梁培根，孫大剛，李占龍，高 蓬

(太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

約束阻尼層具有高效、可靠的減振特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于車輛、潛艇艦船、航空航天等振動(dòng)噪聲控制領(lǐng)域。實(shí)際工程應(yīng)用中，常根據(jù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)情況在若干位置敷設(shè)約束阻尼層，即為局部約束阻尼層。然而，阻尼層增大了結(jié)構(gòu)質(zhì)量，不利于輕量化設(shè)計(jì)。為使一定質(zhì)量的約束阻尼層產(chǎn)生最佳的減振效果，需對其進(jìn)行優(yōu)化。

材料確定后，局部約束阻尼層的減振效果與阻尼塊的敷設(shè)位置、厚度參數(shù)密切相關(guān)[1]。Subramanian等[2]通過計(jì)算轎車光板復(fù)合模態(tài)應(yīng)變能分布情況，對約束阻尼層位置與尺寸進(jìn)行優(yōu)化。敷設(shè)阻尼層后的結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能分布并不相同，以原結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能分布來確定敷設(shè)位置不是最佳。鄭玲、郭中澤、王明旭、Alvelid等[3-6]分別采用優(yōu)化準(zhǔn)則法、漸近結(jié)構(gòu)拓?fù)浞ā⒆兠芏确?、改進(jìn)梯度法，對約束阻尼層材料布局進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，得到了阻尼材料最優(yōu)分布形狀。Chia等[7]采用細(xì)胞自動(dòng)機(jī)算法，研究了平板約束阻尼層的最佳粘貼位置問題。拓?fù)鋬?yōu)化及細(xì)胞自動(dòng)機(jī)算法僅能優(yōu)化阻尼層的敷設(shè)位置，忽略了阻尼層厚度參數(shù)對其拓?fù)湫螤畹挠绊?，且在?shí)際應(yīng)用中計(jì)算量較大。楊加明等[8]采用改進(jìn)遺傳算法，優(yōu)化了多層黏彈性復(fù)合結(jié)構(gòu)的厚度參數(shù)。遺傳算法全局搜索能力強(qiáng)，而收斂速度較慢。

具有多個(gè)阻尼塊的局部約束阻尼層，設(shè)計(jì)變量多，僅優(yōu)化單一變量并不能獲得最佳解。本文綜合考慮敷設(shè)位置與厚度參數(shù)對局部約束阻尼層減振效果的影響，仿照生物生長過程，提出了一種局部約束阻尼層耗散率一致化優(yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)了對約束阻尼層敷設(shè)位置和厚度參數(shù)的綜合優(yōu)化。通過四邊簡支板的算例，證明了該方法的可行性和有效性。

1 局部約束阻尼層優(yōu)化

1.1 損耗因子關(guān)于質(zhì)量的靈敏度

約束阻尼層由基層、阻尼層、約束層構(gòu)成。根據(jù)模態(tài)應(yīng)變能理論[9]，忽略約束層和基層材料損耗因子，則局部約束阻尼層的第r階模態(tài)損耗因子為：

(1)

i號阻尼塊的第r階模態(tài)最大損耗因子關(guān)于質(zhì)量的靈敏度可按下式計(jì)算:

(2)

隨著阻尼層及約束層厚度的增大，結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子增速逐漸減小[10]，約束阻尼層的耗散率逐漸減小。因此，阻尼塊的耗散率總體上是其質(zhì)量的單調(diào)遞減函數(shù)，且不同阻尼塊在質(zhì)量相同時(shí)的耗散率不同。圖1為不同阻尼塊的耗散率隨其質(zhì)量的變化情況。

圖1 耗散率隨質(zhì)量的變化趨勢Fig.1 The tendency of dissipation rate with mass

1.2 優(yōu)化模型

為使整個(gè)約束阻尼層減振效果最好，以附加阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量為約束條件，將結(jié)構(gòu)表面劃分為n塊區(qū)域，從中選擇最優(yōu)的若干區(qū)域，敷設(shè)多個(gè)厚度參數(shù)為最佳的阻尼塊。當(dāng)附加阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量較小時(shí)，可認(rèn)為，各阻尼塊一起敷設(shè)時(shí)的最佳厚度參數(shù)近似為單個(gè)阻尼塊單獨(dú)敷設(shè)時(shí)的最佳厚度參數(shù)。

通過優(yōu)化各阻尼塊的敷設(shè)位置及厚度參數(shù)，使結(jié)構(gòu)的第r階模態(tài)損耗因子最大化的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可表示為式(3)：

(3)

