馬亮亮， 劉冬兵

（攀枝花學院 數(shù)學與計算機學院，四川 攀枝花 617000）

分數(shù)階微分方程可用于模擬生物、金融等領域及半導體研究中的許多現(xiàn)象［1］；文獻［2－3］提出了分數(shù)階的行方法，將分數(shù)階微分方程轉化為常微分方程系統(tǒng)；文獻［4］考慮了有界區(qū)間上Riesz分數(shù)階偏微分方程的數(shù)值問題；文獻［5］給出了有界區(qū)間上分數(shù)階空間擴散方程滿足邊界條件的數(shù)值解法；文獻［6］考慮了一類Riesz－Caputo分數(shù)階對流擴散方程在有限區(qū)間上的隱式和顯式差分逼近；文獻［7］討論了一類二維空間Riesz分數(shù)階擴散方程的解析解；文獻［8］基于Riesz分數(shù)階導數(shù)，對一類分數(shù)階運動微分方程進行了研究。

本文將考慮n維情況下空間Riesz分數(shù)階擴散方程的解析解問題。

1 定義及性質

定義1 在有界區(qū)間［0，L］上，Riesz分數(shù)階導 數(shù)的定義［9］如下：

2 Riesz分數(shù)階擴散方程的解析解

本文考慮齊次n維空間Riesz分數(shù)階擴散方程為：根據(jù)常微分方程解的結構，可以推出（4）式的一般解為：

3 非齊次Riesz分數(shù)階擴散方程的解析解

本文考慮非齊次n維空間Riesz分數(shù)階擴散方程為：

根據(jù)疊加原理，非齊次n維空間Riesz分數(shù)階擴散方程的初邊值問題可轉化為：

將f（x1，x2，…，xn，t）展成傅里葉級數(shù)的形式，即）

4 結束語

本文給出了n維空間Riesz分數(shù)階導數(shù)與分數(shù)階拉普拉斯算子的特征函數(shù)、特征值之間的關系，并利用譜表示法分別給出了齊次和非齊次情況下，一類n維空間Riesz分數(shù)階擴散方程在有界區(qū)域內滿足一定初邊值條件的解析解。

［1］Liu F，Anh V，Turner I，et al.Numerical simulation for solute transport in fractal porous media［J］.ANZIAM J，2004，45（E）：461－473.

［2］Liu F，Anh V，Turner T.Numerical solution of the space fractional Fokker－Planck equation ［J］.J Comput Appl Math，2004，166：209－219.

［3］趙小文，張 海，蔣 威.分數(shù)階時滯微分系統(tǒng)的解［J］.合肥工業(yè)大學學報：自然科學版，2009，32（9）：1439－1441.

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［6］Shen Shujun，Liu Fawang，Anh V V.Numerical approximations and solution techniques for the space－time Riesz－Caputo fractional advection－diffusion equation［J］.Numerical Algorithms，2011，56（3）：383－403.

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［8］張 毅，梅鳳翔.基于Riesz分數(shù)階導數(shù)的分數(shù)階運動微分方程［J］.北京理工大學學報：自然科學版，2012，32（7）：766－770.

［9］Podlubny I.Fractional differential equations［M］.New York：Academic Press，1999：223－242.

［10］王學彬.二維、三維空間Riesz分數(shù)階擴散方程的基本解［J］.山東大學學報：理學版，2011，46（8）：23－37.