2個時滯復雜動態(tài)網(wǎng)絡的廣義同步

徐君群，張建雄，龐明寶

(1. 天津大學管理與經(jīng)濟學部，天津 300072；2. 河北工業(yè)大學土木工程學院，天津 300401)

2個時滯復雜動態(tài)網(wǎng)絡的廣義同步

徐君群1,2，張建雄1，龐明寶2

(1. 天津大學管理與經(jīng)濟學部，天津 300072；2. 河北工業(yè)大學土木工程學院，天津 300401)

針對2個不同節(jié)點和不同拓撲結構的時滯復雜動態(tài)網(wǎng)絡，研究2個網(wǎng)絡之間的廣義同步問題.基于驅動-響應同步策略，對其中的一個網(wǎng)絡施加控制，運用連續(xù)系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析方法，得到相應的廣義同步判據(jù).以某產(chǎn)品的生產(chǎn)者和該產(chǎn)品的消費者作為2個網(wǎng)絡的動態(tài)節(jié)點，驗證方法有效性.結果表明，通過設計滿足廣義同步判據(jù)的控制器，可以實現(xiàn)2個不同網(wǎng)絡之間的廣義同步.

復雜網(wǎng)絡；時滯；廣義同步；驅動-響應同步

現(xiàn)實世界中的許多系統(tǒng)可用復雜網(wǎng)絡來描述，典型的例子如因特網(wǎng)、交通網(wǎng)絡、電力網(wǎng)絡以及細胞和新陳代謝網(wǎng)絡等．由此，復雜網(wǎng)絡理論研究逐漸吸引眾多學者的關注[1-3]．復雜網(wǎng)絡的動力學理論，可以有助于解釋網(wǎng)絡行為之間的邏輯因果關系．而復雜網(wǎng)絡的同步現(xiàn)象的相關研究，作為復雜網(wǎng)絡理論的關注熱點和前沿分支，可為解釋網(wǎng)絡中的復雜動力學行為奠定理論基礎．已有的關于復雜網(wǎng)絡同步的研究主要探討單個復雜網(wǎng)絡的同步問題，即網(wǎng)絡內部所有節(jié)點的動力學行為趨于一致，其目的是研究單個網(wǎng)絡的整體行為表現(xiàn)[4-8]．然而，在現(xiàn)實生活中存在各種各樣的復雜網(wǎng)絡，它們彼此相互影響、相互制約．因此，研究不同網(wǎng)絡之間的動力學行為特性(如同步現(xiàn)象)有重要的現(xiàn)實意義．例如，在供應鏈網(wǎng)絡中，生產(chǎn)商、批發(fā)商和零售商之間相互影響，平衡生產(chǎn)商、批發(fā)商和零售商之間的利益關系對于維持整個供應鏈網(wǎng)絡的正常運作十分重要．針對不同網(wǎng)絡之間的同步問題的研究，以往的研究主要集中在探討其完全同步問題．例如，Li等[9]對于2個具有相同拓撲結構的網(wǎng)絡，提出2個單向耦合的網(wǎng)絡同步判據(jù)；Tang等[10]利用自適應控制方法，分析復雜網(wǎng)絡的完全同步問題．事實上，盡管不同網(wǎng)絡的節(jié)點通常有不同的動力學行為(如參數(shù)不匹配或結構性差異)，但是這2個網(wǎng)絡依然有可能表現(xiàn)出某種同步行為．這類同步稱為廣義同步[11]，它衡量了網(wǎng)絡系統(tǒng)中各個節(jié)點行為的一致性程度．以生態(tài)網(wǎng)絡中的捕食者網(wǎng)絡和獵物網(wǎng)絡為例，即便捕食者和獵物擁有不同的行為特性(甚至在同一網(wǎng)絡中的每個個體行為都有很大差異)，兩者最終會達到某種相似的狀態(tài)．筆者針對2個不同耦合的時滯復雜網(wǎng)絡，對不同網(wǎng)絡之間廣義同步問題進行論證．

1 模型描述

考慮一個由N個不同的節(jié)點構成的連續(xù)時間耗散耦合的時滯動態(tài)網(wǎng)絡，它的第i個節(jié)點的狀態(tài)方程為

式中：xi(t )為狀態(tài)向量，xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…, xin(t))T∈Rn；fi:Rn→Rn是一個光滑的向量值函數(shù)；Γ1為內部耦合矩陣，Γ1∈Rn×n；τj為耦合時滯，表示從節(jié)點j將信息傳輸給其他節(jié)點的時間延遲；cij為耦合結構矩陣C的元素，C=(cij)N×N∈RN×N，cij定義為若從節(jié)點i到節(jié)點j( j≠i)有連接，則cij＞0，否則

