電磁層析成像系統(tǒng)中標量磁勢的數(shù)值解法

趙 倩，郝建娜，尹武良

(天津大學電氣與自動化工程學院，天津 300072)

電磁層析成像系統(tǒng)中標量磁勢的數(shù)值解法

趙 倩，郝建娜，尹武良

(天津大學電氣與自動化工程學院，天津 300072)

電磁層析成像技術是一種基于電磁感應定律的工業(yè)過程成像技術，激勵線圈產(chǎn)生的交變磁場在目標物體中產(chǎn)生渦流，進而產(chǎn)生二次磁場．接收線圈檢測到感應電壓后利用重建算法可以得到物場的分布信息．邊界元法以積分方程為數(shù)學基礎，同時采用了與有限元法相似的劃分單元離散技術，將邊界積分方程離散為代數(shù)方程組后用數(shù)值方法求解．邊界元法在電磁層析成像技術中已有一定的應用，而基于標量磁勢的邊界元法使得求解過程的速度和效率顯著提高．本文針對一個簡化的電磁層析成像系統(tǒng)模型，利用3種數(shù)值方法求解目標物體表面的標量磁勢，并利用Matlab編程得到仿真結果．對結果進行對比分析后，選出最優(yōu)解法．

電磁層析成像；邊界元法；標量磁勢；數(shù)值仿真

電磁層析成像(electromagnetic tomography，EMT)技術是20世紀90年代發(fā)展起來的一種新型電學層析成像(electrical tomography，ET)技術，EMT技術基于電磁感應原理，載流線圈在目標物體中產(chǎn)生渦流，進而激勵出二次磁場，這樣接收線圈可以測量到感應電壓．最后采用一定的圖像重建算法得到被測場域內的分布信息．它具有非接觸、非侵入、響應快速、信息量豐富等特點，因而在工業(yè)生產(chǎn)過程和生物醫(yī)學領域都有著廣泛的應用前景[1-7]．

邊界元法(boundary element method，BEM)具有邊界積分方程的深厚的數(shù)學根基．它以邊界積分方程為數(shù)學基礎，通過單元離散技術將邊界離散為邊界元，將邊界積分方程離散為代數(shù)方程組．再用數(shù)值方法求解代數(shù)方程組，從而得到原問題邊界積分方程的解．邊界元法的優(yōu)點為可以降低求解問題的維數(shù)，提高了求解效率，并且由于求解過程中采用了解析基本解，所以具有更高的精度[8-14]．

BEM在EMT中的應用已經(jīng)有了許多的研究[15].在邊界元法求解電磁問題的過程中，標量磁勢作為基本變量具有重要意義．在求解外部磁場分布之前，需要先求出目標物體表面的標量磁勢，以此為基礎再進行后續(xù)計算．目前對于標量磁勢的求解方法一般表示為對要求點處求立體角[16]，該方法同樣涉及如何求解積分的問題．對于復雜不規(guī)則物體，快速多極算法是一種快速有效的計算方法[17]．但是該算法的步驟較為繁瑣，對于一些簡單問題反倒不適用．

筆者通過建立一個簡單的EMT系統(tǒng)模型，推導出標量磁勢的最終表達式．通過3種不同的數(shù)值方法——曲面積分定義法、高斯-勒讓德積分公式法和積分坐標變換法，分別仿真得到不同的結果．對這些數(shù)據(jù)進行分析可以得出，在保證其他條件不變和相同求解精度的前提下，高斯-勒讓德積分公式法是最簡單快速的方法．

1 建立模型并推導公式

假設一個簡單的EMT系統(tǒng)，只含有1個激勵線圈和1個接收線圈．激勵線圈和接收線圈的中心分別位于(0，0，4,m)和(0，0，-4,m)處，半徑均為1,m．目標球體為一般金屬，中心位于原點，半徑為1,m．

對于恒定磁場，由磁場環(huán)路定理可得

式中L為曲面S的邊界．這種情況下如果想引入標量磁勢，其前提條件是，對于求解區(qū)域內的任何閉合回路，都有

根據(jù)上面推導出的公式，這里采用了3種方法來求解球體表面離散點處的標量磁勢．之后利用Matlab仿真，對這3種方法的求解速度和所得數(shù)據(jù)精度進行了分析對比．

