王銳　胡安國　丁杰　陳萬培

摘 要： 討論了一個四節(jié)點無線網(wǎng)絡，并將該四節(jié)點無線網(wǎng)絡劃分MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative模型。討論了四種不同模型的DMT上界。理論結(jié)果表明該模型可獲得的最大分集值為4，最大復用值為2；協(xié)作可以有效地提高系統(tǒng)的分集值或者復用值，但是，協(xié)作并不能完全模擬MIMO系統(tǒng)。當復用增益較低時，協(xié)作模型與MIMO模型具有相同的DMT。當復用增益較高時，受復用增益的限制，分集增益為零。

關鍵詞： MIMO； 多址接入信道； 廣播信道； 協(xié)作信道； 分集復用折中

中圖分類號： TN92?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）09?0030?04

0 引 言

在無線通信中，衰減降低了通信的可靠性。Multiple?input Multiple?out（MIMO）系統(tǒng)通過引入空間分集來抵抗衰減，有效的提高了無線通信的可靠性。同時，MIMO還可以利用空間散射環(huán)境來增加空間復用。然而，許多移動設備的體積限制了它只能使用單天線，限制了MIMO的應用。單天線設備在多用戶場景中通過協(xié)作通信產(chǎn)生虛擬的MIMO 系統(tǒng)[1?2]。文獻[3?4]表明多用戶之間的協(xié)作可以增加無線通信的可靠性和傳輸速率。因此，使用協(xié)作是無線通信的一種有效選擇。

MIMO系統(tǒng)比協(xié)作系統(tǒng)具有優(yōu)勢。在MIMO系統(tǒng)中，編碼可以在發(fā)送端（接收端）天線中瞬時計算并應用，而在協(xié)作通信中，協(xié)作節(jié)點并不知道其他協(xié)作點的信息，協(xié)作節(jié)點之間需要通過無線終端相互交換信息。因此，MIMO模型與廣播模型、多址接入模型、協(xié)作模型是否具有相同的Diversity?Multiplexing Tradeoff （DMT）引起了人們的興趣。在文獻[5]中，作者研究了[2×2]節(jié)點的MIMO Channel，MAC Channel，Broadcast Channel，Cooperative Channel的分集增益。在文獻[6]中，作者研究了協(xié)作分集中的相關協(xié)議與中斷表達。一個信源，兩個中繼，一個信宿的四節(jié)點協(xié)作網(wǎng)絡的DM在文獻[7]中得到研究。在文獻[8]中，作者研究了雙天線中繼網(wǎng)絡的DMT。兩個信源協(xié)作，兩個信宿協(xié)作的[2×2]協(xié)作網(wǎng)絡的分集復用折中在文獻[7，9]中得到研究。

本文研究一個四節(jié)點[2×2]的無線網(wǎng)絡。MIMO模型通過去掉發(fā)送端兩節(jié)點之間的聯(lián)系后變?yōu)镸AC模型；MIMO模型去掉接收端兩節(jié)點之間的聯(lián)系變?yōu)锽roadcast模型；將一單節(jié)點的雙天線變?yōu)閮蓚€節(jié)點的單天線協(xié)作則MIMO模型變?yōu)榱藚f(xié)作模型。本文主要研究這四種模型的DMT（Diversity?Multiplexing Tradeoff），探討四種模型是否具有相同的DMT。

1 準備知識和模型

首先介紹分集增益與復用增益的定義。分集增益[d（r）]和復用增益分別定義為：

[d（r）=-limSNR→∞logPeSNRlog SNR] （1）

[r=limSNR→∞R（T）SNRlogSNR] （2）

分集增益描述了錯誤概率的可能性隨著信噪比的增加而降低的速度。復用增益描述了系統(tǒng)的傳輸速率隨著信噪比的增加而增加的速度。文獻[10]證明了錯誤概率受中斷概率控制，因此，在本文的后面主要考慮中斷概率。

文獻[10]提出，MIMO系統(tǒng)能同時提供分集增益和復用增益，并且這兩種增益之間存在著定量的折中關系。要獲得較高的復用增益，必然要以犧牲分集增益作為代價，反之亦然。

其次，介紹兩個重要的引理。引理1來自文獻[9]，引理2來自文獻[10]。

[引理1：]假設網(wǎng)絡中有[m]個節(jié)點，對每一個[{1，2，…，m}，]定義割集[dCi（r（Ci））]的最大分集值為：

[dCi（r（Ci））=-limSNR→∞log minp（x1，x2，…，xm）P（ICi

則，最大網(wǎng)絡分集[d（r-）]上限是：

[d（r-）≤mini{dCi（r（Ci））}] （4）

[引理2：]假設[l≥m+n+1]，最佳折中曲線[d*（r）]是連接點[（r，d*（r））（r=0，1，…，min（m，n））]的分段線性函數(shù)，其中：

[d*（r）=（m-r）（n-r）]

