田雪坤，李 忱，王海任，趙 麗

(1.太原科技大學應(yīng)用科學學院，太原 030024；2.山西省煤炭管理干部學院，030006)

薄殼作為一個重要的結(jié)構(gòu)部件在石油化工、國防、能源、制藥等行業(yè)應(yīng)用非常廣泛。在工程實際中，薄殼在靜力或動力荷載作用下薄殼結(jié)構(gòu)破壞的主要形式是屈曲失穩(wěn)，且呈現(xiàn)強烈的突然性，造成的損失是不可估量的。所以，薄殼結(jié)構(gòu)由于失穩(wěn)引起的安全性和耐久性問題是人們一直普遍關(guān)注的研究課題。對于薄殼穩(wěn)定理論的研究大體可分為兩個階段：第一階段是針對完善結(jié)構(gòu)的線性彈性理論，第二階段是非線性彈性理論。殼體計算的理論可分為兩類：薄殼理論和彎曲理論。薄殼理論也稱為無矩理論，是最早產(chǎn)生發(fā)展也比較快的[1]。在薄殼理論中，所有的外力都可以看作是作用于殼體中間曲面的力。殼體在外力作用下發(fā)生變形，運用張量以理性力學的角度可以很好地描述殼體曲面的薄膜張力和抗彎剛度。

在經(jīng)典彈性理論的基礎(chǔ)上，通常對殼體采用了如下假設(shè)：(1)直法線假設(shè)：變形前正交于殼體中面的法線段，在殼體變形后仍為正交于變形后的殼體中面的直線段，而且保持長度不變。按照這條假設(shè)，在結(jié)合變形的概念，可得出：ε13=ε23=0,ε33=0；(2)切平面應(yīng)力假設(shè)：與殼體中面平行的截面互相不擠壓，也就是正應(yīng)力σ33比應(yīng)力分量σ11,σ22,σ12=σ21小得多，因此它對殼體變形的影響可以忽略不計，即：σ33=0；(3)作用在殼體上的所有外力都可以轉(zhuǎn)換到殼體的中面。

1 線性本構(gòu)方程

物體形變分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系式也就是物體的物理本構(gòu)關(guān)系[2]，在線性范圍內(nèi)軸對稱球形殼體的線性物理本構(gòu)關(guān)系如下所示：

(1)

其中D=Et3/12(1-μ2)、t是薄球殼厚度，E是彈性模量，μ是泊松比。κφ和κθ分別是φ和θ方向的曲率。

2 非線性本構(gòu)方程

本構(gòu)理論研究的是應(yīng)力張量與物體運動歷史的關(guān)系。材料在變形過程中必須遵循本構(gòu)關(guān)系的規(guī)律?？陀^性原理又是建立本構(gòu)關(guān)系所必須遵守的基本前提。Reiner得出：自變量為對稱仿射量E，如果仿射量函數(shù)K(E)是各向同性的，則它可以表示為：K=φ0I+2φ1E+3φ2E2.對于任意有限數(shù)目的張量自變量和任意緊點群，存在一個由有限數(shù)目不變量構(gòu)成的函數(shù)基，并且關(guān)于任意類型的張量值函數(shù)存在一個由有限數(shù)目形式不變量構(gòu)成的完備表示[3-5]。對于各向同性材料，現(xiàn)有文獻指出，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可以寫為：

(2)

其本構(gòu)方程可以表示為應(yīng)變張量E的主跡的完備的一次(n=2)式形式：

(3)

(4)

二階本構(gòu)方程：

(5)

前人早已提出過許多形式的應(yīng)變能函數(shù)，然而從數(shù)學的角度上說，無論應(yīng)變能函數(shù)有多復雜，始終可以將其表達成為一個非線性多項式。對于各向同性彈性體材料，建立Green彈性體共軛應(yīng)力張量K、應(yīng)變張量E與應(yīng)變能函數(shù)W之間的積分關(guān)系：

因為K和E均為對稱仿射量，故有：

所以應(yīng)變能函數(shù)可以表示為：

(6)

3 非線性熱應(yīng)力本構(gòu)方程

研究殼體的溫度變形和熱應(yīng)力問題，不論在理論上還是在工程實際應(yīng)用當中都有很重要的意義。在分析因溫度變化而引起的應(yīng)力和變形時，需要在彈性本構(gòu)方程中增加溫度對應(yīng)變的影響[6]。對于各向同性材料在溫度固定的環(huán)境下處于零應(yīng)力狀態(tài)，假如物體在溫度T0時是無應(yīng)力的，當溫度變化到時應(yīng)力仍然為零，則有線性定律：

