馬建榮， 郝 群， 朱秋東， 胡 搖

（北京理工大學(xué)光電學(xué)院，北京 100081）

逆向哈特曼面形測(cè)量法中最佳針孔直徑確定

馬建榮， 郝 群， 朱秋東， 胡 搖

（北京理工大學(xué)光電學(xué)院，北京 100081）

在逆向哈特曼法中，針孔光闌具有選擇光線和決定測(cè)量分辨率的作用，其直徑大小直接影響CCD接收器上光斑的大小以及光線在瞳面上精確位置的確定。用衍射光學(xué)理論，推導(dǎo)出了精確計(jì)算針孔直徑的傅里葉變換表達(dá)式，并進(jìn)一步給出了針孔直徑的快速解析計(jì)算式。實(shí)驗(yàn)證明，在實(shí)際非球面面形測(cè)量中，快速估算式能夠滿足計(jì)算最佳針孔直徑的精度要求并提高計(jì)算效率。

計(jì)量學(xué)；逆向哈特曼；面形測(cè)量；非球面；最佳針孔

1 引 言

將非球面、自由曲面等復(fù)雜曲面取代球面用于成像系統(tǒng)，能有效改善像質(zhì)、減小系統(tǒng)體積和重量［1］。這類復(fù)雜光學(xué)曲面面形的高精度檢測(cè)是其加工和光學(xué)系統(tǒng)裝調(diào)的基礎(chǔ)和前提。哈特曼測(cè)量法由哈特曼提出［2］，隨后在光學(xué)檢測(cè)中許多研究者采用了與其類似的原理和方法［3～6］。逆向哈特曼面形測(cè)量法［7］克服了傳統(tǒng)哈特曼法（THT）中動(dòng)態(tài)范圍和分辨率難以同時(shí)提高的缺點(diǎn)，有效地降低了非球面測(cè)量時(shí)的光線斜率，增大了測(cè)量范圍，與干涉法［8］相比，其結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，通用性好，抗干擾能力強(qiáng)，成本低。在逆向哈特曼法中，針孔選擇光線并決定測(cè)量分辨率，本文給出了該方法中確定最佳針孔直徑的傅里葉變換式，并進(jìn)一步給出快速確定最佳針孔尺寸的解析式。

2 逆向哈特曼法面形測(cè)量原理及針孔的作用

逆向哈特曼面形測(cè)量法（IHSFM）的原理圖如圖1所示，整個(gè)系統(tǒng)由圖像發(fā)生器、分束鏡、針孔、CCD攝像機(jī)及計(jì)算機(jī)組成，其面形測(cè)量原理與THT相似，系統(tǒng)中的圖像發(fā)生器相當(dāng)于哈特曼光闌，針孔選擇細(xì)光束。由于本方法中圖像發(fā)生器和探測(cè)面在光路中的位置與THT中的位置相反，因此稱為逆向哈特曼法。采用逆向法以后，避免了THT法中測(cè)量光線的遮擋切割問題，可測(cè)量較大非球面度的零件，而且可以使圖像發(fā)生器的尺寸比傳統(tǒng)哈特曼光闌大大減小，使整個(gè)裝置小型化。

圖1 逆向哈特曼測(cè)量法原理圖

圖2 被測(cè)鏡上采樣區(qū)域及CCD上彌散圓

在逆向哈特曼測(cè)量法中，針孔具有選擇光線和決定測(cè)量分辨率的作用。由圖2（a）可知，圖像發(fā)生器上的點(diǎn)光源經(jīng)被測(cè)鏡后，在距針孔p處成像，像點(diǎn)過針孔邊緣的光線反向延長(zhǎng)后，在被測(cè)鏡上的對(duì)應(yīng)區(qū)域就是被測(cè)鏡上的采樣區(qū)域，采樣區(qū)的直徑大小φ決定了采樣分辨率。由于CCD對(duì)被測(cè)面成像，圖像發(fā)生器的像在CCD上有離焦，如圖2（b）。因此，隨針孔直徑減小，衍射效應(yīng)變大，CCD上的光斑尺寸增大；而針孔尺寸增大則彌散圓增大，光斑尺寸也增大。只有在二者之間找到一個(gè)最佳針孔值，才能使CCD上的光斑直徑最小。這樣既在被測(cè)面上得到合理的分辨率，又使測(cè)量效率較高，因此，優(yōu)化針孔直徑是實(shí)現(xiàn)該方法的關(guān)鍵因素之一。

