劉文濤，陳 紅，蔡曉霞，吳源洪

（1.解放軍電子工程學(xué)院，合肥 230037；2.解放軍73689部隊(duì)，南京 210000）

信號(hào)特征對(duì)分形維數(shù)的影響

劉文濤1，陳 紅1，蔡曉霞1，吳源洪2

（1.解放軍電子工程學(xué)院，合肥 230037；2.解放軍73689部隊(duì)，南京 210000）

分形維數(shù)是描述信號(hào)的一種有效方式，用來(lái)作為各種情況下信號(hào)復(fù)雜度的測(cè)量方法。但是對(duì)于此種分析的合理解釋沒(méi)有被給出。為了研究信號(hào)參數(shù)對(duì)分形維數(shù)的影響，通過(guò)對(duì)接受信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，分別使用盒維數(shù)和信息維數(shù)進(jìn)行維數(shù)估計(jì)，討論信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)、噪聲功率、載頻、碼率對(duì)信號(hào)分形維數(shù)的影響。仿真結(jié)果表明：當(dāng)采樣頻率一定時(shí)，分形維數(shù)在一定范圍內(nèi)對(duì)噪聲不敏感；碼率對(duì)盒維數(shù)的影響較小，對(duì)信息維數(shù)的影響較大；載頻對(duì)信息維數(shù)的影響較小，對(duì)盒維數(shù)的影響較大。

信號(hào)特征，盒維數(shù)，信息維數(shù)

引言

分形是對(duì)沒(méi)有特征長(zhǎng)度但是具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的總稱，分形維數(shù)是描述分形信號(hào)復(fù)雜程度和不規(guī)則性的一種度量方法［1］。分形集合最基本的特性就是自相似性，即任意比例的細(xì)節(jié)都具有某種程度的自相似。這種自相似性可以是幾何意義上的嚴(yán)格自相似，也可以是統(tǒng)計(jì)意義上的近似。因此，對(duì)形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等任一方面具有自相似特性的對(duì)象，都能應(yīng)用分形幾何學(xué)的基本思想進(jìn)行分析描述。作為一種新的概念和方法，分形正在許多領(lǐng)域開(kāi)展應(yīng)用研究。

通信信號(hào)作為一種時(shí)間序列，分形能對(duì)它進(jìn)行有效的刻畫(huà)，分形維數(shù)能度量信號(hào)的不規(guī)則程度。分形中的盒維數(shù)通常用來(lái)描述分形信號(hào)的幾何尺度信息，而信息維數(shù)反映出分形集在區(qū)域空間上的分布疏密。目前已經(jīng)有學(xué)者將分形維數(shù)用于數(shù)字通信信號(hào)的檢測(cè)［2］和調(diào)制識(shí)別［3］中，但對(duì)于信號(hào)參數(shù)對(duì)分形維數(shù)的影響沒(méi)有具體進(jìn)行討論。本文將著重就這一方面內(nèi)容展開(kāi)研究。

1 分形理論

首先來(lái)介紹盒維數(shù)和信息維數(shù)的測(cè)定方法。

1.1 分形盒維數(shù)

設(shè)F是Rn中任一非空有界子集，令N（f，u）表示中心為f，最大直徑為u且能覆蓋F的集合的最小數(shù)目，則F的盒維數(shù)定義為：

文獻(xiàn)［3］給出了計(jì)算盒維數(shù)的簡(jiǎn)化形式，假設(shè)y（t）為認(rèn)知用戶接收到的有限長(zhǎng)信號(hào)，x（t）代表授權(quán)信號(hào)，η（t）代表均值為0，方差為ση2的高斯白噪聲。一個(gè)用戶接收機(jī)將接收信號(hào)采樣為 {y（ni），i=1，2，…，Ns}，其中Ns為采樣點(diǎn)數(shù)。

盒維數(shù)定義為：

1.2 分形信息維數(shù)

