孫 海

（1.樂(lè)山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，樂(lè)山 614000；2.東華理工大學(xué)理學(xué)院，南昌 344000）

填充右左手材料矩形屏蔽微帶線色散特性的比較研究

孫 海1，2

（1.樂(lè)山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，樂(lè)山 614000；2.東華理工大學(xué)理學(xué)院，南昌 344000）

運(yùn)用矢量有限元法對(duì)填充右左手材料的矩形屏蔽微帶線的色散特性進(jìn)行比較研究，包括矩形單信號(hào)對(duì)稱屏蔽微帶線，矩形單信號(hào)不對(duì)稱屏蔽微帶線，矩形雙信號(hào)對(duì)稱屏蔽微帶線，矩形雙信號(hào)位置不對(duì)稱屏蔽微帶線，矩形雙信號(hào)寬度不對(duì)稱屏蔽微帶線以及矩形雙信號(hào)厚度不對(duì)稱屏蔽微帶線六種情況.討論這些屏蔽微帶線的主模色散特性隨填充材料的變化，色散特性的研究有助于矩形屏蔽微帶線和左手材料在新型微波器件中的應(yīng)用.

色散特性；矢量有限元法；右手材料；左手材料；矩形屏蔽微帶線

0 引言

自上世紀(jì)四十年代末Cohn［1］開(kāi)始研究波導(dǎo)的特性以來(lái)，對(duì)各種波導(dǎo)結(jié)構(gòu)特別是微屏蔽線的研究越來(lái)越引起人們的關(guān)注.已有的研究表明，微屏蔽線作為一種微波毫米波傳輸線，具有以下優(yōu)點(diǎn)：微屏蔽線不需要均衡接地的連接孔（Via-holes）與空氣橋（Air-bridge），從而簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)制作工藝；屏蔽微帶線具有很寬的特性阻抗；屏蔽微帶線可以有效地降低與相鄰傳輸線之間的電磁耦合；低交調(diào)干擾，易于器件接地連接；屏蔽微帶線的金屬空腔，既能降低輻射損耗，又因無(wú)介質(zhì)填充而消除了介質(zhì)損耗.基于諸多特點(diǎn)，屏蔽微帶線成為毫米波和亞毫米波波段的主要傳輸線類型.

對(duì)屏蔽微帶線的討論，1991年，Dib與Harokopus等人首先提出了矩形屏蔽微帶線，并且用保角變換法分析了特性阻抗［2－3］；隨后，Schutt-Aine首次提出了V形屏蔽微帶線，且用矩量法計(jì)算了特性阻抗［4］；中科院院士林為干先生于1995年首次提出了圓形、橢圓形屏蔽微帶線，并利用保角變換法系統(tǒng)地計(jì)算了V形、圓形、橢圓形屏蔽微帶線的特性阻抗［5－6］；緊接著，Cheng與Robertson研究了非對(duì)稱V形屏蔽微帶線的特性阻抗［7］；Kiang利用點(diǎn)匹配法計(jì)算了多種復(fù)雜橫截面屏蔽微帶線的特性阻抗［8］；Yan與Pramanick在前人工作的基礎(chǔ)上，提出了一般化的V形與W形屏蔽微帶線，計(jì)算了特性阻抗與導(dǎo)體損耗［9］；2006年Guney和Robert等人發(fā)展了V形屏蔽微帶線和微矩形同軸傳輸線［10－11］，2011年和2012年孫海等分別對(duì)橢圓形屏蔽微帶線［12］和梯形屏蔽微帶線［13］的部分傳輸特性進(jìn)行了討論.