3 基于衍射理論的復(fù)振幅計(jì)算及光斑直徑仿真

由于衍射計(jì)算的復(fù)雜性，目前沒有點(diǎn)光源經(jīng)針孔和透鏡之后在任意探測(cè)位置的復(fù)振幅分布解析表達(dá)式，來計(jì)算針孔直徑與復(fù)振幅分布的關(guān)系，因此需要通過兩次菲涅爾衍射近似，得到探測(cè)面上的復(fù)振幅表達(dá)式，然后用離散傅里葉變換的方法得到針孔直徑與復(fù)振幅分布的關(guān)系。所采用的衍射光路如圖3所示。

圖3 球面波照明針孔的衍射光路

式中：A0為復(fù)常數(shù)，p為點(diǎn)光源S（即像點(diǎn)）到針孔平面的距離，k為波數(shù)。

透過物體的光波復(fù)振幅分布為

從點(diǎn)光源S發(fā)出的單色球面波，在物平面（針孔平面）P1上的振幅分布為

式中：T（x0，y0）為衍射針孔的復(fù)振幅透射系數(shù)。

從針孔平面P1到透鏡孔徑平面P2，光波的傳播符合菲涅爾衍射，到達(dá)透鏡孔徑平面的光波復(fù)振幅U1（x′，y′）可表示為

式中：λ為波長(zhǎng)，d為物平面（針孔平面）到透鏡孔徑平面的距離。

考慮到透鏡的位相變換因子，并假設(shè)透鏡的孔徑不受限制，于是由透鏡出射的光波復(fù)振幅分布為

式中f為成像透鏡焦距。

光波由透鏡的出瞳面到探測(cè)平面P3的傳播仍然符合菲涅爾衍射，傳播距離為q，再次應(yīng)用菲涅爾公式，可得到（x，y）平面上光波的復(fù)振幅分布U（x，y），表示為

將式（3）（4）代入式（5），經(jīng)過化簡(jiǎn)，可以得到

由式（6）可以看出，點(diǎn)光源S在P3面上的光場(chǎng)分布U（x，y）等于透過針孔的光波復(fù)振幅U0與一個(gè)二次位相因子的乘積經(jīng)傅里葉變換后，再與另一個(gè)位相因子的乘積。式（6）包括了衍射和彌散，因此由式（6）可得到任意p、d、q情況下對(duì)應(yīng)針孔的光斑直徑D。由式（6）數(shù)值仿真得到的光斑輻照度分布圖如圖4所示，圖4中橫坐標(biāo)r是與復(fù)振幅對(duì)應(yīng)的光斑半徑，縱坐標(biāo)為觀察面上各處輻照度與中心輻照度之比L（φ）／L（o），輻照度L＝U·U*。假設(shè)p＝7.505mm，d＝17.640mm，q＝20.233mm，f＝17.640mm，可以仿真計(jì)算出不同針孔直徑a時(shí)探測(cè)器上的光斑直徑Dt，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 數(shù)值仿真計(jì)算的光斑直徑mm

由表1可知，為得到光斑直徑Dt最小時(shí)的針孔直徑a，可用式（6）迭代計(jì)算，得到最佳針孔的精確值，但是計(jì)算復(fù)雜、效率低，可以此作為參考值，用于評(píng)估快速簡(jiǎn)易算法的可靠性。

圖4 衍射光斑輻照度分布圖

4 最佳針孔直徑的快速確定

在實(shí)際應(yīng)用中，針孔直徑需要根據(jù)被測(cè)鏡參數(shù)和測(cè)量分辨率要求進(jìn)行變化，因此有必要研究快速確定最佳針孔直徑的方法。由于探測(cè)面上所得到的光斑，是針孔的衍射效應(yīng)和CCD離焦造成的彌散二者共同作用的結(jié)果，愛里斑和彌散圓都可以簡(jiǎn)單快速計(jì)算得到，研究愛里斑和彌散圓的關(guān)系，可探索一種快速估算最佳針孔直徑的方法。

愛里斑直徑的計(jì)算表達(dá)式為

由圖5所示光路，用幾何光學(xué)方法可推導(dǎo)出探測(cè)面上的彌散圓直徑表達(dá)式愛里斑半高寬的計(jì)算公式為

式（9）中所有變量均取絕對(duì)值。

圖5 彌散圓形成光路圖

在本方法中，針孔位于成像透鏡的前焦面上，即d＝f，因此式（9）可以化簡(jiǎn)為

被測(cè)鏡與CCD探測(cè)器是物像共軛關(guān)系，可以得到探測(cè)器與透鏡的距離式中：d0為針孔到被測(cè)鏡頂點(diǎn)的距離，取絕對(duì)值。