特別地：

[d*max=mn， r*max=min{m，n}]

其中，[m]為發(fā)送天線數(shù)，[n]為接收天線數(shù)，[l]為任意編碼方案的塊長。

本文以下部分對于一個[m×n]的MIMO系統(tǒng)，使用：

[dmn（r）=（m-r）（n-r）]

最后介紹本文研究的模型。一個四節(jié)點[2×2]無線網(wǎng)絡如圖1所示。發(fā)射端（接收端）的兩個節(jié)點可以是一個雙天線節(jié)點；也可以是兩個獨立不相關的單天線節(jié)點；或者是存在協(xié)作的兩個獨立單天線節(jié)點。

本文后面的理論分析基于如下假設：

（1） 假設信道為無記憶的，即任意時刻的輸出僅依賴于當時的輸入，而與以往的輸入條件獨立。

（2） 假設中繼采用全雙工方式。

（3） 假設信源不知道信道狀態(tài)信息，中繼知道部分信道狀態(tài)信息，信宿知道全部信道狀態(tài)信息。

圖1 四節(jié)點無線網(wǎng)絡

2 四節(jié)點不同模型

本節(jié)主要證明MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative四種模型的DMT。討論四種模型是否具有相同的DMT。

2.1 MIMO

首先，將發(fā)射端（接收端）兩節(jié)點看作是一雙天線單信源（信宿）。則，圖1中MIMO Channel變?yōu)槿鐖D2所示。假設發(fā)送端發(fā)送的信號為[X=[X1，X2]T，]接收端接收的信號為[Y，]信道增益矩陣為[HSD。]

圖2 四節(jié)點MIMO

則：

[Y=HSD?X+Z] （5）

其中[Z]為獨立的復高斯隨機變量，且[Z～N（0，1）]。假設[E[XH1?X1]≤P1，E[XH2?X2]≤P2。]

定理1：四節(jié)點無線網(wǎng)絡為MIMO模型時，如圖1所示，可獲得最佳DMT為：

[d（r）=d22（r）=（2-r）（2-r）] （6）

在文獻[11]中，作者證明了DMT的上限為割集的上限。因此，討論割集[T。]

[ICT=I（X；Y）] （7）

由文獻[9]知：

[ICT≤I′CT=logI2+HSD?HHSD（P1+P2）] （8）

公式（3）變形得到：

[P（I′CT

根據(jù)引理1知：

[d（r）=d22（r）=（2-r）（2-r）] （10）

2.2 MAC

將發(fā)射端兩節(jié)點之間的聯(lián)系斷開，使發(fā)射端兩節(jié)點成為兩個獨立單天線節(jié)點，且不相關。則四節(jié)點無線網(wǎng)絡變?yōu)镸AC模型，如圖3所示。假設節(jié)點1為用戶[S1，]發(fā)送信號[X1；]節(jié)點2為用戶[S2，]發(fā)送信號[X2。]接收端（信宿[D]）兩個節(jié)點組成一個雙天線單節(jié)點，接收信號為[Y。][HS1D，HS2D]用戶[S1]與信宿、用戶[S2]與信宿之間的信道增益矩陣。則：

[Y=HS1D?X1+HS2D?X2+Z] （11）

其中，[Z]為獨立的復高斯隨機變量，且[Z～N（0，1）]。假設[E[XH1?X1]≤P1，E[XH2?X2]≤P2。]

圖3 四節(jié)點MAC

定理2：四節(jié)點無線網(wǎng)絡為MAC模型時，如圖3所示，可獲得最佳DMT為：

[d（r）=d12（r）=（1-r）（2-r）] （12）

根據(jù)文獻[11]，討論的割集有[T1，T2，T3。]

[ICT1=I（X1；YX2）] （13）

[ICT2=I（X2；YX1）] （14）

[ICT3=I（X1，X2；Y）] （15）

由文獻[9]知：

[ICT1≤I′CT1=logI2+HS1D?HHS1DP1] （16）

[ICT2≤I′CT2=logI2+HS2D?HHS2DP2] （17）

[ICT3≤I′CT3=logI2+HS1S2，D?HHS1S2，D（P1+P2）] （18）

其中[HS1S2，D=[HS1DHS2D]。]

公式（3）的變形得到：

[P（I′Ci

[d′CT1=d12（r）] （20）

[d′CT2=d12（r）] （21）

[d′CT3=d22（r）] （22）

根據(jù)引理[1]知：

[d（r）=d12（r）=（1-r）（2-r）] （23）

2.3 Broadcast

將接收端兩節(jié)點之間的聯(lián)系斷開，使接收端兩節(jié)點成為兩個獨立的單天線節(jié)點，且相互之間無關聯(lián)。則，四節(jié)點無線網(wǎng)絡模型變?yōu)锽roadcast模型，如圖4所示。假設發(fā)送端（記為[S]）的發(fā)送信號為[X=[X1，X2]T，]接收端（信宿）的接收信號為[Y1][（D1]節(jié)點），[Y2][（D2]節(jié)點），[S]到[D1，][S]到[D2]的信道增益矩陣分別為[HSD1，HSD2。]

