周子君

摘 要：類比是高中數學新教材中新增加的選修內容，本文主要探討了近年高考、?？贾猩婕皥A錐曲線基本運算、相似性質的類比.

關鍵詞：圓錐曲線；類比

類比是高中數學新教材中新增加的選修內容，由于其方法多樣，形式靈活，涉及的知識點較多，正越來越受到出題者的青睞. 圓錐曲線在課本的引入過程中本身就帶有類比的特性，如統(tǒng)一定義（第二定義）時比例的類比，還有一些基本量、基本性質的類比等，因此關于圓錐曲線的類比頻頻出現在近年各地高考和?？荚囶}中.

本文擬對圓錐曲線中較為常見的一些類比進行歸類探討，希望同行賜教.

有關切線類比

1. （1）橢圓+=1（a>b>0）上一點P（x0，y0）處的切線方程為+=1.

（2）雙曲線-=1（a，b>0）上一點P（x0，y0）處的切線方程為-=1.

（3）拋物線y2=2px（p>0）上一點P（x0，y0）處的切線方程為y0y=p（x+x0）.

2. （1）過橢圓+=1（a>b>0）外一點P（x0，y0）作橢圓的兩切線，切點為M，N，則切點弦MN所在直線方程為+=1.

（2）過雙曲線-=1（a，b>0）外一點P（x0，y0）作雙曲線的兩切線，切點為M，N，則切點弦MN 所在直線方程為-=1.

（3）過拋物線y2=2px（p>0）外一點P（x0，y0）作拋物線的兩切線，切點為M，N，則切點弦MN所在直線方程為y0y=p（x+x0）.

離心率類比

1. 如圖1，橢圓中心在坐標原點，F為左焦點，A為長軸端點，B為短軸端點，當⊥時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”. 類比“黃金橢圓”可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于__________.

圖1

解：如圖2，⊥時，BF2+AB2=AF2，即b2+c2+c2=（a+c）2，所以3c2-a2=a2+c2+2ac，得c2-ac-a2=0，所以e2-e-1=0，即e=（負的舍去）.

2.（1）若F1，F2是橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點，P是橢圓上任意一點，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，α，β∈（0，π），則橢圓的離心率e=.

（2）若F1，F2是雙曲線-=1（a，b>0）的左、右焦點，P是雙曲線上任意一點，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，α，β∈（0，π），則雙曲線的離心率e=.

（提示：在△F1PF2中運用正弦定理及圓錐曲線定義即可求得，但需注意絕對值不能丟?。?/p>

角的類比

1. （1）過橢圓+=1（a>b>0）的左焦點F任作一條弦AB，若點P為左準線l與x軸的交點，則有∠APF=∠BPF.

（2）過雙曲線-=1（a，b>0）的左焦點F任作一條弦AB，若點P為左準線l與x軸的交點，則有∠APF=∠BPF.

（3）過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F任作一條弦AB，若點P為準線l與x軸的交點，則有∠APF=∠BPF.

證明：（1）如圖3，過A，B分別作l的垂線，

垂足為C，D，得：==e，所以=. 又AC∥FP∥BD，所以=，所以=，即=，

所以∠APC=∠BPD？圯∠APF=∠BPF.

（雙曲線及拋物線仿此證明）

2. （1）若P為橢圓+=1（a>b>0）左準線l與x軸的交點，過P任作一直線與橢圓交于兩不同點A，B，F為左焦點，則有∠AFP=∠BFx.

（2）若P為雙曲線-=1（a，b>0）左準線l與x軸的交點，過P任作一直線與雙曲線交于兩不同點A，B，F為左焦點，則有∠AFP=∠BFx.

（3）若P為拋物線y2=2px（p>0）準線l與x軸的交點，過P任作一直線與拋物線交于兩不同點A，B，F為焦點，則有∠AFP=∠BFx.

定點類比

1. （1）若P為橢圓+=1（a>b>0）左準線l上一點，過P作橢圓的兩切線，切點為A，B，則直線AB必過左焦點F，且PF⊥AB.

（2）若P為雙曲線-=1（a，b>0）左準線l上一點，過P作雙曲線的兩切線，切點為A，B，則直線AB必過左焦點F，且PF⊥AB.

（3）若P為拋物線y2=2px（p>0）準線l上一點，過P作拋物線的兩切線，切點為A，B，則直線AB必過焦點F，且PF⊥AB.

更一般地，有

2. （1）若P為定直線l：x=m上一點，過P作橢圓+=1（a>b>0）的兩切線，切點為A，B，則直線AB必過定點，0.