2 耗散率一致化優(yōu)化

2.1 優(yōu)化方法

Roux認(rèn)為生物生長及進(jìn)化的方向是用體積最小、質(zhì)量最輕的結(jié)構(gòu)來承受最大的外力或完成一定的功能[11]。結(jié)構(gòu)優(yōu)先生長承受最大載荷的地方，而承受較小載荷的地方得不到生長，最終得到強(qiáng)度均勻的結(jié)構(gòu)。參考結(jié)構(gòu)拓?fù)溥M(jìn)化法[12]，采用多次“生長”的方式設(shè)計(jì)局部約束阻尼層，確保局部最佳參數(shù)趨近于整體最佳參數(shù)。

在原阻尼結(jié)構(gòu)上，以耗散率為準(zhǔn)則評價(jià)各阻尼塊在生長時(shí)是“高效的”或“低效的”，優(yōu)先在耗散率最大、獲得最大模態(tài)損耗因子的位置“生長”，使各個(gè)阻尼塊耗散率一致化，逐步增加約束阻尼層，重復(fù)以上步驟，直至附加阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量滿足設(shè)計(jì)要求，即是局部約束阻尼層耗散率一致化優(yōu)化方法。

下面用反證法證明局部約束阻尼層耗散率一致化優(yōu)化的可行性。

假設(shè)局部約束阻尼層阻尼塊的總數(shù)為k，且各阻尼塊的耗散率相等。

阻尼塊的附加總質(zhì)量為：

mt=m1+m2+…+mk

(4)

耗散率相等時(shí)，阻尼結(jié)構(gòu)整體的模態(tài)損耗因子為：

(5)

將2號、k號阻尼塊的質(zhì)量分別減小、增大△m后，各阻尼塊的耗散率不相等。

各阻尼塊的附加總質(zhì)量為：

mt=m1+(m2-△m)+…+(mk+△m)

(6)

耗散率不相等時(shí)，阻尼結(jié)構(gòu)整體的模態(tài)損耗因子為：

(7)

由約束阻尼層的耗散率隨質(zhì)量的關(guān)系可知，在(m2-△m，m2)、(mk-△m，mk)生長階段，2號阻尼塊的耗散率大于k號阻尼塊的耗散率。

可見，局部約束阻尼層各阻尼塊耗散率不相等時(shí)的結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子較小。因此，本文所提耗散率一致化設(shè)計(jì)在理論上是可行的，可使局部約束阻尼層具有最佳的減振效果。

2.2 優(yōu)化步驟

局部約束阻尼層耗散率一致化優(yōu)化方法的流程圖見圖2，具體步驟如下：

圖2 局部約束阻尼層耗散率一致化優(yōu)化流程Fig.2 The optimization flow chart of partial CLDdissipation rate unification

(1)建立局部約束阻尼層結(jié)構(gòu)的有限元模型；

(2)設(shè)定附加阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量、生長階段數(shù)、各個(gè)生長階段生長步長；

(3)按式(2)，采用模態(tài)應(yīng)變能法及全局差分法，分析指定生長階段內(nèi)各個(gè)阻尼塊單獨(dú)敷設(shè)時(shí)耗散率對質(zhì)量的靈敏度，同時(shí)得各個(gè)阻尼塊的最佳厚度參數(shù)及其質(zhì)量的關(guān)系；

(4)采用多項(xiàng)式函數(shù)擬合步驟(3)所得數(shù)據(jù)點(diǎn)，得質(zhì)量、耗散率、最佳厚度參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系；

(5)定義初始的一致化耗散率，根據(jù)步驟(4)中耗散率與質(zhì)量的關(guān)系，通過逐漸減小或增大一致化耗散率，得到滿足單個(gè)生長步長的質(zhì)量要求、各阻尼塊一致化的耗散率；

(6)如果某阻尼塊的耗散率小于一致化的耗散率，則說明此阻尼塊是“低效”的，不應(yīng)在該位置敷設(shè)阻尼塊，從而實(shí)現(xiàn)對局部約束阻尼層敷設(shè)位置的優(yōu)化；

(7)根據(jù)步驟(4)的函數(shù)關(guān)系，得所選敷設(shè)位置上各阻尼塊的質(zhì)量及最佳厚度參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對各個(gè)阻尼塊厚度參數(shù)的優(yōu)化；

(8)按設(shè)計(jì)結(jié)果敷設(shè)約束阻尼層，計(jì)算結(jié)構(gòu)損耗因子；

(9)判斷是否滿足附加阻尼結(jié)構(gòu)質(zhì)量約束條件。如果不滿足約束條件，重復(fù)步驟(3)～(8)繼續(xù)“生長”；如果滿足約束條件，則結(jié)束。