圖4 四節(jié)點Broadcast

則：

[Y1=HSD1?X+Z1] （24）

[Y2=HSD2?X+Z2] （25）

其中，[Z1，Z2]為獨立的復高斯隨機變量，且[Z1（Z2）～N（0，1）]。假設[E[XH1?X1]≤P1，E[XH2?X2]≤P2。]

定理3：四節(jié)點無線網(wǎng)絡為Broadcast模型時，如圖4所示，可獲得最佳DMT為：

[d（r）=d12（r）=（1-r）（2-r）] （26）

根據(jù)文獻[11]，討論的割集有[T1，T2，T3。]

[ICT1=I（X；Y1Y2）] （27）

[ICT2=I（X；Y1）] （28）

[ICT3=I（X；Y2）] （29）

由文獻[9]知：

[ICT1≤I′CT1=logI2+HS，D1D2?HHS，D1D2（P1+P2）] （30）

[ICT2≤I′CT2=logI+HSD1?HHSD1（P1+P2）] （31）

[ICT3≤I′CT3=logI+HSD2?HHSD2（P1+P2）] （32）

其中，[HS，D1D2=[HSD1HSD2]T。]

公式（3）的變形得到：[P（I′Ci

[d′CT1=d22（r）] （34）

[d′CT2=d12（r）] （35）

[d′CT3=d12（r）] （36）

根據(jù)引理1知：

[d（r）=d12（r）=（1-r）（2-r）] （37）

2.4 Cooperative and DMT

首先引用一個四節(jié)點協(xié)作網(wǎng)絡的引理3，然后給出MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative 模型的DMT。

將兩個發(fā)送節(jié)點看作是兩個獨立的單天線協(xié)作信源，兩個接收節(jié)點看作是獨立的單天線協(xié)作信宿，如圖5所示。

圖5 四節(jié)點協(xié)作

引理3：四節(jié)點無線網(wǎng)絡為Cooperative模型時，如圖5所示，如果系統(tǒng)非成簇，可獲得最佳DMT為：

[d（r）=d13（r）=（1-r）（3-r）] （38）

如果系統(tǒng)成簇，可獲得最佳DMT為：

[d（r）=d22（r）=（2-r）（2-r）， 0≤r≤1] （39）

圖6 DMT

上述結(jié)論的分集復用折中圖，如圖6所示。從圖中可以看出，四節(jié)點無線網(wǎng)絡可獲得的最大分集值為4；MAC，Broadcast模型可獲的的最大分集值為2；Cooperative模型在非成簇（nonclustered）時可獲得的最大分集值為3；雖然Cooperative模型和MIMO模型可獲得的最大分集值都是4，但是，Cooperative模型可獲得的最大復用值只能是1。

3 結(jié) 論

本文研究了一個四節(jié)點無線網(wǎng)絡模型，將這4個節(jié)點根據(jù)不同的組合分為MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative模型，并證明這四種模型可獲得的最佳DMT。通過理論證明和折中圖的對比，可以發(fā)現(xiàn)，協(xié)作模型可以在一定范圍內(nèi)與MIMO模型具有相同的DMT，但不能完全等同于MIMO模型。

參考文獻

[1] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. Increasing uplink capacity via user cooperation diversity [C]// Proceedings of 1998 IEEE International Symposium on Information Theory. Cambridge， MA： IEEE， 1998： 156?160.

[2] NOSRATINIA A， HUNTER T E， HEDAYAT A. Cooperative communication in wireless networks [J]. IEEE Communications Magazine， 2004， 42（10）： 74?80.

[3] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. User cooperation diversity， Part I： system description [J]. IEEE Transactions on Communications， 2003， 51（11）： 1927?1938.

[4] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. User cooperation diversity， Part II： implementation aspects and performance analysis [J]. IEEE Transactions on Communications， 2003， 51（11）： 1939?1948.

[5] HOST?MADSEN A， NOSRATINIA A. The multiplexing gain of wireless networks [C] Proceedings of 2005 International Symposium on Information Theory. [S.l.]： IEEE， 2005： 2065?2069.

[6] LANEMAN J N， TSE D N C， WORNELL G W. Cooperative diversity in wireless networks： efficient protocols and outage behavior [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2004， 50（12）： 3062?3080.

[7] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity?multiplexing tradeoff in cooperative wireless systems [C]// Proceedings of 2006 40th Annual Conference on Information Sciences and Systems. [S.l.]： IEEE， 2006： 1062?1067.

