基于全相位窄帶濾波的超分辨率時(shí)延估計(jì)

閆 格，黃翔東，劉開華

基于全相位窄帶濾波的超分辨率時(shí)延估計(jì)

閆 格，黃翔東，劉開華

(天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300072)

為提高超分辨率時(shí)延估計(jì)的抗噪性能，提出了基于全相位窄帶濾波的超分辨率時(shí)延估計(jì)算法．在陷波器設(shè)計(jì)方法基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出中心頻點(diǎn)可精確控制的具有類點(diǎn)通傳輸特性的窄帶濾波器，然后用該濾波器對存在時(shí)延關(guān)系的兩路采樣序列進(jìn)行濾波處理，再依照傳統(tǒng)相位差時(shí)延估計(jì)法，即可獲得高精度時(shí)延估計(jì)．仿真實(shí)驗(yàn)表明：相比于基于信號重心插值的超分辨率時(shí)延估計(jì)法，該方法信噪比范圍要高出10,dB，具有廣闊的工程應(yīng)用前景．

時(shí)延估計(jì)；窄帶濾波器；全相位；超分辨率

對于“超分辨率”時(shí)延估計(jì)問題，由于對時(shí)延的“分辨力”的界定不同，目前學(xué)術(shù)界對超分辨率時(shí)延估計(jì)問題存在兩種理解，兩者都是從兩路信號的互相關(guān)函數(shù)的區(qū)分能力出發(fā)[1-2]．第1種理解是針對寬帶信號而言，把時(shí)延估計(jì)的分辨率與信號帶寬B聯(lián)系在一起，如在文獻(xiàn)[3-4]中，認(rèn)為時(shí)延估計(jì)分辨力的極限為帶寬B的倒數(shù)，也就是說，互相關(guān)函數(shù)無法區(qū)分相對時(shí)延小于1/B的兩路信號，這類超分辨率時(shí)延估計(jì)已有國內(nèi)外學(xué)者做了大量研究[5-6]；第2種理解是針對窄帶信號而言，把時(shí)延估計(jì)的分辨力與采樣速率fs聯(lián)系在一起，認(rèn)為時(shí)延估計(jì)的分辨力的極限是采樣間隔Ts=1/fs，也就是說，互相關(guān)函數(shù)無法區(qū)分相對時(shí)延小于Ts=1/fs的兩路信號，目前這類超分辨率時(shí)延估計(jì)主要以時(shí)域內(nèi)插法為主(如文獻(xiàn)[7]提出的Lagrange內(nèi)插，文獻(xiàn)[8]提出的ASDF內(nèi)插，文獻(xiàn)[9]提出的基于信號重心估計(jì)的ASDF內(nèi)插等)，然而這類超分辨率時(shí)延估計(jì)法雖然可獲得亞采樣間隔(subsample)的估計(jì)精度，但由于是在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行估計(jì)，故抗噪性能差，不適合于低信噪比情況．從定量角度來看，第2種超分辨率時(shí)延估計(jì)要求高更些(如對于第1種情況，文獻(xiàn)[3]的仿真實(shí)驗(yàn)中設(shè)定的時(shí)延間隔仍為Ts的整數(shù)倍，而第2種情況文獻(xiàn)[9]中設(shè)定的時(shí)延間隔則為Ts的小數(shù)倍)，本文討論的是第2種情況．

對于兩路窄帶信號，為實(shí)現(xiàn)超出一個(gè)采樣間隔的時(shí)延估計(jì)分辨率，文獻(xiàn)[9]提出了結(jié)合重心與均方差函數(shù)內(nèi)插的估計(jì)方法，該方法先求出第1路信號的重心位置，然后計(jì)算第1路信號與延遲整數(shù)倍采樣間隔后的第2路信號的均方誤差，取出最小均方誤差對應(yīng)的整數(shù)倍時(shí)延，代入固定的內(nèi)插公式而算出真正時(shí)延．然而文獻(xiàn)[9]的實(shí)驗(yàn)表明，該方法在高信噪比時(shí)具有很高的精度；但在信噪比小于15,dB時(shí)，會出現(xiàn)較大的時(shí)延估計(jì)誤差．

