步進(jìn)電動機(jī)旋轉(zhuǎn)角加速度測試與擬合建模

趙 浩， 馮 浩

（1.嘉興學(xué)院，浙江嘉興 314001； 2.杭州電子科技大學(xué)，浙江杭州 310018）

步進(jìn)電動機(jī)旋轉(zhuǎn)角加速度測試與擬合建模

趙 浩1， 馮 浩2

（1.嘉興學(xué)院，浙江嘉興 314001； 2.杭州電子科技大學(xué)，浙江杭州 310018）

介紹了步進(jìn)電機(jī)的運動模型，采用自行研制的角加速度傳感器對步進(jìn)電機(jī)的單步運行、低頻連續(xù)運行、低頻丟步振蕩、高頻連續(xù)運行以及多種頻率下的運行情況進(jìn)行了實際的角加速度檢測。采用不同的函數(shù)對角加速度曲線進(jìn)行擬合，得到了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。找出了步進(jìn)電機(jī)在正常連續(xù)運行時角加速度峰峰值與通電頻率之間的關(guān)系式，為步進(jìn)電機(jī)控制器或者控制算法的設(shè)計提供了技術(shù)支撐。

計量學(xué)；步進(jìn)電機(jī)；角加速度；擬合建模

1 引 言

步進(jìn)電機(jī)又稱脈沖電機(jī)，是數(shù)字控制系統(tǒng)中的一種執(zhí)行元件，其功用是將脈沖電信號變換為相應(yīng)的角位移或線位移。近年來，數(shù)字技術(shù)和計算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展為其應(yīng)用開辟了廣闊前景。目前，步進(jìn)電機(jī)已廣泛應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床、繪圖儀、軋鋼機(jī)和自動儀表等多個方面［1～5］。但是步進(jìn)電機(jī)在運行過程中存在明顯振動，即角加速度，容易產(chǎn)生低頻振蕩和高頻振蕩，造成該現(xiàn)象的首因是步進(jìn)電機(jī)的矩角特性近于正弦函數(shù)，且定子磁場以跳躍方式轉(zhuǎn)動。

近年來一些學(xué)者對步進(jìn)電機(jī)的角加速度波動及其抑制進(jìn)行了研究。潘今宇在分析低速掃描中步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)速質(zhì)量影響的基礎(chǔ)上，介紹了用光電編碼器測量轉(zhuǎn)速穩(wěn)定度的方法以及判定標(biāo)準(zhǔn)，并討論了不同條件下步距角、慣性負(fù)載和微步距驅(qū)動對步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定度的影響［6］。張耀杰等分析了五相混合步進(jìn)電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩波動產(chǎn)生的原理，提出了利用時變周期信號的重復(fù)控制來抑制轉(zhuǎn)矩波動的新思路，首先將時變的t域轉(zhuǎn)矩信號變換為具有固定周期的θ域信號，再對其進(jìn)行重復(fù)控制器設(shè)計，保持理想的驅(qū)動總電流，抑制轉(zhuǎn)距波動［7］。鄭曉冬等通過分析兩相混合式步進(jìn)電機(jī)的機(jī)械結(jié)構(gòu)，理論推導(dǎo)了影響步進(jìn)電機(jī)起動過程的多種因素，搭建了一套基于光電傳感器的步進(jìn)電機(jī)性能參數(shù)測量系統(tǒng)，并編寫了數(shù)據(jù)收集和處理軟件，最后從電機(jī)應(yīng)用角度，提出了改進(jìn)步進(jìn)電機(jī)起動過程性能參數(shù)的方法［8］。王玉琳等提出了步進(jìn)電機(jī)的幾種速度調(diào)節(jié)方法，并通過對步進(jìn)電機(jī)矩頻特性曲線的分析，得出了步進(jìn)電機(jī)的升頻表格，提供了一個完整的軟件升降頻流程圖［9］。

本文采用自制的旋轉(zhuǎn)角加速度傳感器［10］對步進(jìn)電機(jī)實際運行時的多種情況進(jìn)行了角加速度測試，相對于參考文獻(xiàn)里的用光柵或者光電編碼器這種測量平均角加速度的方法，更能夠檢測到步進(jìn)電機(jī)瞬間的角加速度情況。采用多種函數(shù)對角加速度波動曲線進(jìn)行了擬合，得到了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并得到了步進(jìn)電機(jī)角加速度波動峰值與繞組通電頻率的關(guān)系式，為步進(jìn)電機(jī)控制器或者控制算法的設(shè)計提供了相應(yīng)的技術(shù)支撐。

2 步進(jìn)電機(jī)運動模型

設(shè)步進(jìn)電機(jī)每相每極控制繞組匝數(shù)為W，通入電流為I，轉(zhuǎn)子在某一位置θ處轉(zhuǎn)動了Δθ角，氣隙中的磁場能量變化為ΔWm，則步進(jìn)電機(jī)的靜態(tài)轉(zhuǎn)矩為：