εij=αij(T-T0)

(7)

假如物體受到約束，以至于當溫度從T0變化到T時，εij=0，則物體內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力：

σij=-βij(T-T0)

(8)

αij和βij是材料常數(shù)的對稱張量，在溫度T0下分別由零應(yīng)力狀態(tài)和零應(yīng)變狀態(tài)測得。

將方程(7)與方程(8)結(jié)合，得到熱彈性理論的杜哈姆-諾依曼(Duhamel-Neumann)定律：

σij=Cijklekl-βij(T-T0)

對于各向同性材料，二階張量βij也必是各向同性的，可以得到：

其中：α為材料的線性膨脹系數(shù)，△T=T-T0為溫度的改變量，得到熱本構(gòu)方程：

(9)

同樣可以得到應(yīng)變能函數(shù)W：

4 薄球殼非線性應(yīng)力

根據(jù)假設(shè)，我們可以寫出球殼的應(yīng)力張量和應(yīng)變張量：

進而可以寫出E的3個主跡I1I2I3分別為：

這樣，將K、E及E的三個主跡I1I2I3帶入到方程(5)中，可以得到：

記：a1=k3+3k4+3k5,a2=k1+2k2,a3=k3+k4,a4=k1,a5=2k4+3k5

此時，本構(gòu)方程系數(shù)再次簡化為5個：

從將三維問題轉(zhuǎn)為二維問題的目的出發(fā)，可將位移和應(yīng)變進行簡化，為此在板殼理論中簡化計算應(yīng)力時，引入沿板殼厚度的積分來表示力與力矩[7-9]，再結(jié)合上述結(jié)論，可以得到薄球殼非線性內(nèi)力及內(nèi)矩分量：

同樣，將K、E及E的三個主跡I1I2I3帶入到方程(9)中，可以得到薄殼熱應(yīng)力：

記：b0=k2T+k6T2,b1=3k5+k4+3k9,b2=k1+k7T+2(k3+k8T),b3=k4+k5,b4=k1+k7T,b5=2k5+3k9,b6=k5，其中，b1=b3+b5，以T代表△T.

此時，本構(gòu)方程系數(shù)簡化為6個：

同樣可以得到薄球殼非線性熱內(nèi)力及內(nèi)矩分量：

5 結(jié)論

本文用含有高階彈性張量的張量多項式分別表示以應(yīng)變?yōu)閱巫兞恳约皯?yīng)變和溫度為雙變量的應(yīng)力張量函數(shù)。在各向同性情況下，推導出了薄球殼的非線性本構(gòu)方程和非線性熱應(yīng)力本構(gòu)方程，得到如下結(jié)論：

(1)對于各向同性材料，在n=3時，2n階彈性張量獨立分量有5個，與文獻[3]的結(jié)論一致；

(2)非線性熱應(yīng)力本構(gòu)方程比非線性本構(gòu)方程多了一個獨立常數(shù)，主要因為增加了一個關(guān)于溫度T的常數(shù)；

(3)對于非線性熱應(yīng)力本構(gòu)方程，若不考慮溫度與應(yīng)變二次項，與文獻[3]中的本構(gòu)方程完全相同。

參考文獻：

[1] 周利，黃義.薄殼非線性穩(wěn)定理論的最新發(fā)展[J].建筑鋼結(jié)構(gòu)進展，2006，8(4)：23-32.

[2] 黃義，黃會榮，何芳社.彈性殼的線性理論[M].北京：科學出版社，2007.

[3] 李忱.超彈性體非線性本構(gòu)理論[M].北京：國防工業(yè)出版社，2012.

[4] RIVLIN R S.Non-linear Continuum Theories in Mechanics and Physics and their Applications[M].Edizioni Cremonese，Rome，1969.

[5] 王壽梅，徐明，李寧.非線性彈性材料的三階本構(gòu)方程[J].北京航空航天大學學報，2002，28(4)：402-404.

[6] 趙麗，李忱.非線性各向同性彈性材料熱應(yīng)力本構(gòu)方程[J].應(yīng)用數(shù)學與力學，2013，34(2)：183-189.

[7] 黃克智，盧明萬，薛明得.彈性薄殼理論[M].北京：高等教育出版社，1985.

[8] 吳連元.板殼穩(wěn)定性理論[M].武漢：華中理工大學出版社，1996.

[9] 韓強，黃小清，寧建國.高等板殼理論[M].北京：科學出版社，2002.