3 算例

3.1 有限元模型

板結(jié)構(gòu)是阻尼減振應(yīng)用對象的基本結(jié)構(gòu)形式。通過研究約束阻尼板的振動(dòng)特性，可為具體設(shè)備的減振工程提供參考。本文以基層四邊簡支的阻尼板為研究對象。

板長360 mm，寬270 mm，厚1 mm.基層和約束層的材料均為鋁材，彈性模量68.9 GPa，泊松比0.33，密度2740 kg/m3，忽略損耗因子；阻尼材料為橡膠，彈性模量44 MPa，泊松比0.495，密度999 kg/m3，損耗因子0.88.

按6×6將板均勻分隔為36塊，采用Solid185單元并打開增強(qiáng)應(yīng)變及混合模式以模擬橡膠材料，采用多點(diǎn)約束模擬層間接觸[13]。為確保約束阻尼層的工藝性，阻尼層和約束層最小厚度分別定為0.2 mm、0.1 mm.局部約束阻尼板模型見圖3.

3.2 不同質(zhì)量時(shí)約束阻尼層的一致化優(yōu)化

以四分之一模型上的阻尼塊為設(shè)計(jì)對象，其他位置按對稱性設(shè)計(jì)。以約束阻尼板的第一階模態(tài)為被控模態(tài)。各個(gè)生長階段步長均為0.01 kg.采用局部約束阻尼層耗散率一致化優(yōu)化方法，得到不同附加阻尼質(zhì)量的局部約束阻尼層的敷設(shè)位置及各個(gè)阻尼塊的質(zhì)量如表1所示。局部約束阻尼層的減振效果見圖4.

圖3 局部約束阻尼板模型Fig.3 Model of partial constrained damping plate

表1 不同質(zhì)量時(shí)的耗散率一致化優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Results of dissipation rate unification optimizationof CLDs with different weights

由表1可見，局部約束阻尼層附加阻尼質(zhì)量不同時(shí)，阻尼塊的敷設(shè)位置及其質(zhì)量不同。具體分析如下：

(1)隨著局部約束阻尼層附加阻尼質(zhì)量的增大，結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子從質(zhì)量為0.003 kg時(shí)的0.050，逐漸增大，質(zhì)量為0.06 kg時(shí)為0.458，而增速如圖3所示，呈逐漸放緩趨勢，同文獻(xiàn)[10]一致；一致化的耗散率從質(zhì)量為0.003 kg時(shí)的19.51，逐漸降低，質(zhì)量為0.06 kg時(shí)僅為3.96.可見，附加阻尼質(zhì)量越大，單位質(zhì)量阻尼層的減振效果越差，材料利用率相對較低。因此，在滿足減振要求的前提下，應(yīng)避免在結(jié)構(gòu)上敷設(shè)過多的約束阻尼層。

(2)隨著附加阻尼質(zhì)量從0.003 kg增大至0.06 kg，局部約束阻尼層的最佳敷設(shè)位置從質(zhì)量為0.003 kg時(shí)的9號位，逐漸擴(kuò)展至質(zhì)量為0.06 kg時(shí)的1、2、4、5、6、8及9號位， 而且可以預(yù)測如果附加阻尼質(zhì)量繼續(xù)增大，所有位置均為最佳位置?；鶎拥谝浑A模態(tài)應(yīng)變能密度如圖5所示。1、9號位的應(yīng)變能密度較高，而3、7號位的應(yīng)變能密度較低?？梢姡S著附加阻尼質(zhì)量的增大，局部約束阻尼層的敷設(shè)位置從應(yīng)變能密度較高區(qū)域向較低區(qū)域擴(kuò)展，敷設(shè)面積隨之增大。

圖4 不同優(yōu)化方法的效果Fig.4 The effects of different optimization methods

(3)單個(gè)阻尼塊的質(zhì)量基本上是隨著附加阻尼質(zhì)量的增大而增大的，而且應(yīng)變能密度越大，阻尼塊質(zhì)量也越大，但二者并不是成正比例關(guān)系，原因是附加阻尼改變了基層模態(tài)應(yīng)變能密度分布。

圖5 應(yīng)變能密度分布情況Fig.5 The reflection of strain energy density

作為對比，采用同樣的約束阻尼板有限元模型，對全覆蓋約束阻尼層的厚度參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得全覆蓋約束阻尼層的最佳厚度參數(shù)，其減振效果見圖4.