前面的研究極大地豐富了屏蔽微帶線的應(yīng)用，但對(duì)填充右、左手材料的矩形屏蔽微帶線的主模色散特性研究未見(jiàn)報(bào)道；基于此，本文運(yùn)用矢量有限元方法對(duì)填充右手材料和左手材料的多種矩形屏蔽微帶線的主模色散特性進(jìn)行比較研究，具體包括：矩形單信號(hào)對(duì)稱屏蔽微帶線，矩形單信號(hào)不對(duì)稱屏蔽微帶線，矩形雙信號(hào)對(duì)稱屏蔽微帶線，矩形雙信號(hào)位置不對(duì)稱屏蔽微帶線，矩形雙信號(hào)寬度不對(duì)稱屏蔽微帶線以及矩形雙信號(hào)厚度不對(duì)稱屏蔽微帶線.六種情況的橫截面示意圖如圖1.

1 原理

橫截面示意圖1中，中間虛線填充部分為填充介質(zhì)區(qū)域，填充介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分布為εr和μr，

圖1 六種矩形屏蔽微帶線橫截面示意圖Fig.1 Cross-sections of six types of rectangle-shaped microshield lines

白色部分為真空區(qū)域，真空的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為ε0和μ0，而黑色部分表示金屬信號(hào)線，信號(hào)線的尺寸和位置由b／a，b1／a，b2／a，c2／a，c3／a和t／h1，t1／h1，t2／h1控制，填充區(qū)域由c1／a控制，并假設(shè)h1／a＝0.3，h2／a＝0.2．

使用矢量有限元方法對(duì)矩形屏蔽微帶線進(jìn)行討論，根據(jù)Maxwell方程，矩形屏蔽微帶線中電場(chǎng)E與磁場(chǎng)H滿足以下矢量微分方程

利用電場(chǎng)E的矢量Helmholtz方程推導(dǎo)求解矩形屏蔽微帶線色散特性的矢量有限元公式.將式（1）的H代入式（2），得到基于電場(chǎng)E的矢量Helmholtz方程

在矩形屏蔽微帶線中，電場(chǎng)E滿足矢量微分方程（3）式，及邊界條件

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，上述問(wèn)題等效于下列變分問(wèn)題

上式中

上式中的δkj用下式進(jìn)行計(jì)算

在計(jì)算過(guò)程中，涉及到形如k1，k2由下標(biāo)k決定；j1，j2由下標(biāo)j決定；i1，i2由下標(biāo)i決定，實(shí)際為邊所對(duì)應(yīng)的起點(diǎn)和終點(diǎn).其決定的方式由表1來(lái)確定.

利用里茲方法對(duì)（7）式進(jìn)行變分，整理可以得到

表1 三角形單元中棱邊與節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系Table 1 Relation between edge and node in triangular elements

同理，將所有離散的三角形單元的矩陣方程進(jìn)行合成，可以得到總矩陣方程，即特征值方程：

式（26）中的矩陣［S］和［T］均為方陣，且都是稀疏矩陣，式中β表示待求的特征值，在計(jì)算過(guò)程中，只要給出k0的取值，就可以求解這個(gè)方程.即可以通過(guò)求解（26）得到矩形屏蔽微帶線的色散特性.

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

2.1 色散特性的矢量有限元公式的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所使用的矢量有限元公式的正確性和程序的可靠性，首先通過(guò)公式（26）求解了半填充波導(dǎo)的色散特性，計(jì)算結(jié)果如圖2所示.

通過(guò)圖2可以得出，本文的計(jì)算結(jié)果和相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果吻合得很好，說(shuō)明本文所推導(dǎo)的矢量有限元計(jì)算公式和所編寫的程序是可靠和可行的.下面運(yùn)用以電場(chǎng)為工作變量的矢量有限元公式對(duì)六種矩形屏蔽微帶線的色散特性進(jìn)行計(jì)算.在計(jì)算過(guò)程中，分兩組進(jìn)行討論：第一組為兩種單信號(hào)矩形屏蔽微帶線；第二組為四種雙信號(hào)矩形屏蔽微帶線；主要進(jìn)行填充右、左手材料后色散特性的比較，同時(shí)也進(jìn)行兩種單信號(hào)線和四種雙信號(hào)線內(nèi)部的比較.

