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      兩階段脈沖控制螺旋波的數(shù)值模擬

      2014-06-09 12:33:45楊翠云劉海英唐國寧
      計算物理 2014年5期
      關(guān)鍵詞:格點雙相A型

      楊翠云, 劉海英, 唐國寧

      (1.廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣西桂林 541004;2.桂林師范高等??茖W(xué)校物理與工程技術(shù)系,廣西桂林 541001)

      兩階段脈沖控制螺旋波的數(shù)值模擬

      楊翠云1,2, 劉海英2,*, 唐國寧1,*

      (1.廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣西桂林 541004;2.桂林師范高等??茖W(xué)校物理與工程技術(shù)系,廣西桂林 541001)

      提出兩種兩階段的螺旋波控制方法,第一階段用正相脈沖力作用快變量,第二階段用反相脈沖力作用快變量或用正相脈沖力作用慢變量,用修改后的B?r模型進(jìn)行數(shù)值模擬,結(jié)果表明:兩階段的脈沖控制方法比單階段控制方法更有效地控制螺旋波,作用力可以減少到后者力大小的38%~55%.結(jié)果建議,可以通過兩階段控制螺旋波的方法改進(jìn)心臟電除顫.

      可激發(fā)介質(zhì);螺旋波;脈沖控制

      0 引言

      螺旋波是一種自維持波,它在物理[1]、化學(xué)[2]、生物[3]、生態(tài)[4]等系統(tǒng)中都已經(jīng)觀察到.研究表明,當(dāng)心臟中的電信號出現(xiàn)螺旋波時,會導(dǎo)致心室心動過速;當(dāng)螺旋波破碎形成時空混沌態(tài)時,會出現(xiàn)心室纖維性顫動,危及人的生命[5].因此,很多學(xué)者對螺旋波的動力學(xué)行為進(jìn)行了研究[6-9],并提出許多抑制方法[10-11],由于許多消除螺旋波的方法不方便用于心臟的除顫,因此在臨床上,人們只采用電除顫方式來消除心臟的纖維性顫動和治療心動過速.

      電除顫器分單相除顫器和雙相除顫器[12],單相除顫器是從正極向負(fù)極單向輸出電流,整個除顫過程中電流方向不發(fā)生改變,采用單相衰減正弦波形除顫,無論首次還是后續(xù)電擊一律采用360 J;而雙相除顫器在放電初期輸出正相電流,在第二階段反轉(zhuǎn)電流極性,輸出負(fù)相電流.采用雙相方波除顫,首次除顫電擊能量為120 J,采用雙相切角指數(shù)波形除顫,首次除顫電擊能量為150 J~200 J,后續(xù)電擊選擇相同或遞增的能量水平.研究表明[13]:雙相波比單相波除顫效果好,是因為電擊擴(kuò)展了細(xì)胞的動作電位時程(action potential duration,APD),即在相同的強(qiáng)度下,雙相波比單相波擴(kuò)展APD更多,而且APD空間分布更均勻.但是無論單相電除顫還是雙相電除顫,都會出現(xiàn)除顫失敗,原因并不是電擊電場不足以延長足夠多細(xì)胞的APD,從而終止心臟中的螺旋波,而是由于除顫電擊在終止了原有螺旋波的同時誘發(fā)了新的螺旋波[14].

      電除顫方法雖然有效,但是除顫電壓依然比較高,還是會損傷心肌組織和造成心肌功能絮亂[15],影響人的存活率.為了降低電除顫的副作用,提高一次除顫的成功率和人的存活率,臨床上還采用電除顫聯(lián)合藥物(胺碘酮)治療心律失?;颊?,顯著提高除顫成功率,獲得了較好的效果[16].文獻(xiàn)[17]提出了三階段的低能房室除顫方案,在該方案中,先后使用多次雙相電擊、多次單相電擊和抗心動過速起搏,這種除顫方案是通過將螺旋波驅(qū)趕出心房邊界達(dá)到治療目的,而不像傳統(tǒng)除顫方案用強(qiáng)電場在短時間內(nèi)終止螺旋波(即直接讓螺旋波消失),所以需要的除顫能量很少.可見要實現(xiàn)低能除顫目標(biāo),不能使用強(qiáng)電場,只能使用弱電場,這又帶來電場無法終止螺旋波的問題,如何在弱電場下終止螺旋波值得研究.