利用兩路信號的相位差信息求時(shí)延，也是超分辨率時(shí)延估計(jì)的一個(gè)重要途徑[10-11]．眾所周知，相位對噪聲具有敏感性，因而直接采用相位差方法同樣難以適用于信噪比較低的場合．然而噪聲能量分布是寬頻段的，而信號能量分布是窄帶的，如果可以設(shè)計(jì)出恰好能提取信號主要成分的窄帶數(shù)字濾波器，則可把噪聲的影響大大降低，也為超分辨率時(shí)延估計(jì)的提供可能．?dāng)?shù)字濾波器可分為無限沖激響應(yīng)(infinite impulse response，IIR)濾波器和有限沖激響應(yīng)(finite impulse response，F(xiàn)IR)濾波器兩種，但是IIR濾波不具有線性相位特性，而且會破壞信號的時(shí)延關(guān)系，故只宜采用FIR濾波器．如何設(shè)計(jì)中心頻點(diǎn)可任意控制的窄帶FIR濾波器是超分辨率時(shí)延估計(jì)的關(guān)鍵，文獻(xiàn)[12-13]中設(shè)計(jì)了全相位FIR陷波器，解決了窄帶濾波器的中心頻點(diǎn)精確控制問題，本文在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出具有類點(diǎn)通傳輸特性的窄帶濾波器，基于此在頻域中計(jì)算兩路信號相位差，不僅取得了很好的超分辨率時(shí)延估計(jì)效果，而且提高了抗噪性能．

1 問題描述

設(shè)y1(t)和y2(t)分別為兩路具有時(shí)延的信號，且有

式中：s(t)為發(fā)射信號；K為幅度衰減因子；n(t)和m(t)為加性干擾信號；D為要估計(jì)的時(shí)延量．

顯然，式(1)中的時(shí)延量D是指群延時(shí)．若不考慮噪聲，令所關(guān)心的頻率為f，對x1(t)和x2(t)進(jìn)行理想傅里葉變換(分別為X1(2,πf)和X2(2,πf))，根據(jù)傅里葉變換的時(shí)移與相移的關(guān)系，有

令傅里葉變換X1(2πf )與X2(2πf )的相位譜為φ1(f )與φ2(f )，則有

從而有

因而只要求出某頻點(diǎn)f上兩路信號的相位譜差值，由式(4)就可以很容易地求出時(shí)延估計(jì)．需指出的是，由于基于相位差做時(shí)延估計(jì)，故要求式(4)的時(shí)延估計(jì)值D小于信號周期，否則會出現(xiàn)相位整周模糊問題，從而引入測相的不確定性．

然而信號采樣后，在存在噪聲的場合，直接做FFT按照式(4)求出的相位差變得不準(zhǔn)確．對信號做窄帶濾波處理后，會改善相位差測量的方差，因而窄帶濾波是關(guān)鍵．

2 全相位窄帶類點(diǎn)通FIR濾波器設(shè)計(jì)

文獻(xiàn)[12-13]中解決了中心頻點(diǎn)可精確控制的全相位FIR陷波器設(shè)計(jì)問題．假設(shè)濾波器階數(shù)為N(最終全相位FIR濾波器長度為2,N-1)[12-13]，文獻(xiàn)[12]指出，只需代入式(5)所示的解析公式，即可設(shè)計(jì)出數(shù)字中心頻率為ω0處的陷波器，即

式中：wc(n)為卷積窗(由矩形窗與另一對稱窗卷積而成[1-2])；m為整數(shù)，代表中心頻點(diǎn)的粗略位置；λ為中心頻點(diǎn)的精確位置．

用全通濾波器系數(shù)δ(n)減去g(n)，即可得到與陷波器互補(bǔ)的具有類點(diǎn)通特征的窄帶濾波器系數(shù)h(n)，即

例1 令N=32，m=2，λ=0.4，分別代入式(5)和式(6)，可得陷波器系數(shù)g(n)和類點(diǎn)通濾波器系數(shù)h(n)，分別求其幅頻響應(yīng)，得到其幅頻曲線|G(ω)|和|H(ω)|如圖1和圖2所示.