2.2 矩形單信號(hào)屏蔽微帶線的色散特性

1）矩形單信號(hào)對(duì)稱屏蔽微帶線的色散特性

設(shè)c／a＝0.5，c1／a＝0.25，b／a＝0.1，t2／a＝0.1，c2／a＝0.2，且信號(hào)線位于模型正中央.

由圖3可以得出，當(dāng)填充的右手材料和左手材料的折射率相同時(shí)，填充左手材料后的色散特性和填充右手材料的變化趨勢(shì)相似；而取相同的k0，填充左手材料的屏蔽微帶線比填充右手材料的屏蔽微帶線的β值要小.

圖3 填充右左手材料的矩形單信號(hào)對(duì)稱屏蔽微帶線的色散曲線Fig.3 Dispersions of rectangle-shaped microshield line with symmetrical single signal line loaded with right-handed materials and left-handed materials

2）矩形單信號(hào)不對(duì)稱屏蔽微帶線的色散特性

下面討論矩形單信號(hào)不對(duì)稱屏蔽微帶線的色散特性，設(shè)計(jì)尺寸為c／a＝0.5，c1／a＝0.25，b／a＝0.1，t2／a＝0.1，c2／a＝0.05，填充右左手材料后的色散特性如圖4.

由圖4知，對(duì)于填充相同折射率的右、左手材料后，矩形單信號(hào)不對(duì)稱屏蔽微帶線的色散特性的變化趨勢(shì)和矩形單信號(hào)對(duì)稱屏蔽微帶線相似.

圖4 填充右左手材料的矩形單信號(hào)不對(duì)稱屏蔽微帶線的色散曲線Fig.4 Dispersions of rectangle-shaped microshield line with asymmetrical single signal line loaded with right-handed materials and left-handed materials

根據(jù)上面兩個(gè)實(shí)例的計(jì)算得出了幾乎相似的結(jié)論，故在后面矩形雙信號(hào)屏蔽微帶線色散特性的討論中，不再討論同一種信號(hào)線隨填充材料的變化而引起的色散特性變化；而是重點(diǎn)去比較四種雙信號(hào)線的色散特性差別.在此之前，先比較兩種單信號(hào)線色散特性的差別.

3）兩種矩形單信號(hào)屏蔽微帶線色散特性的差別

設(shè)矩形單信號(hào)對(duì)稱屏蔽微帶線的尺寸為c／a＝0.5，c1／a＝0.25，b／a＝0.1，t2／a＝0.1，c2／a＝0.2，而矩形單信號(hào)不對(duì)稱屏蔽微帶線的尺寸為c／a＝0.5，c1／a＝0.25，b／a＝0.1，t2／a＝0.1，c2／a＝0.05，即兩種單信號(hào)屏蔽微帶線除了兩信號(hào)間的距離不同以外，其他尺寸都相同.填充三種材料（εr＝1，μr＝1；εr＝10，μr＝1；εr＝－10，μr＝－10）后的色散特性比較如圖5～圖7所示.

圖5 填充εr＝1，μr＝1后兩種矩形單信號(hào)屏蔽微帶線色散特性Fig.5 Dispersions of two kinds of rectangle-shaped microshield line with single signal line loaded with εr＝1，μr＝1

由圖5～圖7可以看出：無(wú)論填充右手材料還是左手材料，矩形單信號(hào)對(duì)稱屏蔽微帶線和矩形單信號(hào)不對(duì)稱屏蔽微帶線的色散特性差距不大；也就是說(shuō)在這種情形下，右手材料和左手材料的特性相似.如果要找出兩種信號(hào)線色散特性之間的細(xì)微差別的話，當(dāng)填充的材料εr＝10，μr＝1時(shí)，相比填充其它兩種材料（εr＝1，μr＝1；εr＝－10，μr＝－10），兩種屏蔽微帶線色散特性間的差距稍大一些.