      本文采用B?r模型研究兩階段控制終止螺旋波的有效性.第一階段的控制,使用正相方波脈沖作用快變量,使大部分介質(zhì)處于剛激發(fā)后的狀態(tài)后停止施力;第二階的控制,既可使用負(fù)相方波脈沖作用快變量,也可以使用正相方波脈沖作用慢變量,盡可能讓介質(zhì)直接回到靜息態(tài),若之后還出現(xiàn)孤立的激發(fā)點,也只會形成靶波后消失.在第一階段控制結(jié)束后延遲一段時間,才開始第二階段的控制,以達(dá)到用小的代價終止螺旋波的目的.數(shù)值模擬表明,使用兩階段控制,不但可以有效終止螺旋波,而且可以將第一階段的脈沖強(qiáng)度降低到原來的38%~55%,為除顫方案設(shè)計提供了理論依據(jù).

      1 模型和方法

      B?r和Eiswirth于1993年提出的二維模型(簡稱B?r模型)[18],雖然缺乏對心肌細(xì)胞內(nèi)離子通道的描述,但是該模型提供一種手段去研究可激發(fā)介質(zhì)中螺旋波的宏觀性質(zhì).修改后的B?r模型動力學(xué)方程組為

      其中u是快變量(類似心肌細(xì)胞的膜電位,其最大值為1),v是慢變量(類似心肌細(xì)胞的膜電流),D為系統(tǒng)參數(shù),F(xiàn)u(t)和Fv(t)分別為作用在快變量和慢變量上的全局脈沖力,系統(tǒng)參數(shù)為a、b和ε.當(dāng)參數(shù)a=0.84、b=0.07和D=1.0時,方程(1)描述的介質(zhì)是可激發(fā)介質(zhì),ε的大小反映了介質(zhì)的激發(fā)性,ε越大,介質(zhì)的激發(fā)性就越低.在適當(dāng)初始條件下,當(dāng)0.01<ε<0.06時,介質(zhì)內(nèi)可出現(xiàn)穩(wěn)定的螺旋波,當(dāng)0.06<ε<0.069時介質(zhì)中螺旋波將發(fā)生漫游,當(dāng)ε>0.069時,介質(zhì)中的螺旋波會破碎成時空混沌.

      系統(tǒng)參數(shù)固定取ε=0.03,a=0.84,b=0.07,D=1.0,時間積分采用歐拉法和空間二階導(dǎo)數(shù)采用二階精度的有限差分方法數(shù)值解方程(1),空間步長取Δx=Δy=0.4,時間步長Δt=0.02,采用無流邊界條件,系統(tǒng)尺寸為Lx×Ly=120×120,即空間被離散成N×N=120×120個格點,通過截斷平面波的方式產(chǎn)生螺旋波,在上述參數(shù)下,螺旋波的周期約為3.36時間單位.

      為了實現(xiàn)低能量(小脈沖強(qiáng)度)終止螺旋波,我們使用如下兩階段的控制方案:

      第一階段 用正相方波脈沖力作用快變量(記為A型力)

      第二階段 用反相方波脈沖力作用快變量(記為B型力)

      或者用正相方波脈沖力作用慢變量(記為C型力)

      式中t∈ 表示脈沖持續(xù)時間為 .第一階段控制結(jié)束后,延遲0=1.7單位才執(zhí)行第二階段的控制,這里

      0=1.7是介質(zhì)由波峰回到波谷所需要的時間,目的是讓介質(zhì)發(fā)生如下轉(zhuǎn)變,介質(zhì)大部分格點處于波峰狀態(tài)(u≥0.5,相當(dāng)心肌細(xì)胞的絕對不應(yīng)態(tài))過渡到大部分格點處于可激發(fā)狀態(tài)(u<0.5,相當(dāng)心肌細(xì)胞的相對不應(yīng)態(tài)或靜息態(tài)),以便在實施第二階段控制后介質(zhì)中出現(xiàn)傳導(dǎo)障礙,使螺旋波消失.