圖1 一個簡單的EMT系統(tǒng)Fig.1 A simple EMT system

在實際應用中，對于單連通，不存在自由電流的區(qū)域，全區(qū)域皆可以引入標量磁勢描述磁場．如果區(qū)域中存在自由電流，則挖去電流及電流線圍著的一個曲面S，剩余空間里磁場是無旋的[18-19]，可以假設為標量磁勢，A．

圖1所示的EMT系統(tǒng)中，載流線圈在物體表面產(chǎn)生的磁場可由畢奧-薩伐兒定理求出[19]，即

式中：上標pr表示外部激勵產(chǎn)生的場量；B為磁感應強度；r=r1-r2，r1為球面上的點到原點的矢徑，r2為激勵線圈所圍平面上的點到原點的矢徑．

式中：S為由激勵線圈L圍成的平面；n0為S的單位法向量．

對場域中的球體表面進行三角形網(wǎng)格劃分，如圖2所示，可以得到38個離散點和72個網(wǎng)格．劃分時，縱軸z的范圍為1,m到-1,m，每隔0.2,m取一組，對應11個不同的z值．在每個z確定的圓上，角度范圍為0到2π，間隔為π/2．

圖2 EMT系統(tǒng)中球體表面的網(wǎng)格劃分Fig.2 Mesh of the target surface in the EMT system

若激勵線圈上載有單位電流，即I=| I |=1,A，則球體表面由外加磁場產(chǎn)生的標量磁勢為

2 Matlab數(shù)值仿真

2.1 由曲面積分的定義求解(方法1)

由曲面積分的定義可得[20]，通過將積分區(qū)域劃分成正方形網(wǎng)格，可將積分離散化，有

式中：iSΔ為第i個正方形網(wǎng)格的面積；2ir為激勵線圈所圍平面上的點到原點的矢徑．在式(6)中，積分平面為激勵線圈所包圍的圓面，將該平面分成N個小正方形，r2i為矢徑取第i個正方形的中心到原點的矢徑．首先對r2i的位置進行判斷，若是在圓內則將其帶入積分公式；若在圓外，則其對積分的作用為0；再將所有的積分進行求和，最終得到在球體表面每個離散點處的標量磁勢．

由仿真結果可得，隨著劃分網(wǎng)格數(shù)目的增多，積分結果成收斂趨勢．當網(wǎng)格數(shù)為6,400時，積分基本不再變，計算時間為t=0.556,122,s．38個離散點對應11個z值，通過仿真可知，每個z值相同的點具有相等的標量磁勢，故可用11個不同z值上的標量磁勢來表示所有離散點處的標量磁勢．

表1 方法1得到的標量磁勢Tab.1 Magnetic scalar potential obtained by the first method

以表1第1行為例，可以畫出隨著網(wǎng)格數(shù)增加標量磁勢逐漸收斂的仿真圖形，如圖3所示．

由于每個確定的z值對應的圓上的4個點處具有相同的標量磁勢，所以下面的表格中可以只列出不同z值處的標量磁勢．圖4為x=0處的球體切面上的等勢線，可以看出，球體從上往下標量磁勢逐漸減小，并且在每個確定z值處具有相同的標量磁勢．

圖3 隨著網(wǎng)格數(shù)標量磁勢數(shù)值逐漸收斂Fig.3Convergence of the magnetic scalar potential as the increase of mesh

圖4 x=0處的切面上等勢線分布Fig.4 Isopotential lines on the section where x=0

2.2 利用N段高斯-勒讓德積分公式來求解(方法2)

首先將面積分轉換成二重積分[21]為

則原積分可以簡寫為

積分變量θ和r′分別表示角度和半徑，積分函數(shù)為

對積分區(qū)間進行標準化得

變換方程為

則

式中：n為節(jié)點數(shù)；k為插值節(jié)點數(shù)；Ai和Aj(i，j=1，2，…，R)均為系數(shù)矩陣A中第i個和第j個值．具體的節(jié)點和對應的系數(shù)矩陣如表2所示．為了使精度更高，在這里先將積分區(qū)域劃分為N段小區(qū)域，然后在每段小區(qū)域上進行插值積分運算．運行程序得到的結果表明，當N=2，即分成2段，然后進行5點插值可得高精度的解，用時為t=0.109,799,s．

表2 高斯-勒讓德積分公式的節(jié)點及系數(shù)矩陣Tab.2 Nodes and coefficient matrices of Gaussian-Legendre integral formula

由表3可知，對于N(N=1，2，4)段積分公式而言，所求得的標量磁勢基本與N無關．只有在z=0時，不同N對應的求解結果才有細微差別．故可知，利用N段高斯-勒讓德積分公式來求解標量磁勢時，段數(shù)N對結果精度的影響甚微，從而為了節(jié)約計算時間，可以直接使用1段5點積分公式來求解．