（2）若P為定直線l：x=m上一點，過P作雙曲線-=1（a，b>0）的兩切線，切點為A，B，則直線AB必過定點，0.

（3）若P為定直線l：x=m上一點，過P作拋物線y2=2px（p>0）的兩切線，切點為A，B，則直線AB必過定點（-m，0）.

定量類比

1. 過雙曲線-=1（a，b>0）的右焦點F（c，0）的直線交雙曲線于M，N兩點，交y軸于P點，且=λ1，=λ2，則有λ1+λ2的定值為；類比雙曲線這一結論，在橢圓+=1（a>b>0）中，則有λ1+λ2的定值為________.

圖4

簡解：采用特殊位置法. 取如圖4特殊位置，λ1=-=，λ2=-= -，所以λ1+λ2=-+=-（一般性證明略）.

2.（1）設AB是橢圓+=1（a>b>0）中與坐標軸均不平行的弦，其所在直線的斜率為k1，弦AB的中點為M，直線OM的斜率為k2，則有k1k2=-.

（2）設AB是雙曲線-=1（a，b>0）中與坐標軸均不平行的弦，其所在直線的斜率為k1，弦AB的中點為M，直線OM的斜率為k2，則有k1k2=.

3. （1）已知橢圓+=1（a>b>0），M，N是橢圓上關于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，則k1k2=-.

（2）已知雙曲線-=1（a，b>0），M，N是雙曲線上關于原點對稱的兩點，P是雙曲線上任意一點，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，則k1k2=-.

（提示：設點P（x0，y0），M（x1，y1），N（-x1，-y1），利用點差法可證）

4. （1）已知曲線C1：+=1（a>b>0）與曲線C2：x2=2py（p>0）的交點分別為A，B，曲線C1和曲線C2在點A處的切線分別為l1，l2，且l1，l2的斜率分別為k1，k2，當為定值時，則k1·k2為定值-.

（2）已知曲線C1：-=1（a，b>0）與曲線C2：x2=2py（p>0）的交點分別為A，B，曲線C1和曲線C2在點A處的切線分別為l1，l2，且l1，l2的斜率分別為k1，k2，當為定值時，則k1·k2為定值.

圖5

證明：（1）設點A的坐標為（x0，y0），則曲線C1在A的切線l1為+=1，所以k1=-，同樣有曲線C2在A的切線l2為x0x=p（y+y0），所以k2=，所以k1k2= -·=-. 又py0=，所以k1k2=-= -=-為定值.

（雙曲線類似證明）

另外，由于曲線C2位置的改變，也可以有：

（1）已知曲線C1：+=1（a>b>0）與曲線C2：y2=2px（p>0）的交點分別為A，B，曲線C1和曲線C2在點A處的切線分別為l1，l2，且l1，l2的斜率分別為k1，k2，當為定值時，則k1·k2為定值-.

（2）已知曲線C1：+=1（a，b>0）與曲線C2：y2=2px（p>0）的交點分別為A，B，曲線C1和曲線C2在點A處的切線分別為l1，l2，且l1，l2的斜率分別為k1，k2，當為定值時，則k1·k2為定值.

軌跡類比

1. （1）橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F2，P是橢圓上任意一點，F2在∠F1PF2的外角平分線上的射影為M，則M的軌跡方程是x2+y2=a2（y≠0）.

（2）雙曲線-=1（a，b>0）的左、右焦點分別是F1，F2，P是雙曲線上任意一點，F2在∠F1PF2的內角平分線上的射影為M，則M的軌跡方程是x2+y2=a2（y≠0）.

2. （1）設A，B為橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點，M，N為橢圓上兩不同點，且M，N關于x軸對稱，則直線AM與BN交點的軌跡方程為-=1（y≠0）.

（2）設A，B為雙曲線-=1（a，b>0）的左、右頂點，M，N為雙曲線上兩不同點，且M，N關于x軸對稱，則直線AM與BN交點的軌跡方程為+=1（y≠0）.

（此二例是“交軌法”的典例）

恒等式類比

（1）若AB是橢圓+=1（a>b>0）的長軸，直線AC，BD是橢圓過A，B的切線，F1，F2為左、右焦點，P是橢圓上任意一點，CD是過P的切線，則有PF1·PF2=PC·PD.

（2）若AB是雙曲線-=1（a，b>0）的實軸，直線AC，BD是雙曲線過A，B的切線，F1，F2為左、右焦點，P是雙曲線上任意一點，CD是過P的切線，則有PF1·PF2=PC·PD.

在圓錐曲線中還有許多優(yōu)美的類比結論有待我們去發(fā)現，本文只是平時的一些積累，拋磚引玉，期望與同行們一起探討.