2.3 四種矩形雙信號(hào)屏蔽微帶線色散特性的差別

將MIKE11水動(dòng)力模塊與水質(zhì)模塊進(jìn)行耦合，模擬計(jì)算水庫(kù)運(yùn)行期間典型枯水年南碧河水質(zhì)變化情況，選取南木老河與南碧河交匯口斷面、芒片河與南碧河交匯口斷面、入小黑江匯口斷面3個(gè)代表斷面進(jìn)行對(duì)比分析，各斷面水質(zhì)預(yù)測(cè)結(jié)果如表2，表3和圖2。

這里將對(duì)矩形雙信號(hào)線的四種情況在填充右、左手材料后的色散特性進(jìn)行比較.這其中包括：雙信號(hào)線對(duì)稱，雙信號(hào)線位置不對(duì)稱，雙信號(hào)寬度不對(duì)稱以及雙信號(hào)線厚度不對(duì)稱四種情況.

圖6 填充εr＝10，μr＝1后兩種矩形單信號(hào)屏蔽微帶線色散特性Fig.6 Dispersions of two kinds of rectangle-shaped microshield line with single signal line loaded with εr＝10，μr＝1

圖7 填充εr＝－10，μr＝－10后兩種矩形單信號(hào)屏蔽微帶線色散特性Fig.7 Dispersions of two kinds of rectangle-shaped microshield line with single signal line loaded with εr＝－10，μr＝－10

首先作以下總體假設(shè)，假設(shè)c／a＝0.5，c1／a＝0.25，c3／a＝0.05，且左側(cè)信號(hào)線的寬度和厚度均為0.1.而右側(cè)信號(hào)線的尺寸以及位置根據(jù)四種不同情況分別定義：

1）雙信號(hào)對(duì)稱線為：為了保證對(duì)稱性，兩信號(hào)線間的距離為c2／a＝0.2，右側(cè)信號(hào)線的寬度和厚度與左側(cè)的一樣均為0.1；

2）雙信號(hào)位置不對(duì)稱線：右側(cè)信號(hào)線的寬度和厚度仍然定義為0.1，兩信號(hào)線間的距離為c2／a＝0.05；

3）雙信號(hào)寬度不對(duì)稱線：兩信號(hào)線間的距離為c2／a＝0.05，右側(cè)信號(hào)線的厚度仍為0.1，而寬度定義為0.2；

4）雙信號(hào)厚度不對(duì)稱線：兩信號(hào)線間的距離為c2／a＝0.2，右側(cè)信號(hào)線的寬度仍定義為0.1，而厚度為0.2.

由圖8可以得出：當(dāng)填充的材料為εr＝1，μr＝1，即為均勻傳輸線時(shí)，β的排列順序?yàn)椋骸昂穸炔粚?duì)稱”＞“寬度不對(duì)稱”＞“位置不對(duì)稱”≈“對(duì)稱”；且相比之下，“厚度不對(duì)稱”的β值大得較多.

由圖9可以得出：當(dāng)填充的材料為εr＝10，μr＝1時(shí)，β最大的還是“厚度不對(duì)稱”情況，而且大得很多；相比“位置不對(duì)稱”和“對(duì)稱”情況，當(dāng)k0較小時(shí)，“寬度不對(duì)稱”的β值較大；但隨著k0的增加，四種情況的β值幾乎沒(méi)有差別.

由圖10和圖11可以得出：當(dāng)填充材料為左手材料εr＝－10，μr＝－10和右手材料εr＝10，μr＝10后，即材料的折射率較大時(shí)，無(wú)論右左手材料，矩形雙信號(hào)屏蔽微帶線的四種情況的色散特性相差無(wú)幾.