由圖4可見，相比全覆蓋優(yōu)化，耗散率一致化優(yōu)化的局部約束阻尼層的模態(tài)損耗因子在不同質(zhì)量下均得到了不同程度的提高，具有更好的減振效果。質(zhì)量為0.003 kg、0.01 kg時(shí)，無法實(shí)現(xiàn)約束阻尼層全覆蓋敷設(shè)。質(zhì)量為0.02 kg時(shí)，耗散率一致化阻尼層的模態(tài)損耗因子提高了78.5%；而質(zhì)量為0.06 kg時(shí)，模態(tài)損耗因子提高了22.0%.可見，約束阻尼層的質(zhì)量越小，耗散率一致化優(yōu)化效果更好。原因是質(zhì)量較大時(shí)，約束阻尼層全覆蓋優(yōu)化與耗散率一致化優(yōu)化的敷設(shè)位置大體相同，而且阻尼塊自身耗散率較低，對厚度參數(shù)不敏感。因此，耗散率一致化優(yōu)化可實(shí)現(xiàn)敷設(shè)位置和厚度參數(shù)的優(yōu)化，且非常適用于質(zhì)量較小的阻尼層設(shè)計(jì)。

3.3 不同生長方式對損耗因子的影響

為討論不同生長方式對約束阻尼板模態(tài)損耗因子的影響，設(shè)計(jì)質(zhì)量為0.06 kg時(shí)，采用相同的生長步長，得不同生長段數(shù)時(shí)，約束阻尼板模態(tài)損耗因子如圖6所示；設(shè)計(jì)質(zhì)量為0.06 kg時(shí)，生長段數(shù)為2，單個(gè)生長步長不同時(shí)的約束阻尼層模態(tài)損耗因子如圖7所示。

圖6 生長段數(shù)對模態(tài)損耗因子的影響Fig.6 The effect of different growth times onmodal loss factor

由圖6可見，約束阻尼板模態(tài)損耗因子隨著生長段數(shù)的增多而增大，而增速逐漸降低。原因是，設(shè)計(jì)質(zhì)量一定時(shí)，生長段數(shù)越多，步長越小，增加的約束阻尼層對基層的動(dòng)力學(xué)影響小，單個(gè)約束阻尼塊的最佳設(shè)計(jì)趨近于整體敷設(shè)時(shí)的最佳設(shè)計(jì)，優(yōu)化效果越好。生長段數(shù)已較大時(shí)，單步增加的質(zhì)量極小，不同生長段數(shù)的設(shè)計(jì)結(jié)果基本無差異，增加生長段數(shù)已沒有意義。因此，在滿足計(jì)算精度下，應(yīng)取較小的生長步長，但不應(yīng)過分追求小步長。

由圖7可見，隨著第1步步長的增大，約束阻尼板模態(tài)損耗因子先增大，后減小存在最佳值。原因是，整個(gè)約束阻尼層各阻尼塊的耗散率由最后一步的生長過程決定。最后一步的生長步長越小，單個(gè)約束阻尼塊的最佳設(shè)計(jì)越趨近于整體敷設(shè)時(shí)的最佳設(shè)計(jì)。第1步生長步長為0.05 kg時(shí)，第一步步長過大，各阻尼塊的耗散率已經(jīng)較為分散；最后一步進(jìn)化步長雖小，但仍不能使耗散率一致，約束阻尼板模態(tài)損耗因子并不是最大。因此，應(yīng)用時(shí)，應(yīng)將取若干不同的生長步長，先按較大步長開始生長，后按較小步長生長。

圖7 生長步長對模態(tài)損耗因子的影響Fig.7 The effect of different growth step sizes onmodal loss factor

4 結(jié)論

(1)局部約束阻尼層耗散率一致化優(yōu)化方法是可行的，可同時(shí)對敷設(shè)位置和厚度參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，能顯著提高約束阻尼層的減振效果，可用于減振工程中局部約束阻尼層的設(shè)計(jì)及其優(yōu)化。

(2)局部約束阻尼層的質(zhì)量約束條件不同，其敷設(shè)位置及各阻尼塊質(zhì)量不同，且質(zhì)量越大，敷設(shè)面積越大，敷設(shè)位置從應(yīng)變能密度最大處逐漸擴(kuò)展至應(yīng)變能密度較小的區(qū)域。同時(shí)，應(yīng)變能密度越大，阻尼塊質(zhì)量相應(yīng)越大。

(3)適當(dāng)?shù)纳L段數(shù)及合理的生長順序既能保證優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性，又能減少計(jì)算量，可采用先大步長、后小步長的兩段式生長方式。

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