趙宜楠 張 濤 李風(fēng)從 周志權(quán)

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基于交替投影的MIMO雷達(dá)最優(yōu)波形設(shè)計(jì)

趙宜楠*張 濤 李風(fēng)從 周志權(quán)

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 哈爾濱 150001)

該文研究用于多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)的具有低相關(guān)旁瓣的恒模波形設(shè)計(jì)方法，這類波形可以抑制距離旁瓣遮蔽和不同信號(hào)回波之間的相互干擾。首先，根據(jù)非周期相關(guān)函數(shù)與功率譜(PSD)之間的傅里葉變換對(duì)關(guān)系，將波形的相關(guān)特性優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為功率譜優(yōu)化問(wèn)題；然后，基于功率譜擬合的思想，將設(shè)計(jì)波形的功率譜向理想波形功率譜逼近；最后，在時(shí)、頻域交替投影的算法框架下，利用快速傅里葉變換(FFT)實(shí)現(xiàn)波形的優(yōu)化設(shè)計(jì)。計(jì)算機(jī)仿真表明，該算法能夠設(shè)計(jì)具有良好相關(guān)特性的MIMO雷達(dá)波形且運(yùn)算效率較高。

MIMO雷達(dá)；波形設(shè)計(jì)；旁瓣抑制；功率譜逼近；交替投影

1 引言

本文根據(jù)非周期相關(guān)函數(shù)與功率譜的傅里葉變換對(duì)關(guān)系，提出了一種具有良好相關(guān)特性的波形設(shè)計(jì)方法。該方法基于交替投影框架[17]，分別定義具有恒模特性的波形集合和具有理想頻譜的波形集合，使用交替投影算子進(jìn)行求解，與具有類似思想的Multi-CAN算法相比，具有更低的自相關(guān)峰值旁瓣和更快的計(jì)算速度。本文將該算法命名為MDISAA(Multi-Dimensinal Iterative Spectral Approximation Algorithm)。

2 問(wèn)題建模

波形設(shè)計(jì)的目的是減少設(shè)計(jì)波形矩陣與理想波形矩陣之間的誤差，由此可以得到波形設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為

考慮到波形的相關(guān)與功率譜之間的傅里葉變換對(duì)關(guān)系，可以將式(5)所示的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為譜的逼近問(wèn)題，如式(7)所示。

由上述分析知，式(7)中的優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求式(16)的極小值問(wèn)題，而式(16)與式(17)“幾乎等價(jià)”[16]。

3 波形設(shè)計(jì)

為解決式(17)所示的優(yōu)化問(wèn)題，這里提出一種多維迭代譜逼近算法，本文稱為MDISAA，該算法利用了交替投影和相位提取的思想，以及相關(guān)與譜之間的關(guān)系進(jìn)行求解；通過(guò)迭代的方式，減少設(shè)計(jì)波形與理想波形譜之間的誤差，來(lái)達(dá)到優(yōu)化波形的目的。與1維波形優(yōu)化相比，設(shè)計(jì)波形矩陣更加復(fù)雜。對(duì)于前者，每一個(gè)時(shí)間采樣或頻率采樣對(duì)應(yīng)一個(gè)代表相關(guān)或者譜的標(biāo)量；而對(duì)于后者，每個(gè)采樣對(duì)應(yīng)的則是一個(gè)矩陣。即1維波形設(shè)計(jì)是1維向量之間的逼近問(wèn)題，而波形矩陣設(shè)計(jì)是3維數(shù)組之間的逼近問(wèn)題。為了推導(dǎo)該算法，需要定義：(1)波形的距離；(2)約束波形時(shí)域包絡(luò)和優(yōu)化相關(guān)特性的集合；(3)每個(gè)集合的投影算子?？紤]到波形集合使用波形矩陣來(lái)表示，這里采用Frobinus范數(shù)來(lái)定義波形距離，如式(18)所示。

本文提出的MDISAA算法主要步驟如下：

然而，根據(jù)式(17)，從表面上看，MDISAA僅對(duì)波形的自相關(guān)進(jìn)行了顯式的優(yōu)化，而未考慮互相關(guān)的優(yōu)化。這里就MDISAA對(duì)設(shè)計(jì)波形矩陣互相關(guān)的優(yōu)化進(jìn)行研究。將式(23)代入式(12)所定義的目標(biāo)函數(shù)，得到

將式(23)代入集值函數(shù)式(20)，可發(fā)現(xiàn)由投影算子式(22)得到的矩陣滿足使式(24)最小化的條件。

該式表明互相關(guān)得到了隱式的優(yōu)化。這一點(diǎn)與文獻(xiàn)[16]的結(jié)論是一致的。但是與該文獻(xiàn)提出的Multi- CAN相比，MDISAA對(duì)于逼近的理想波形矩陣使用了不同形式，投影算子式(22)直接對(duì)自相關(guān)進(jìn)行顯式優(yōu)化，帶來(lái)的好處是自相關(guān)的性能得到改善，相應(yīng)地，由于互相關(guān)的優(yōu)化是利用式(23)，式(24)和式(25)隱式實(shí)現(xiàn)的，這方面的性能受到一定損失。這一特性將在下一節(jié)的數(shù)值仿真中繼續(xù)分析。