則稱DI為集合F的信息維數(shù)。

在計(jì)算分形信息維數(shù)DI的簡(jiǎn)化公式中，一般先對(duì)信號(hào)序列進(jìn)行預(yù)處理：將信號(hào)序列變換到頻域，對(duì)信號(hào)能量進(jìn)行歸一化處理，為了減少頻域內(nèi)噪聲的影響，利用中值濾波法進(jìn)行消噪。由于信號(hào)頻譜的形狀主要取決于信號(hào)脈內(nèi)的調(diào)制方式，在頻域中進(jìn)行特征提取可消除載頻變化的影響。預(yù)處理后的信號(hào)序列為{Fy（i），i=1，2，…，Ns}，其中Ns為預(yù)處理后信號(hào)序列的長(zhǎng)度。頻域進(jìn)行重構(gòu)以減少部分帶內(nèi)噪聲的影響：

2 仿真結(jié)果及討論

首先對(duì)所有信號(hào)進(jìn)行去直流、幅度歸一化處理，消除由于信號(hào)幅度引起的功率不同對(duì)分形特征的影響。

2.1 信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)的影響

本文用高斯白噪聲作為信號(hào)源，選取不同的采樣點(diǎn)數(shù)，可以得到噪聲盒維數(shù)和信息維數(shù)隨采樣點(diǎn)數(shù)變化的情況，如圖1～圖2所示：

圖1 不同采樣點(diǎn)數(shù)下的噪聲盒維數(shù)

圖2 不同采樣點(diǎn)數(shù)下的噪聲信息維數(shù)

由圖1和圖2可知，盒維數(shù)均值基本恒定，信息維數(shù)的均值會(huì)隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加而增大；采樣點(diǎn)與盒維數(shù)、信息維數(shù)的穩(wěn)定性之間的關(guān)系是單調(diào)關(guān)系，點(diǎn)越多，盒維數(shù)、信息維數(shù)越穩(wěn)定，且越靠近中心點(diǎn)處，取值概率越大；采樣點(diǎn)數(shù)的增大會(huì)引起計(jì)算復(fù)雜度的增加，故不宜過(guò)大。所以仿真所使用的采樣點(diǎn)數(shù)統(tǒng)一為N=4 000。

2.2 噪聲功率的影響

選用高斯白噪聲作為信號(hào)源，選取采樣點(diǎn)數(shù)N=4 000，，噪聲方差在0.1～0.5之間變化，可以得到噪聲盒維數(shù)、信息維數(shù)如圖3和圖4所示：

圖3 不同功率下的噪聲盒維數(shù)

圖4 不同功率下的噪聲信息維數(shù)

通過(guò)圖3和圖4可知，當(dāng)采樣點(diǎn)一定時(shí)，高斯白噪聲的功率在0.1～0.5之間變化，其盒維數(shù)、信息維數(shù)基本保持不變，即對(duì)噪聲不敏感。

2.3 載波頻率的影響

選 取 2ASK、4ASK、2PSK、QPSK、2FSK、4FSK、CW、NOISE作為信號(hào)源，固定采樣頻率為40 KHz，碼元速率為1 KHz，采樣點(diǎn)數(shù)為N=4 000，載波頻率的變化范圍為fc=1 KHz～40 KHz，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。為了克服計(jì)算誤差、使得到的值更加穩(wěn)定，可用多個(gè)樣本分形維數(shù)的均值代替單個(gè)信號(hào)樣本分形維數(shù)的值。結(jié)果如圖5、圖6所示：

圖5 不同載頻下的信號(hào)盒維數(shù)

從圖5和圖6中可以得知：信號(hào)的信息維數(shù)基本不受載頻的影響，而盒維數(shù)隨著載頻的增大而增大。當(dāng)采樣頻率與載頻的倍數(shù)較大時(shí)，信號(hào)盒維數(shù)接近于1，此時(shí)可以用于信號(hào)存在性檢測(cè)；當(dāng)采樣頻率與載頻的倍數(shù)為4時(shí)，不同信號(hào)之間的盒維數(shù)差別較大，可以用于不同調(diào)制樣式信號(hào)的識(shí)別。

2.4 碼元速率的影響

選取2PSK作為信號(hào)源，取N=4 000，采樣頻率fs=40 KHz，載頻fc=10 KHz，碼率fm=1 KHz～10 KHz，仿真結(jié)果如圖7、圖8所示：