式中，Wm為步進(jìn)電機(jī)氣隙磁場的能量，當(dāng)轉(zhuǎn)子處于不同位置時，Wm具有不同值，即Wm是轉(zhuǎn)子位置角的函數(shù)，且氣隙磁場為：

式中，ω＝HB／2，為單位體積的氣隙磁能；V為一個極面下定、轉(zhuǎn)子間氣隙的體積。

當(dāng)定、轉(zhuǎn)子軸向長度為l，氣隙長度為δ，氣隙平均半徑為r，與角度dθ相對應(yīng)的體積增量為：

將式（3）代入式（2）得：

因為每極下的氣隙磁勢Fδ＝Hδ，再考慮到通過dθ所包圍的氣隙面積的磁通dΦ＝BdS＝Blrdθ，所以有：

由磁路的歐姆定律得：

式中，Λ為一個極面下的氣隙磁導(dǎo)，則：

將式（7）代入式（1）得：

考慮到以下關(guān)系式：

式中，ZR為步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)子齒數(shù)，Zs為定子每極下的小齒數(shù)，G為氣隙比磁導(dǎo)，即單位軸向長度、一個齒距下的氣隙磁導(dǎo)，所以，步進(jìn)電機(jī)的靜態(tài)轉(zhuǎn)矩為：

由于氣隙比磁導(dǎo)G是轉(zhuǎn)子位置θe的周期性函數(shù)，將氣隙比磁導(dǎo)用傅氏級數(shù)來表示：

式中，G0為氣隙比磁導(dǎo)的平均值，Gn為氣隙比磁導(dǎo)中n次諧波的幅值，若略去高次諧波的影響，則式（11）可寫成：

將式（12）代入（10）得

可見，步進(jìn)電機(jī)單相通入電流時，產(chǎn)生的靜態(tài)轉(zhuǎn)矩T，在忽略高次諧波的影響時為失調(diào)角θe的正弦函數(shù)，其作用是總使轉(zhuǎn)子位置趨向于失調(diào)角為零，與θe角增大的方向相反，在結(jié)構(gòu)一定且磁路不飽和條件下靜態(tài)轉(zhuǎn)矩的大小與電流I的二次方成正比。

步進(jìn)電機(jī)實際空載運行時受到空氣摩擦阻力矩的作用，根據(jù)轉(zhuǎn)矩平衡方程得：

式中，γ為空氣阻力矩系數(shù)，J為整個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。

將式（9）和式（13）代入式（14）得：

3 測試實驗與擬合建模

實驗平臺由浙江大學(xué)方圓產(chǎn)業(yè)科技有限公司生產(chǎn)，型號為NMCL-II。步進(jìn)電機(jī)型號是M10，各相繞組直流電阻為45Ω。采用配套驅(qū)動電源，型號為NMEL-10。

實驗1：步進(jìn)電機(jī)與自制角加速度傳感器同軸相連，空載單步運行，三相單三拍運行時角加速度情況的測試結(jié)果如圖1所示。

圖1 三相單三拍單步的角加速度情況

對圖1中角加速度曲線采用高斯函數(shù)進(jìn)行擬合，得：

實驗2：步進(jìn)電機(jī)與自制角加速度傳感器同軸相連，空載單步運行，三相六拍運行時角加速度情況的測試結(jié)果如圖2所示。

對圖2中角加速度曲線采用多項式函數(shù)進(jìn)行擬合，得：

圖2 三相六拍單步的角加速度情況

實驗3：步進(jìn)電機(jī)與自制角加速度傳感器同軸相連，空載連續(xù)單三拍運行，提高步進(jìn)電機(jī)的通電頻率，當(dāng)通電頻率為10 Hz時，步進(jìn)電機(jī)的角加速度情況如圖3所示。

圖3 步進(jìn)電機(jī)低頻連續(xù)運行時的角加速度情況

由圖3可知，步進(jìn)電機(jī)在低頻連續(xù)運行時，轉(zhuǎn)子每走一步的角加速度基本互不影響，即下一步總是在上一步基本達(dá)到穩(wěn)態(tài)后才運行，其擬合曲線應(yīng)為式（16）的延遲重復(fù)，延遲時間為通電頻率的倒數(shù)，即0.1 s，由此可知其擬合數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)為：

式（18）中系數(shù)與式（16）中的各項系數(shù)相同。

實驗4：步進(jìn)電機(jī)與自制角加速度傳感器同軸相連，空載連續(xù)單三拍運行，當(dāng)通電頻率為64 Hz時，步進(jìn)電機(jī)的角加速度情況如圖4所示。

圖4 步進(jìn)電機(jī)64 Hz連續(xù)運行時的角加速度情況

由實驗波形可知，此時的角加速度曲線仍為周期性函數(shù)，周期應(yīng)為1／64秒，對其中某一段函數(shù)，如圖5所示，采用多項式函數(shù)進(jìn)行擬合得：