      2 數(shù)值模擬

      為了看出A型力與B型力或C型力混合使用的控制效果,下面我們先分別單獨使用A、B或C型力來控制螺旋波,并將控制結(jié)果作為參考.

      2.1 單階段控制方法

      我們用單個外力來控制螺旋波,稱為單階段控制方法.如果在適當(dāng)?shù)膮?shù)下,螺旋波演化到靜息態(tài)(或均勻態(tài)),則認(rèn)為在該參數(shù)下螺旋波是可控制的.圖1給出了A、B、C三型力控制螺旋波的結(jié)果,從圖1可以看出:給定一個力F,存在一個最小作用時間min,當(dāng) ≥min時螺旋波可控;作用力F越強(qiáng),最小作用時間越短,反之最小作用時間越長;當(dāng)力弱到一定程度時,將無法使原螺旋波消失,即當(dāng)作用力撤銷后,螺旋波會恢復(fù)正常形狀.如:當(dāng)力FA≤0.75時,即使作用時間增加到2.0,也不能使原螺旋波消失.當(dāng)力FB≤0.62和FC≤0.12時,即使作用時間增加到4.0,也不能使原螺旋波消失.A型力能控制螺旋波的原因是:力的作用使處于絕對不應(yīng)態(tài)的部分格點和處于相對不應(yīng)態(tài)的格點再激發(fā),導(dǎo)致介質(zhì)出現(xiàn)傳導(dǎo)障礙,螺旋波因傳導(dǎo)障礙而消失.B型力是通過抑制u變量的增加來抑制螺旋波,因此強(qiáng)的B型力可以使u變量直接衰減到0,導(dǎo)致螺旋波直接消失.從方程(1)可以看出,介質(zhì)的激發(fā)閾值由(v+b)/a決定,只有當(dāng)u>(v+b)/a,介質(zhì)才被激發(fā),因此v越大,介質(zhì)就越不易被激發(fā).C型力的作用效果使v增大,從而可導(dǎo)致介質(zhì)激發(fā)性降低,因此強(qiáng)的C型力可以使空間所有格點的v增加到最大,導(dǎo)致所有格點都不能被激發(fā),使螺旋波無法傳播而直接消失.

      圖1 在不同類型力作用下F- 參數(shù)平面上的可控區(qū)(Ⅰ為不可控區(qū),Ⅱ、Ⅲ為可控區(qū).在II區(qū),螺旋波演化到靜息態(tài)(u=0),在Ⅲ區(qū)螺旋波演化u>1的均勻態(tài).)Fig.1 Controllable regions on F- plane with different types of forces(Ⅰis uncontrollable region. ⅡandⅢare controllable regions.In regionⅡ,spiral waves are becoming a resting state(u=0). In regionⅢthe system is becoming to a uniform state(u>1).)

      2.2 兩階段控制方法

      現(xiàn)在研究通過兩階段控制來消除螺旋波.采用如下兩種方案:方案1為A型控制力+B型控制力,方案2為A型控制力+C型控制力,兩階段的時間間隔為0=1.7.為了解低強(qiáng)度力消除螺旋波的可能性,在下面的研究中,B型和C型控制力分別取FB=0.6、FC=0.2,這樣當(dāng)作用時間小于1.2時,在這樣大的力作用下不能使螺旋波消失.取A型控制力的作用時間為A=0.4,0.6.圖2給出了不同A和不同兩階段控制方案控制螺旋波的結(jié)果,從圖1和圖2可以看出:①取該參數(shù)時,單獨使用一種類型的力無法消除螺旋波;②在保證螺旋波可控的情況下,增大A型控制力FA,可以有效減少第二階段力的作用時間B和C,反之則需要延長第二階段力的作用時間;③增大A型控制力的作用時間A,在相同的FA下,可以有效降低B和C,這樣可以在更小FA下,通過適當(dāng)延長第二階段力的作用時間,實現(xiàn)低強(qiáng)度力消除螺旋波的目的.如,當(dāng)A=0.4和A=0.6時,在單一力控制下,要終止螺旋波,需要A型力的最小值分別為FA=1.6和FA=1.18.在兩階段控制下,如果采用方案1,需要A型力的最小值分別為FA=0.88和FA=0.62,力的強(qiáng)度減少到原來的55%.如果采用方案2,需要A型力的最小值分別為FA=0.6和FA=0.4,力的強(qiáng)度減少到原來的38%.