表3 方法2得到的標量磁勢Tab.3 Magnetic scalar potential obtained by the second method

2.3 利用積分坐標變換法來求解(方法3)

這種方法首先將積分平面劃分為三角形網(wǎng)格，然后利用坐標系轉換得到的積分公式來求解[22-24]．

劃分網(wǎng)格時，先將圓面上的點進行離散，然后按照逆時針順序將點依次連接為三角形．根據(jù)其中心點的位置，可以判斷出三角形是否在圓內．為了方便求解，在這里將全局坐標系轉換為局部坐標系．對每個網(wǎng)格而言，新坐標系平行于該網(wǎng)格所在的平面，并且以其中的一邊為其橫坐標．坐標系的各參數(shù)項如圖5所示．

圖5 局部坐標系與全局坐標系的關系及局部坐標系中的參數(shù)Fig.5 Relationship between the local coordinate system and the global coordinate system and the parameters of the local coordinate system

采用與文獻[22]中類似的參數(shù)和函數(shù)，這里以一個三角形網(wǎng)格為例．

V1、V2和V3為第e個三角形網(wǎng)格eΓ的3個頂點．iS?為eΓ的第i條邊．li、si和mi(i=1，2，3)分別是iS?的長度、單位切向量和單位法向量．則局部坐標系可以定義為

根據(jù)以上所列參數(shù)，則原積分可化為

其中n0=(0,0,1)，ξ′=0．故有

式中Ne為三角形網(wǎng)格的個數(shù)．

由文獻[22]可得eΓ上的積分為

數(shù)值計算表明，當網(wǎng)格數(shù)為12,800時，標量磁勢可以收斂，但用時較長，t=157.126,357,s．

表4 方法3得到的標量磁勢Tab.4 Magnetic scalar potential obtained by the third method

2.4 利用Matlab進行數(shù)據(jù)對比分析

利用Matlab軟件對3種方法得到的數(shù)據(jù)進行分析，如圖6所示．

從圖6可以看出，3種方法得到的數(shù)值解具有很好的一致性，即3種方法都可以得到精確的解，從程序運行時間上看，高斯-勒讓德積分公式用時最短，t=0.109,799,s，積分坐標變換法用時最長，t= 157.126,357,s．

圖6 3種方法得到的數(shù)據(jù)曲線Fig.6 Results obtained by the three methods

3 結 語

快速求解標量磁勢為后續(xù)計算磁場分布提供了良好基礎．本文采用了3種數(shù)值方法來求解物體表面的標量磁勢，通過以上計算可以看出，以上3種方法都能有效求解目標物體表面的標量磁勢．若綜合考慮的話，高斯-勒讓德積分公式是最好的計算方法，不僅精度高，而且速度快．

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(責任編輯：孫立華)

Numerical Approach for the Magnetic Scalar Potential of Electromagnetic Tomography System

Zhao Qian，Hao Jianna，Yin Wuliang
(School of Electrical Engineering and Automation，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

Electromagnetic tomography (EMT) is an industrial process tomography based on the Faraday law of electromagnetic induction. In EMT, current-carrying coils are used to induce eddy currents in the object which in turn radiates a scattered field. The induced voltages are sensed with receiving coils and image reconstruction algorithms are used to solve for the spatial distribution of the complex conductivity in the target. Boundary element method (BEM) based on integral formulations is an effective way to analyze the problems of EMT system. By adopting the similar mesh technique as FEM, the boundary integral equations can be transformed into linear equations. Then numerical method is used to solve the linear equations and the solution of the original integral equations can be obtained. The magnetic scalar potential was the important part of the application of BEM into EMT which improves efficiency and speed. Three numerical approaches were used to calculate the magnetic scalar potential on the surface of the target for a simple EMT model. With the aid of Matlab, the optimal method was chosen by comparing the results obtained by the three methods.

electromagnetic tomography；boundary element method；magnetic scalar potential；numerical simulation

O241.8

A

0493-2137(2014)07-0613-06

10.11784/tdxbz201210003

2012-10-06；

2013-01-23.

國家自然科學基金國際重大合作資助項目(60910001)；教育部博士點基金資助項目(20090032110062).

趙 倩（1987— ），女，博士研究生，shmilyshenzhen@163.com.

尹武良，wuliang.yin@gmail.com.