔”，在解題結(jié)束后、在課堂內(nèi)容結(jié)束后、在章節(jié)小結(jié)處，教師要求學(xué)生用自己的語言敘述一下自己的體會，以促進學(xué)生梳理知識形成網(wǎng)絡(luò)，總結(jié)解題經(jīng)驗、學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)生總結(jié)歸納的表達能力. 例如，筆者常讓學(xué)生記錄一些典型問題，并要求寫出點評，點評這個問題好在哪里，解題關(guān)鍵在哪里，哪些地方容易出錯，有哪些地方值得借鑒，通過這些讓學(xué)生學(xué)會自我思維監(jiān)控，學(xué)會思考，甚至可以讓學(xué)生寫小論文，比如寫：章節(jié)總結(jié)，集合中容易出錯的問題；函數(shù)最值的求法，怎樣使自己思維嚴謹?shù)?，通過“寫”促進深入思考.

此外，在課堂教學(xué)中可以通過參透數(shù)學(xué)思想提升思維深度，也可以從哲學(xué)角度提升思維高度.

數(shù)學(xué)思想中又蘊涵著數(shù)學(xué)思維.例如，數(shù)形結(jié)合突出形象思維與抽象思維相結(jié)合的訓(xùn)練，轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)劃歸映射思維等等. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是數(shù)學(xué)內(nèi)容的靈魂，是數(shù)學(xué)活動的指導(dǎo)思想和普遍適用的方法，它能使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考和處理問題，是學(xué)習(xí)知識、發(fā)展智力和培養(yǎng)能力相結(jié)合的法寶，教師要讓數(shù)學(xué)思想方法成為由知識轉(zhuǎn)化為能力的紐帶，促使學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成和發(fā)展.

哲學(xué)是從自然科學(xué)中總結(jié)出來的，它又可以反過來指導(dǎo)自然學(xué)科，數(shù)學(xué)當然也不例外. 正數(shù)與負數(shù)是對立統(tǒng)一的，復(fù)數(shù)是矛盾運動的產(chǎn)物，從割線到切線，分類討論是量變到質(zhì)變，抽象問題具體化是一般與特殊等等.

在新課程教學(xué)背景下發(fā)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)具有創(chuàng)造性思維品質(zhì)的學(xué)生是教育的必然和改革的需要. 只有開滿思維之花的課堂，才能讓每一個學(xué)生學(xué)會思維，享受學(xué)習(xí)，體驗成功，培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維的聰明的學(xué)習(xí)者. 只有這樣的課堂，才能使師生從題海中解脫出來.