      圖2 兩階段控制方案下F- 參數(shù)平面上的可控區(qū)(Ⅰ為不可控區(qū),Ⅱ為可控區(qū).)Fig.2 Controllable regions on F- plane for different two-stage control methods(Ⅰis uncontrollable region.Ⅱis controllable region.)

      為了解低強(qiáng)度力能有效消除螺旋波的機(jī)制,我們計算快變量u≥0.5的格點數(shù)與總格點數(shù)的比率ρ.圖3給出了在不同參數(shù)和不同兩階段控制方案下ρ隨時間的變化,從圖3可以看出,對于方案1,經(jīng)過第一階段的控制,大部分格點處于絕對不應(yīng)態(tài)(因為ρ>0.5),如圖4(a)所示.經(jīng)過第二階段的控制,93%格點處于相對不應(yīng)態(tài)或靜息態(tài),螺旋波波臂變細(xì),如圖4(b)所示.之后螺旋波波臂快速膨脹,使絕大部分格點處于絕對不應(yīng)態(tài),在介質(zhì)中形成傳導(dǎo)障礙,導(dǎo)致螺旋波破碎后消失,形成很多小波,如圖4(c)和4(d)所示.最后小波演化為靶波后消失,如圖4(e)和4(f)所示.對于方案2,控制過程略有不同,經(jīng)過第二階段的控制,99%格點處于相對不應(yīng)態(tài)或靜息態(tài),螺旋波直接消失后形成多個小波,以后波的演化與圖4(e)和4(f)所示類似.如果第二階段作用力比較強(qiáng)同時持續(xù)時間足夠長,經(jīng)過第二階段控制,可以使100%格點演化到靜息態(tài),這樣可以保證一次除顫成功.

      圖3 在不同參數(shù)和不同兩階段控制方案下ρ隨時間的變化(虛線為控制的起止時刻,參數(shù)為A=0.4,B=C=1.2,0=1.7.)Fig.3 Ratio ρ versus time in two-stage control methods(Dashed lines indicate start and end times.)

      圖4 在圖3(a)的參數(shù)下不同時刻的u變量斑圖Fig.4 Patterns of variable u at different moments(Adopted parameters are as in Fig.3(a).)

      顯然兩階段控制之間必須有一定的間隔,因為兩階段控制螺旋波的策略是不同的,第一階段脈沖力是促使格點再激發(fā),第二階段是抑制格點的激發(fā),這與傳統(tǒng)除顫策略不同.當(dāng)?shù)谝浑A段結(jié)束后,更多的格點已經(jīng)處于被激發(fā)后的絕對不應(yīng)態(tài),等這些格點回到靜息態(tài)再施加第二階段控制,可以充分利用它們自然回到靜息態(tài)性質(zhì),才有利于花費更小的代價,使更多的格點處于靜息態(tài),這是導(dǎo)致螺旋波消失的關(guān)鍵.數(shù)值模擬也證實,少量減少0的值即可以導(dǎo)致控制失敗.因此我們的控制方法與臨床使用的方法以及文獻(xiàn)[12]使用的雙相波脈沖控制方法有所不同,后者雖然與我們的方案1相似,但是雙相之間無間歇,而且使用的電擊電壓依然很高.數(shù)值模擬還證實,我們的兩階段控制方法也可以用低強(qiáng)度力有效消除螺旋波湍流態(tài)(即時空混沌),這就是說兩階段控制方法既可以控制心動過速,也可以控制心顫.