圖5 步進(jìn)電機(jī)64 Hz運行時某一周期的角加速度情況

其中，SSE為0.028 7；R-square為0.970 2；Adjusted R-square為0.969 5；RMSE為0.008 611。

實驗5：步進(jìn)電機(jī)與自制角加速度傳感器同軸相連，空載連續(xù)單三拍運行，提高步進(jìn)電機(jī)的通電頻率，當(dāng)通電頻率為98 Hz時，步進(jìn)電機(jī)的角加速度情況如圖6所示。

圖6 步進(jìn)電機(jī)98 Hz連續(xù)運行時的角加速度情況

由實驗波形可知，此時的角加速度曲線為周期性函數(shù)，周期為1／98秒，對其中某一段函數(shù)，如圖7

圖7 步進(jìn)電機(jī)98 Hz運行時某一周期的角加速度情況

所示，采用高斯函數(shù)進(jìn)行擬合得：

實驗6：提高步進(jìn)電機(jī)的通電頻率為148 Hz，其他條件與實驗5相同，步進(jìn)電機(jī)產(chǎn)生丟步振蕩，此時的角加速度情況如圖8所示。

圖8 步進(jìn)電機(jī)丟步振蕩時的角加速度情況

由圖8可知，此時的角加速度曲線為非周期函數(shù)，實際的步進(jìn)電機(jī)處于嚴(yán)重丟步振蕩狀態(tài)。

實驗7：繼續(xù)提高步進(jìn)電機(jī)的通電頻率，當(dāng)通電頻率超過200 Hz時步進(jìn)電機(jī)處于正常連續(xù)運行狀態(tài)，通電脈沖頻率為300 Hz、375 Hz與460 Hz時角加速度情況實驗結(jié)果分別如圖9所示。

圖9 步進(jìn)電機(jī)連續(xù)運行時角加速度情況

由實驗結(jié)果可知，此時角加速度曲線近似成周期性變化，且隨著通電頻率的不斷提高，曲線的振幅逐漸減小。

對300 Hz的角加速度曲線某一周期段采用多項式函數(shù)進(jìn)行擬合，得：

其中，SSE為0.000 375 4；R-square為0.996 2；Adjusted R-square為0.996 1；RMSE為0.001 238，擬合曲線如圖10所示。

圖10 步進(jìn)電機(jī)300 Hz運行時某一周期的角加速度情況

為了找到步進(jìn)電機(jī)正常運行時角加速度峰峰值與通電頻率之間的關(guān)系，多次重復(fù)試驗7，得到表1所示的實驗數(shù)據(jù)。

表1 實驗數(shù)據(jù)

對表1的實驗數(shù)據(jù)采用多項式函數(shù)進(jìn)行擬合，得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，SSE為0.000 054 2；R-square為0.998 3；Adjusted R-square為0.997 2；RMSE為0.000 300 5，擬合曲線如圖11所示。

圖11 步進(jìn)電機(jī)角加速度峰峰值-頻率曲線

4 結(jié) 論

本文采用自行研制的角加速度傳感器對步進(jìn)電機(jī)的單步運行、低頻丟步、低頻運行、高頻運行等多種通電頻率時的角加速度情況進(jìn)行了測試，對實驗結(jié)果曲線進(jìn)行了擬合，得到了相應(yīng)模型。為了減小步進(jìn)電機(jī)實際運行時的角加速度，后續(xù)工作為研究和設(shè)計一種步進(jìn)電機(jī)控制器，根據(jù)角加速度對其繞組輸入電流進(jìn)行相應(yīng)控制，達(dá)到提高步進(jìn)電機(jī)性能和擴(kuò)大應(yīng)用范圍的目的。

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Rotary Angular Acceleration Testing and Fitting Modeling of Stepping Motor

ZHAO Hao1， FENG Hao2
（1.Jiaxing University，Jiaxing，Zhejiang 314001，China；2.Hangzhou Dianzi University，Hangzhou，Zhejiang 310018，China）

Themotionmodel of the step motor is introduced，then the developed angular acceleration sensor is used for detecting the actual angular acceleration of the steppermotor on single-step operation，low-frequency continuous operation，low frequency lost step oscillation，high-frequency continuous operation and multiple frequencies operation，the angular acceleration curves are fitted by different functions，and the corresponding mathematical model are

.Finally，the relationship between the steppermotor angular acceleration peak value and frequency of the normal continuous operation are found，it can provides technical support for controller or control algorithm designation of the steppermotor.

Metrology；Steppermotor；Angular acceleration；Fittingmodeling

TB934

A

1000-1158（2014）05-0463-06

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．05．12

2013-02-04；

2013-07-23

浙江省教育廳科研項目（Y201226082）；嘉興市科技計劃項目（2012AY1021）；2012年度嘉興學(xué)院自制實驗教學(xué)儀器設(shè)備研究項目（ZS201202）；2012年度嘉興學(xué)院實驗室開放項目；2013年度嘉興學(xué)院南湖學(xué)院科研重點課題（N41472001－4）

趙浩（1983－），男，河北石家莊人，嘉興學(xué)院講師，主要研究方向為電機(jī)與新型傳感器的設(shè)計。zhaohao204＠163.com

馮浩為本文通訊作者。zjhzfh＠126.com