4 數(shù)值仿真

仿真1 為驗(yàn)證算法的性能，定義如式(26)的歸一化相關(guān)(normalized correlation)幅值[16]：

由圖1中子圖(a), (b)和(c)可以看出，MDISAA產(chǎn)生波形的自相關(guān)峰值旁瓣比Multi-CAN低很多；同時(shí)通過(guò)子圖(d), (e)和(f)可以看出，在互相關(guān)峰值方面，MDISAA比Multi-CAN稍差。這一結(jié)果符合上一節(jié)對(duì)算法的分析：由于MDISAA對(duì)互相關(guān)使用隱式優(yōu)化，因此互相關(guān)性能與Multi-CAN相比存在一定的損失，以此為代價(jià)，MDISAA的自相關(guān)性能比Multi-CAN得到了提升。

仿真2 為了進(jìn)行定量的分析，在不同的波形序列長(zhǎng)度下，將MDISAA算法與Multi-CAN以及隨機(jī)產(chǎn)生波形序列共3種方法進(jìn)行比較。根據(jù)文獻(xiàn)[16]，定義如式(27)的自相關(guān)峰值旁瓣(Auto-correlation Sidelobe Peak, ASP)：

互相關(guān)峰值(Cross-correlation Peak, CP)定義為

歸一化擬合誤差(Normalized Fitting Error, NFE)定義為

從圖2(a)可以看出，MDISAA自相關(guān)峰值旁瓣比Multi-CAN低7~11 dB，性能上有較大改善；由圖2(b)可知MDISAA互相關(guān)峰值比Multi-CAN高1.5 dB左右，互相關(guān)方面性能損失不大；圖2(c)則顯示這兩種算法的歸一化擬合誤差相當(dāng)。另外，通過(guò)表1不難發(fā)現(xiàn)在運(yùn)行時(shí)間方面，MDISAA也要優(yōu)于Multi-CAN。

圖1 Multi-CAN與MDISAA波形的相關(guān)特性比較

圖2 自相關(guān)峰值旁瓣，互相關(guān)峰值，歸一化擬合誤差比較

表1 Multi-CAN與MDISAA的運(yùn)行時(shí)間比較(s)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種波形設(shè)計(jì)算法MDISAA，該算法可以設(shè)計(jì)具有低相關(guān)旁瓣的波形，這類波形可以用于MIMO雷達(dá)以及通信領(lǐng)域中的CDMA(Code Division Multiple Access)系統(tǒng)。MDISAA基于功率譜擬合思想，利用交替投影的算法框架，通過(guò)FFT實(shí)現(xiàn)主要的運(yùn)算，計(jì)算效率高，且可以進(jìn)行極長(zhǎng)波形序列的設(shè)計(jì)。計(jì)算機(jī)仿真表明，雖然MDISAA的互相關(guān)峰值比文獻(xiàn)[16]提出的Multi-CAN算法高1.5 dB左右，歸一化擬合誤差相當(dāng)，但是自相關(guān)峰值旁瓣比Multi-CAN低7~11 dB，計(jì)算速度也要優(yōu)于Multi-CAN。

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趙宜楠： 男，1977年生，副教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槔走_(dá)統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理、自適應(yīng)波形設(shè)計(jì).

張 濤： 男，1988年生，碩士生，研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)信號(hào)處理、雷達(dá)統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理.

李風(fēng)從： 男，1985年生，博士生，研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)信號(hào)處理、雷達(dá)統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理.

Optimal Waveform Design for MIMO Radar via Alternating Projection

Zhao Yi-nan Zhang Tao Li Feng-cong Zhou Zhi-quan

(,,150001,)

This paper discusses the design of unimodular waveforms with low correlation sidelobes that is useful for MIMO radar. These waveforms can suppress range sidelobes masking and mutual interferences among different echo signals. First, according to the relationship between the aperiodic correlation sequences and the waveforms Power Spectral Density (PSD), the correlation porperty optimization is transformed into the PSD optimization. Then, based on the PSD approximation, the designed waveforms PSDs are approximated to ideal ones. Finally, under the algorithm framework of alternating projection, Fast Fourier Transform (FFT) are used to optimize the waveforms. The numerical simulations demonstrate that the proposed method can design waveforms with good correlations for MIMO radar and it is computationally efficient.

MIMO radar; Waveform design; Range sidelobe suppressing; Power Spectral Density (PSD) approximation; Alternating projection

TN957.51

A

1009-5896(2014)06-1368-06

10.3724/SP.J.1146.2013.01198

趙宜楠 hrbzyn@163.com

2013-08-06收到，2013-11-18改回

國(guó)家自然科學(xué)基金(61371181)資助課題