圖1 陷波器幅頻曲線Fig.1 Amplitude-frequency curve of notching filter

圖2 類點(diǎn)通濾波器幅頻曲線Fig.2 Amplitude-frequency curve of similar point-pass filter

從圖1和圖2可以看出，陷波器和類點(diǎn)通濾波器的中心頻點(diǎn)被精確地設(shè)定在ω0=(m+λ)Δω= 2.4Δω的位置；而類點(diǎn)通濾波器則可以用來獲得單頻成分的信號輸出，在時(shí)延估計(jì)中有很大作用．

3 類點(diǎn)通濾波器對含噪信號的影響

3.1 類點(diǎn)通濾波器的濾波效果

例2 比較余弦波s1(t)=cos(2,πf0,t+θ0)與s2(t)=s1(t-D)=cos(2,πf0(t-D)+θ0)的不含噪采樣情況、含噪情況及其類點(diǎn)通濾波后的波形(θ0=50°，f0=2.4,Hz，采樣速率fs=32,Hz，故采樣間隔Ts=1/fs= 1/32 s，時(shí)延量D=3.2,Ts)．

不含噪情況的采樣波形s1(n)、s2(n)波形描繪如圖3(a)所示，可以看出，s1(n)、s2(n)的樣點(diǎn)分布可以反映出恒定時(shí)延．

對余弦序列s1(n)、s2(n)，加入方差為1的隨機(jī)噪聲ξ(n)，則其信噪比SNR=10,lg(1/2)=-3,dB，從而得到含噪序列y1(n)=s1(n)+ξ(n)，y2(n)= s2(n)+ξ(n)，波形如圖3(b)所示．可以看出，由于噪聲干擾，y1(n)、y2(n)的樣點(diǎn)分布無法反映恒定時(shí)延．

令N=32，m=2，λ=0.4，代入式(6)獲得類點(diǎn)通FIR濾波器系數(shù)，再分別對含噪序列y1(n)、y2(n)進(jìn)行濾波，其濾波輸出s′1(n)、s′2(n)如圖3(c)所示．可以看出，除輕微的幅度失真外，恢復(fù)的波形s′1(n)、s′2(n)基本與無噪波形s1(n)、s2(n)樣點(diǎn)分布一致，能反映出恒定時(shí)延．

以上仿真實(shí)驗(yàn)說明，若確知中心頻率，依據(jù)式(6)即可獲得設(shè)計(jì)出類點(diǎn)通濾波器，再對含噪信號濾波后，可以恢復(fù)易于提取時(shí)延信息的信號，在此基礎(chǔ)上再做時(shí)延估計(jì)，有望獲得很高的估計(jì)精度．

3.2 類點(diǎn)通濾波器對相位差估計(jì)的影響

將例2中圖3的各序列分別作FFT，取其模值可得如圖4所示的振幅譜，取其兩路相位譜再求差值后，可得如圖5所示的相位差譜．

圖3 不同情況下兩時(shí)延序列的樣點(diǎn)分布Fig.3Distrbution of two secquences with delay relationship in different cases

從圖4(b)的振幅譜可以看出，由于噪聲干擾，其振幅譜與相位差譜與無噪聲情況差別很大；而從圖4(c)的振幅譜可以看出，經(jīng)過類點(diǎn)通濾波后，其振幅譜基本恢復(fù)，而相位差譜僅與濾波前存在細(xì)微差別．

觀察主譜線位置k=m=2處的相位差值Δφ12(2)，由于相位差為頻率對時(shí)間的累積，理想情況下兩路信號的相位差是Δφ12=2,πf0D=2,π×2.4×(3.2×1/32)= 1.508,rad=86.4°．因所取階數(shù)N=32較小，且余弦信號存在兩個(gè)邊帶而相互影響，圖5(a)的相位差值Δφ12(2)=93.4°，而由于噪聲干擾影響，圖5(b)的相位差值Δφ12(2)=73.6°，存在較大偏差，經(jīng)類點(diǎn)通濾波后，圖5(c)的相位差值Δφ12(2)=95.3°，偏差大大減小．可見，經(jīng)過類點(diǎn)通濾波后，相位差值估計(jì)更為準(zhǔn)確．