圖7 不同碼率下的2PSK盒維數(shù)

圖8 不同碼率下的2PSK信息維數(shù)

從圖7和圖8中可以看出，碼率對(duì)信號(hào)盒維數(shù)的影響較小，而對(duì)信息維數(shù)的影響較大。主要是因?yàn)樾畔⒕S數(shù)的計(jì)算是在進(jìn)行的，肯定會(huì)受到碼率的影響。為此我們把采樣頻率與碼率的倍數(shù)取為一個(gè)定值，這樣就可以避免因?yàn)榇a率變化引起的維數(shù)變化，消除碼率的影響。在此選取fs=8fc，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)：

圖9 不同碼率下的2PSK信息維數(shù)

從圖9中可以看出，信號(hào)的信息維數(shù)不再隨著碼率的變化而變化，基本趨于恒定。

2.5 加噪信號(hào)與信噪比的關(guān)系

仍然以2PSK信號(hào)為例，信噪比的取值范圍為SNR=-20:20 dB，仿真結(jié)果如下：

圖10 不同信噪比下的2PSK盒維數(shù)

圖11 不同信噪比下的2PSK信息維數(shù)

從圖10、圖11中可以看出：當(dāng)信噪比較小時(shí)，加噪信號(hào)的分形維數(shù)接近噪聲的分形維數(shù)；但隨著信噪比的增大，加噪信號(hào)的分形維數(shù)逐漸接近信號(hào)的分形維數(shù)，在5 dB～20 dB范圍內(nèi)基本趨于穩(wěn)定。所以此時(shí)可以用于信號(hào)調(diào)制樣式的識(shí)別。

3 結(jié)論

通過(guò)大量仿真實(shí)驗(yàn)得知：信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)越大，分形維數(shù)越穩(wěn)定；信號(hào)盒維數(shù)受采樣頻率與載頻的倍數(shù)影響較大，信號(hào)信息維數(shù)受采樣頻率與碼元速率倍數(shù)的影響較大，固定兩者之間的倍數(shù)關(guān)系，則分形維數(shù)基本恒定；噪聲的分形維數(shù)基本恒定，在一定信噪比情況下，信號(hào)分形維數(shù)對(duì)噪聲不敏感。本文著重分析了信號(hào)參數(shù)對(duì)分形維數(shù)的影響，為把分形維數(shù)應(yīng)用到信號(hào)檢測(cè)和識(shí)別中提供理論依據(jù)，具有一定的參考價(jià)值。

［1］謝和平，薛秀謙.分形應(yīng)用中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法［M］.北京：科學(xué)出版社，1998.

［2］趙春暉，馬 爽，楊偉超.基于分形盒維數(shù)的頻譜感知技術(shù)研究［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2011，33（2）:475-478.

［3］呂鐵軍，郭雙冰，肖先賜.調(diào)制信號(hào)的分形特征研究［J］.中國(guó)科學(xué)E輯，2001，31（6）:508-513.

Signal Characteristics to Influence of Fractal Dimension

LIU Wen-tao1，CHEN Hong1，CAI Xiao-xia1，WU Yuan-hong2
（1.Electronic Engineering Institute of PLA，Hefei 230037，China；2.Unit 73689 of PLA，Nanjing 210000，China）

Fractal Dimensions（FD）are popular metrics for characterizing signals.They are used as complexity measures in signal analysis applications in various fields.However，proper interpretation of such analyses has not been thoroughly addressed.To make the effect of various signal properties on FD certain，box dimension and information dimension of the pretreated signals are firstly estimated，and then the properties in terms of classical signal processing concepts such as number of sampling，noise power，carrier frequency and symbol rate are researched.Simulation results show that when the sampling frequency is fixed，F(xiàn)D is not sensitive to the noise;symbol rate has a little influence on box dimension but has a great influence on information dimension;carrier frequency has a great influence on box dimension but has a little influence on information dimension.

signal characteristic，box dimension，information dimension

TN92

A

1002-0640（2014）09-0069-03

2013-06-08

2013-09-03

劉文濤（1991- ），男，安徽阜陽(yáng)人，碩士。研究方向：無(wú)線通信與通信對(duì)抗。