考慮另一個復雜動態(tài)網(wǎng)絡，其第i個節(jié)點的狀態(tài)方程為

式中：yi(t)為狀態(tài)向量，yi(t)=(yi1(t),yi2(t),…,是一個光滑的向量值函數(shù)；Γ為內部耦合矩陣，Γ∈Rm×m；h(j=1,2,…,N)22j為耦合時滯；dij為耦合結構矩陣D的元素，D= (dij)N×N∈RN×N，它和矩陣C有相同的定義．眾所周知，許多系統(tǒng)如Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、R?ssler系統(tǒng)、Chua電路、超混沌R?ssler系統(tǒng)、超混沌Chen和Lü系統(tǒng)等等，均可以表示成

式中：A為系統(tǒng)在原點處的雅可比矩陣，A∈Rm×m；g( y)為非線性部分．

通常而言，函數(shù)gi(·)是全局Lipschitz連續(xù)的，即對于函數(shù)gi(·)，存在常數(shù)li，使得對任意的

因此，不失一般性，可以將施加控制后的響應網(wǎng)絡式(2)表示為

式中ui(t)為控制輸入．

2 廣義同步

文中采用驅動——響應同步控制策略研究2個網(wǎng)絡之間的廣義同步問題．為此，分別將網(wǎng)絡式(1)和式(2)設定為驅動網(wǎng)絡和響應網(wǎng)絡，關于2個網(wǎng)絡之間的廣義同步有如下定義．

定義1 設φi:Rn→Rm, i=1,2,…,N ，是連續(xù)可微的映射．若，則稱網(wǎng)絡式(1)和式(2)實現(xiàn)了廣義同步．

定理1 設計如下的控制律，可以實現(xiàn)網(wǎng)絡式(1)和式(2)的廣義同步．

式中：Dφi(xi)為映射φi(xi)的雅可比矩陣；ei=yi-φi(xi)表示網(wǎng)絡式(1)和式(2)第i個對應節(jié)點的廣義同步誤差；k為反饋增益．

證明 在控制器式(4)的作用下，網(wǎng)絡式(1)和式(2)之間的誤差系統(tǒng)可以描述為

2矩陣的Kronecker積．

將V( t)沿誤差方程(5)的狀態(tài)軌跡對t求全導數(shù)，可得

從而e(t)在[0,+∞]上平方可積．因此，根據(jù)Barbalat引理[12]可知，，即網(wǎng)絡式(1)和式(2)實現(xiàn)了廣義同步．

以上說明在定理1中，并沒有假設耦合結構矩陣C和D為對稱的或不可約的．也就是說，網(wǎng)絡式(1)和式(2)可以是有向網(wǎng)絡，也可以是無向網(wǎng)絡，甚至可以是包含孤立節(jié)點或聚類的網(wǎng)絡．另外，對內部耦合矩陣Γ1和Γ2也沒有強加任何約束．此外，每個節(jié)點可以有不同的動力學特性，上述模型代表了一類廣泛的復雜動力學網(wǎng)絡．

推論1如果網(wǎng)絡式(1)和式(2)具有相同的拓撲結構以及內部耦合矩陣，那么設計如下的控制器，網(wǎng)絡式(1)和式(2)可以實現(xiàn)完全同步．

推論2如果網(wǎng)絡式(1)和式(2)的對應節(jié)點有相同的動力學特性，即fi=Gi, i=1,2,…,N ，那么設計如下的控制器，這2個網(wǎng)絡可以實現(xiàn)完全同步．

文獻[10]運用了自適應控制方法，在對應節(jié)點有相同的動力學特性的情況下，研究了2個時滯復雜網(wǎng)絡的完全外同步．對于尺寸為M的2個網(wǎng)絡，根據(jù)文獻[10]的方法，需要用M2+M個自適應控制器來實現(xiàn)同步，這極大地增加了控制成本．而根據(jù)推論2，只需要M個線性控制器就能實現(xiàn)同步，這在實際應用中更容易實現(xiàn)．

特別地，如果網(wǎng)絡式(1)和式(2)有相同的拓撲結構和內部耦合矩陣，則控制器(8)可以進一步簡化為ui=-kei, i=1,2,…,N ，就能實現(xiàn)2個網(wǎng)絡的完全同步.針對同樣的問題，文獻[9]在fi=Gi=f, i =1, 2,…,N的假設條件下，僅得到了局部同步判據(jù)，這也說明本文的方法有較小的保守性．

3 數(shù)值算例

由于網(wǎng)絡系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象，如庫存管理網(wǎng)絡系統(tǒng)或交通網(wǎng)絡系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象，已被許多模型證實，混沌系統(tǒng)作為網(wǎng)絡節(jié)點，較好反映網(wǎng)絡的復雜性．以供應鏈網(wǎng)絡為例，為保證其穩(wěn)定發(fā)展，生產(chǎn)者和消費者之間需要保持某種平衡．