圖4 不同情況下振幅譜的比較Fig.4 Comparison of amplitude spectra in different cases

圖5 不同情況下相位差譜的比較Fig.5 Comparison of phase-difference spectra in differentcases

為衡量類點(diǎn)通濾波對相位差測量的穩(wěn)定性，在不同信噪比下分別進(jìn)行1,000次蒙特卡洛模擬，將所測得的相位差的方差做統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如表1所示．從表1可以看出，在不同噪聲干擾強(qiáng)度下，類點(diǎn)通濾波后的相位差統(tǒng)計(jì)方差都比直接相位差測量小得多(最小情況時(shí)SNR=-2,dB，僅約為濾波前的1/3)．

表1中的數(shù)值表明，引入全相位窄帶濾波器后，可以大大提高相位差估計(jì)性能，再依據(jù)

就可得到時(shí)延估計(jì)．窄帶濾波的引入提高了相位差的估計(jì)精度，故有望提高時(shí)延估計(jì)精度．

表1 不同信噪比下的相位差統(tǒng)計(jì)方差Tab.1 Statistical variance of phase-difference with SNR

4 基于全相位窄帶濾波的時(shí)延估計(jì)算法

基于以上全相位窄帶類點(diǎn)通濾波對相位差的分析，本文提出如圖6所示的時(shí)延估計(jì)算法．

圖6中，需將中心數(shù)字角頻率ω0值代入式(6)得到全相位類點(diǎn)通濾波器系數(shù)h(n)，用該濾波器分別對兩路含噪信號進(jìn)行濾波，再對其輸出分別作FFT，取峰值譜線相位的差值即得Δφ12，再除以ω0即可獲得時(shí)延估計(jì)?．

圖6 基于全相位窄帶濾波的時(shí)延估計(jì)Fig.6 Time delay estimation based on all-phase narrowband filtering

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及分析

例3 對超聲窄帶信號(α=109，f0=250,kHz，A=105，ξ(t)高斯白噪聲)，有

以fs=20,MHz的速率進(jìn)行采樣獲得序列s(n)，令時(shí)延估計(jì)的真實(shí)值D=33.6,Ts，階數(shù)N取為1,204．在信噪比SNR∈[0，50],dB的區(qū)間內(nèi)改變噪聲ξ(t)的強(qiáng)度，分別按照文獻(xiàn)[9]中的超分辨率時(shí)延估計(jì)法和本文方法進(jìn)行時(shí)延估計(jì)，其中對于每一次SNR情況進(jìn)行200次蒙特卡洛模擬，對每一種SNR情況統(tǒng)計(jì)其估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差，可得到如圖7所示的曲線．

圖7 兩種算法的時(shí)延估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差隨信噪比變化曲線Fig.7 Curves of standard variations of TDE with SNR for two algorithms

從圖7可以看出，當(dāng)信噪比SNR≥25,dB時(shí)，兩種算法均可獲得很高的時(shí)延估計(jì)精度，其估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差小于0.05,Ts，即實(shí)現(xiàn)了超分辨率(即采樣間隔Ts)的時(shí)延估計(jì)，其中本文方法的時(shí)延估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差比重心插值法稍低些，但優(yōu)勢不大．究其原因，是因?yàn)樵诟咝旁氡葓龊?，由于噪聲干擾小，因而重心插值法在估計(jì)信號重心位置是準(zhǔn)確的，基于此搜索的兩路間最小均方誤差對應(yīng)的整數(shù)倍位置也準(zhǔn)確，代入插值公式也可以獲得高精度、超分辨率的實(shí)驗(yàn)估計(jì)．