      應(yīng)當(dāng)指出,我們也用Luo-Rudy相Ⅰ心臟模型[19]驗證了我們提出的控制方案的可行性.選擇模型參數(shù)除鈣電導(dǎo)率比文獻(xiàn)[19]小一點外,其它參數(shù)與之完全相同.在力的作用時間都為20 ms的情況下,采用方案1,A、B型力都作用在膜電位變量上,兩階段控制需要力的大小可以減少到使用單個力控制需要的大小的40%.采用方案2,A型力作用在膜電位變量上,C型力改為用鈉通道阻塞劑使鈉電導(dǎo)率由23 ms·cm-2減少到一個較少的值,持續(xù)時間為20 ms后恢復(fù)到正常值23 ms·cm-2.單獨使用鈉通道阻塞劑控制螺旋波,鈉電導(dǎo)率必須降到6 ms·cm-2以下才能消除螺旋波,使用兩階段方案控制螺旋波,A型力的大小可以減少到使用單力控制所需要的力大小的30%,同時鈉電導(dǎo)可從6 ms·cm-2升到14 ms·cm-2也能有效消除螺旋波,這些結(jié)果表明我們的控制方案是有效的.

      3 結(jié)論

      提出兩種兩階段脈沖控制螺旋波的方法,研究發(fā)現(xiàn):這些方法比單階段控制方法能夠更有效地消除螺旋波和時空混沌,且使用的脈沖力較小,而須付出的代價是,消除螺旋波的時間相對要長.兩階段脈沖控制螺旋波效果好的原因是,采用了先促使介質(zhì)再激發(fā)然后抑制介質(zhì)被激發(fā)的新控制策略,這種新策略的控制效果已經(jīng)在電除顫聯(lián)合藥物治療心律失常中得到體現(xiàn).電除顫就是使用脈沖力作用于膜電位,導(dǎo)致處于相對不應(yīng)態(tài)的細(xì)胞再被激發(fā),而使用的藥物胺碘酮具有阻斷鈉、鉀通道作用,因此藥物具有降低介質(zhì)激發(fā)性的作用,這兩種方法同時使用使除顫效果改善.根據(jù)我們的結(jié)果,如果將電除顫和使用藥物按兩階段方式使用,有可能實現(xiàn)無疼痛除顫治療心動過速和心顫,希望我們除顫方案能夠得到實驗的驗證.

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      Simulation on Control of Spiral Wave by Two-stage Pulse Force

      YANG Cuiyun1,2,LIU Haiying2,TANG Guoning1
      (1.College of Physical Science and Technology,Guangxi Normal University,Guilin 541004,China;(2.Department of Physics and Engineering Technology,Guilin Normal College,Guilin 541001,China)

      Modified B?r model is used to study suppression of spiral wave.Methods of suppressing spiral wave by two-stage pulse force control are proposed.In the first stage,fast variable of the model is acted by a positive rectangular pulse force.In the second stage,direction of force is changed to the opposite or the force is acted on the slow variable.It shows that two-stage pulse control method is more efficient than one-stage method,and magnitude of the force is 38%~55%of the latter.It suggests that two-stage method of control of spiral wave can improve defibrillation efficiency.

      excitable medium;spiral wave;pulse control

      date:2013-09-15;Revised date:2014-01-24

      O415.5

      A

      2013-09-15;

      2014-01-24

      國家自然科學(xué)基金(11165004)及廣西教育廳科研項目(201106LX699)資助項目

      楊翠云(1972-),女,廣西桂林,副教授,碩士,主要從事非線性物理研究,E-mail:yangcuiyun_gl@foxmail.com

      *通訊作者:唐國寧,E-mail:tangguoning@m(xù)ailbox.gxnu.edu.cn;劉海英,E-mail:1550682352@qq.com

      1001-246X(2014)05-0625-06

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