假設生產(chǎn)商生產(chǎn)該產(chǎn)品的狀態(tài)方程為超混沌Lü系統(tǒng)[13]，其動力學方程為

式中：x1表示該產(chǎn)品的產(chǎn)量；x2表示該產(chǎn)品的質量；x3表示該產(chǎn)品的價格；x4表示該產(chǎn)品提供的服務．

消費者關于該產(chǎn)品的狀態(tài)方程為統(tǒng)一混沌系統(tǒng)[14]，其動力學方程為

式中：y1表示顧客對該產(chǎn)品的期望值；y2表示顧客對該產(chǎn)品的滿意度；y3表示顧客對該產(chǎn)品的需求量；θ∈[0,1]．

式(9)中給定a=36，b=3，c=20，當-1.03≤d≤-0.46時，系統(tǒng)(10)存在一個周期軌道；當-0.46＜d≤-0.35時，系統(tǒng)(10)存在一個混沌吸引子；當-0.35＜d≤1.30時，系統(tǒng)(10)存在一個超混沌吸引子．

分別選取系統(tǒng)(9)和系統(tǒng)(10)作為驅動網(wǎng)絡和響應網(wǎng)絡的節(jié)點，論證本文提及的廣義同步判據(jù)方法的有效性．此時，定理1的控制器就相當于企業(yè)根據(jù)市場調查的結果反饋制定生產(chǎn)決策，即通過調查得到的xi(i=1,2,3,4)來調整其狀態(tài)yj(j=1,2,3)．

假設消費者對該產(chǎn)品的期望值、滿意度以及需求量和產(chǎn)品本身的產(chǎn)量、質量、價格以及服務滿足關系(即廣義同步映射)

則

2個網(wǎng)絡具有不同耦合結構：驅動網(wǎng)絡是一個無向星形網(wǎng)絡，響應網(wǎng)絡是一個有向環(huán)形網(wǎng)絡，如圖1所示．

圖1 2個網(wǎng)絡的拓撲結構Fig.1 Topological structures of two networks

設定網(wǎng)絡的尺寸為M=50，Γ1和Γ2均取為具有適當維數(shù)的單位矩陣．設置驅動網(wǎng)絡中第i個節(jié)點的參數(shù)為θ=|sini2|，響應網(wǎng)絡中第i個節(jié)點的參數(shù)為．于是d的值從-1.0變化到1.3，即這些節(jié)點的動力學分別從周期軌道變化到超混沌吸引子．

圖2 誤差e(t)的時間響應Fig.2 Time response of the error e(t)

4 結 語

本文針對不同動力學節(jié)點和不同拓撲結構的情況，研究2個時滯動態(tài)復雜網(wǎng)絡廣義同步問題．基于驅動-響應同步策略，對其中一個網(wǎng)絡施加控制，運用連續(xù)系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性的分析方法，得到相應的廣義同步判據(jù)．在此基礎上，以某產(chǎn)品的生產(chǎn)商和該產(chǎn)品的消費者作為2個網(wǎng)絡動態(tài)節(jié)點，驗證了所提方法的有效性．結果顯示，通過設計有效控制器，可實現(xiàn)不同復雜網(wǎng)絡之間廣義同步．所得結果可用于指導實際網(wǎng)絡的平衡發(fā)展，如供應鏈網(wǎng)絡、能源供求網(wǎng)絡、交通網(wǎng)絡等．對于多個網(wǎng)絡的廣義同步問題以及應用有待后續(xù)研究．

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(責任編輯：孫立華)

Generalized Synchronization Between Two Different Complex Delayed Networks

Xu Junqun1,2，Zhang Jianxiong1，Pang Mingbao2
(1. College of Management and Economics，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Civil Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China)

The problem of generalized synchronization between two different networks was investigated，and these two networks consist of different nodes and different topological structures. Based on the drive-response strategy，the corresponding synchronization criterion was given via the Lyapunov stability scheme. A numerical example was cited to show the effectiveness of the proposed method. In the numerical example，the producer and the consumer were adopted in the driven network and the response network，respectively. It is shown that these two networks can achieve the generalized synchronization when the designed controller satisf i es the proposed criterion.

complex network；time-delay；generalized synchronization；drive-response synchronization

N941.3

A

0493-2137(2014)01-0081-05

10.11784/tdxbz201207015

2012-07-04；

2012-09-12.

國家自然科學基金資助項目(61004015)；河北省自然科學基金資助項目(E2011202073).

徐君群（1983— ），男，博士研究生.

徐君群，xujunqun@tju.edu.cn.