由圖8～圖11，得出綜合結(jié)論：在填充右手材料時(shí)，當(dāng)材料的折射率較小時(shí)，在相同的k0下，矩形雙信號(hào)線的“厚度不對(duì)稱”和“寬度不對(duì)稱”的β值比“位置不對(duì)稱”和“對(duì)稱”要大很多，究其原因，相比“位置對(duì)稱”和“位置不對(duì)稱”，信號(hào)線的寬度和厚度增加了，信號(hào)線所占的面積也增加了，說(shuō)明其色散特性與信號(hào)線所占

圖8 填充εr＝1，μr＝1后四種矩形雙信號(hào)屏蔽微帶線色散特性Fig.8 Dispersions of four kinds of rectangle-shaped microshield line with dual signal lines loaded with εr＝1，μr＝1

圖9 填充εr＝10，μr＝1后四種矩形雙信號(hào)屏蔽微帶線色散特性Fig.9 Dispersions of four kinds of rectangle-shaped microshield line with dual signal lines loaded with εr＝10，μr＝1

圖10 填充εr＝－10，μr＝－10后四種矩形雙信號(hào)屏蔽微帶線色散特性Fig.10 Dispersions of four kinds of rectangle-shaped microshield line with dual signal lines loaded with εr＝－10，μr＝－10

面積有關(guān)；但當(dāng)填充的右手材料折射率較大時(shí)，四種矩形雙信號(hào)屏蔽微帶線的色散特性變化不大，這點(diǎn)與填充較大折射率的左手材料的變化規(guī)律一致.

3 結(jié)語(yǔ)

運(yùn)用矢量有限元方法對(duì)填充右手材料和左手材料的矩形屏蔽微帶線六種情況的主模色散特性進(jìn)行比較

圖11 填充εr＝10，μr＝10后四種矩形雙信號(hào)屏蔽微帶線色散特性Fig.11 Dispersions of four kinds of rectangle-shaped microshield line with dual signal lines loaded with εr＝10，μr＝10

研究.計(jì)算結(jié)果顯示，填充左手材料和填充右手材料后，矩形屏蔽微帶線的色散特性呈現(xiàn)出不同規(guī)律，這對(duì)拓展左手材料的應(yīng)用有重要的實(shí)際意義；另外，以信號(hào)線個(gè)數(shù)分組，對(duì)單信號(hào)的兩種情況和雙信號(hào)的四種情況進(jìn)行了比較計(jì)算，得出了一些有意義的結(jié)果，這對(duì)矩形屏蔽微帶線的進(jìn)一步發(fā)展和應(yīng)用有指導(dǎo)意義.

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A Comparative Study on Dispersions of Rectangle-shaped Microshield Lines Loaded with Right-handed Materials and Left-handed Materials

SUN Hai1，2
（1.School of Mathematics and Informational Sciences，Leshan Normal University，Leshan 614000，China；2.School of Science，East China Institute of Technology，Nanchang 344000，China）

Edge-based finite element method is introduced to study dispersions of six types of rectangle-shaped microshield lines loaded with right-handed materials and left-handed materials.They are rectangle-shaped microshield lines with symmetrical single signal line，with asymmetrical single signal line，with symmetrical dual signal lines，with asymmetrical dual signal lines of position，with asymmetrical dual signal lines of width and with asymmetrical dual signal lines of height.Dispersions of microshield lines with changed dielectric constant of dielectric substrate are discussed.Numerical results are helpful in design of microwave components that use rectangle-shaped microshield lines and left-handed materials.

dispersion；edge-based finite element method；right-handed material；left-handed material；rectangle-shaped microshield line

date：2013－10－08；Revised date：2014－02－19

TN81

A

2013－10－08；

2014－02－19

四川省教育廳資助科研項(xiàng)目（14ZB0250）；樂(lè)山師范學(xué)院博士啟動(dòng)項(xiàng)目（Z1326）及江西省自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目（20122BAB211008）資助

孫海（1981－），男，理學(xué)博士，講師，主要從事計(jì)算電磁學(xué)研究，E-mail：sunhai0804＠126.com

1001-246X（2014）05-0593-09