當(dāng)10,dB≤SNR＜25,dB時(shí)，為更深刻地解釋兩種算法的估計(jì)精度，圖8給出了SNR=10,dB時(shí)，無噪情況、受噪聲干擾及全相位窄帶濾波后的信號波形．從圖8(b)可以看出，當(dāng)SNR=10,dB時(shí)，超聲窄帶信號存在較嚴(yán)重的波形失真，從而會導(dǎo)致波形重心位置估計(jì)出現(xiàn)偏差，而從失真信號經(jīng)過全相位窄帶濾波后得到的波形可看出：窄帶濾波輸出仍為較純正的正弦波信號，受到噪聲干擾的影響很小，故圖7中SNR∈[10，25)dB段的本文方法的時(shí)延估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差仍小于0.2,Ts，屬于較精確的超分辨率估計(jì)范疇；而該段的重心插值法得到的時(shí)延估計(jì)誤差則比本文方法大得多(誤差為本文方法的2倍以上)．

圖8 不同噪聲干擾及窄帶濾波后的波形對比Fig.8Waveform comparison under noisy disturbances and narrow-band filtering

當(dāng)0≤SNR＜10,dB時(shí)，從圖7可看出，重心插值法的時(shí)延估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差急劇超出0.5,Ts，在SNR= 0,dB時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到2.0,Ts以上，已基本失去超分辨率時(shí)延估計(jì)的意義．而隨著信噪比變小，本文方法的誤差雖然也增大，但增速沒有重心插值法快，大多數(shù)SNR情況下其時(shí)延估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差仍小于0.5,Ts，故仍可粗略地用作超分辨率時(shí)延估計(jì)．

綜上所述，由于噪聲是寬帶分布的，因而用可精確控制中心頻點(diǎn)的窄帶濾波后，噪聲對有用信號的干擾大大減小，保證了本文方法在SNR較小的場合仍具備較高的超分辨率估計(jì)精度．

6 結(jié) 語

本文提出基于全相位窄帶濾波的相位差時(shí)延估計(jì)方法，其核心措施是把中心頻帶可精確設(shè)置的全相位類點(diǎn)通濾波器引入到含噪波形的預(yù)處理中，再結(jié)合傳統(tǒng)的相位差時(shí)延估計(jì)法獲得了很高的估計(jì)精度．該方法充分利用了寬帶分布的噪聲對包含有用成分的窄帶信號影響較小的特點(diǎn)，從而保證了本文方法具有較高的抗噪性能，實(shí)驗(yàn)表明本文方法的SNR適用范圍比重心插值法放寬了10,dB．

需要指出的是，本文方法有個(gè)前提，那就是需獲知信號中心頻率位置的先驗(yàn)信息(要求采樣速率不能太高)，在很多工程場合(如超聲波定位)，其發(fā)射信號的中心頻率是預(yù)先知道的，因而本文方法仍具有較廣闊的應(yīng)用前景．

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(責(zé)任編輯：金順愛)

Super-Resolution Time Delay Estimation Based on All-Phase Narrow-Band Filtering

Yan Ge，Huang Xiangdong，Liu Kaihua
(School of Electronic Information Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

To enhance the anti-noise performance of super-resolution time delay estimators，one novel time-delay estimator based on all-phase narrow-band filtering was proposed. First，based on the design of notching filter，a narrow-band filter characterized with similar point-pass transfer curve was designed. Secondly，two sequences with delay relationship were processed by this filer. Finally，implementing conventional phase-difference estimating flow yielded a high-precision time delay estimation. Simulation results showed that，compared with the gravityinterpolation method，the proposed method enlarges the SNR application range by 10 dB. Therefore the proposed method has a wide prospect of applied engineering.

time delay estimation；narrow-band filter；all-phase；super-resolution

TP274

A

0493-2137(2014)03-0249-06

10.11784/tdxbz201206042

2012-06-19；

2012-08-01.

天津市科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(10ZCKFGX03600)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61271322).

閆 格（1983— ），男，博士研究生，eye_ge@163.com.

黃翔東，xdhuang@tju.edu.cn.