用數(shù)值計(jì)算可以得到p、d、f、q確定時(shí)，不同針孔直徑a下的愛里斑直徑DA、半高寬DA，0.5L（o）、彌散圓直徑Dd，以及光斑直徑Dt，如表2所示。

表2 不同針孔對(duì)應(yīng)的計(jì)算值mm

由表2可知，當(dāng)彌散圓直徑等于愛里斑半高寬時(shí)，光斑直徑有達(dá)到最小的趨勢(shì)，因此取彌散圓直徑等于半高寬，作為快速確定最佳針孔直徑的條件，即

由式（8）、式（12）可以得到最佳針孔直徑a與λ、p、d0的關(guān)系，即

用式（13）即可計(jì)算出表2所給參數(shù)條件下的最佳針孔直徑a＝0.1605mm，而由式（6）迭代計(jì)算得到的針孔直徑為a＝0.1601mm。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證以上所提出的快速確定最佳針孔直徑的條件，對(duì)表2所示的仿真結(jié)果，用曲率半徑R＝120mm的凹球面鏡，進(jìn)行了實(shí)際光斑直徑測(cè)量。探測(cè)器采用1／2 in（12.7mm）、分辨率1280×1024像素的CCD。調(diào)整點(diǎn)光源S到針孔的距離p，分別進(jìn)行了2組實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)所用的裝置和實(shí)驗(yàn)圖象如圖6所示，2組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如表3所示。其中D′t為探測(cè)到的光斑直徑。

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置及采集圖像

表3 確定最佳針孔直徑的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)mm

由表3可以看出，當(dāng)p＝13mm、針孔直徑a＝0.140mm時(shí)，愛里斑直徑等于彌散圓直徑，此時(shí)CCD上的光斑直徑D′t并不是最小值；而當(dāng)p＝33 mm，針孔直徑a＝0.160mm時(shí)，彌散圓直徑等于半高寬，此時(shí)測(cè)得的光斑直徑最小。因此，利用式（13）計(jì)算最佳針孔直徑，是逆向哈特曼面形測(cè)量法中快速確定最佳針孔直徑的便捷計(jì)算法。

6 結(jié) 論

在逆向哈特曼面形測(cè)量法中，針孔具有選擇光線和決定測(cè)量分辨率的作用，并影響檢測(cè)效率。本文通過理論分析，給出了用衍射光學(xué)方法計(jì)算最小光斑時(shí)針孔直徑的傅里葉變換公式，但計(jì)算復(fù)雜，在此基礎(chǔ)上提出了快速確定最佳針孔直徑的方法。通過理論仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證證明，當(dāng)彌散圓直徑等于半高寬時(shí)，在CCD上所得光斑尺寸最小，從而給出了最佳針孔直徑估算的解析表達(dá)式，可以方便快速得到最佳針孔的尺寸。

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The Best Diameter Determ ination of the Pin Aperture in Inverse Hartm ann Surface Form Measurem ent System

MA Jian-rong， HAO Qun， ZHU Qiu-dong， HU Yao
（School of Optoelectronics，Beijing Institute of Technology，Beijing100081，China）

In the inverse Hartmann surface form measurement，the pin aperture selects light reflected from the test surface and determines themeasurement resolution.The diameter of the pin aperture has influence on the size of light spots on CCD and the accuracy of determining the ray location on the pupil.The Fourier transform expression for precisely calculating the pin aperture diameter is derived from diffraction optics theory.Moreover，an estimation formula which directly calculates the diameter of the pin aperture is also derived.Simulation and experiment show that the fast estimation formula canmeet the accuracy and effectively save time when calculate the best diameter of the pin aperture in realmeasurement.

Metrology；Inverse Hartmann system；Surface form measurement；Aspheric surface；Best pin aperture

TB96

A

1000-1158（2014）01-0039-05

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．01．09

2012-03-26；

2012-07-31

國(guó)家自然科學(xué)基金（61078044）

馬建榮（1972－），男，甘肅平?jīng)鋈?，北京理工大學(xué)高級(jí)工程師，在讀博士研究生，主要從事光學(xué)精密測(cè)量及儀器研究。mjr8868＠163.com