[8] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity?multiplexing tradeoff in multiple?antenna relay systems [C]// Proceedings of 2006 IEEE International Symposium on Information Theory. [S.l.]： IEEE， 2006： 1154?1158.

[9] YUKSEL M， ERKIP E. Multiple?antenna cooperative wireless systems： a diversity?multiplexing tradeoff perspective [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2007， 53（10）： 3371?3393.

[10] ZHENG L， TSE D N C. Diversity and multiplexing： a fundamental tradeoff in multiple?antenna channels [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2003， 49（5）： 1073?1096.

[11] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity gains and clustering in wireless relaying [C]// Proceedings of ISIT 2004 International Symposium on Information Theory. New York： IEEE， 2004： 400?410.

2.4 Cooperative and DMT

首先引用一個四節(jié)點協(xié)作網(wǎng)絡的引理3，然后給出MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative 模型的DMT。

將兩個發(fā)送節(jié)點看作是兩個獨立的單天線協(xié)作信源，兩個接收節(jié)點看作是獨立的單天線協(xié)作信宿，如圖5所示。

圖5 四節(jié)點協(xié)作

引理3：四節(jié)點無線網(wǎng)絡為Cooperative模型時，如圖5所示，如果系統(tǒng)非成簇，可獲得最佳DMT為：

[d（r）=d13（r）=（1-r）（3-r）] （38）

如果系統(tǒng)成簇，可獲得最佳DMT為：

[d（r）=d22（r）=（2-r）（2-r）， 0≤r≤1] （39）

圖6 DMT

上述結(jié)論的分集復用折中圖，如圖6所示。從圖中可以看出，四節(jié)點無線網(wǎng)絡可獲得的最大分集值為4；MAC，Broadcast模型可獲的的最大分集值為2；Cooperative模型在非成簇（nonclustered）時可獲得的最大分集值為3；雖然Cooperative模型和MIMO模型可獲得的最大分集值都是4，但是，Cooperative模型可獲得的最大復用值只能是1。

3 結(jié) 論

本文研究了一個四節(jié)點無線網(wǎng)絡模型，將這4個節(jié)點根據(jù)不同的組合分為MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative模型，并證明這四種模型可獲得的最佳DMT。通過理論證明和折中圖的對比，可以發(fā)現(xiàn)，協(xié)作模型可以在一定范圍內(nèi)與MIMO模型具有相同的DMT，但不能完全等同于MIMO模型。

參考文獻

[1] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. Increasing uplink capacity via user cooperation diversity [C]// Proceedings of 1998 IEEE International Symposium on Information Theory. Cambridge， MA： IEEE， 1998： 156?160.

[2] NOSRATINIA A， HUNTER T E， HEDAYAT A. Cooperative communication in wireless networks [J]. IEEE Communications Magazine， 2004， 42（10）： 74?80.

[3] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. User cooperation diversity， Part I： system description [J]. IEEE Transactions on Communications， 2003， 51（11）： 1927?1938.

[4] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. User cooperation diversity， Part II： implementation aspects and performance analysis [J]. IEEE Transactions on Communications， 2003， 51（11）： 1939?1948.

[5] HOST?MADSEN A， NOSRATINIA A. The multiplexing gain of wireless networks [C] Proceedings of 2005 International Symposium on Information Theory. [S.l.]： IEEE， 2005： 2065?2069.

[6] LANEMAN J N， TSE D N C， WORNELL G W. Cooperative diversity in wireless networks： efficient protocols and outage behavior [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2004， 50（12）： 3062?3080.

[7] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity?multiplexing tradeoff in cooperative wireless systems [C]// Proceedings of 2006 40th Annual Conference on Information Sciences and Systems. [S.l.]： IEEE， 2006： 1062?1067.

[8] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity?multiplexing tradeoff in multiple?antenna relay systems [C]// Proceedings of 2006 IEEE International Symposium on Information Theory. [S.l.]： IEEE， 2006： 1154?1158.

[9] YUKSEL M， ERKIP E. Multiple?antenna cooperative wireless systems： a diversity?multiplexing tradeoff perspective [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2007， 53（10）： 3371?3393.

[10] ZHENG L， TSE D N C. Diversity and multiplexing： a fundamental tradeoff in multiple?antenna channels [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2003， 49（5）： 1073?1096.

[11] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity gains and clustering in wireless relaying [C]// Proceedings of ISIT 2004 International Symposium on Information Theory. New York： IEEE， 2004： 400?410.

2.4 Cooperative and DMT

首先引用一個四節(jié)點協(xié)作網(wǎng)絡的引理3，然后給出MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative 模型的DMT。

將兩個發(fā)送節(jié)點看作是兩個獨立的單天線協(xié)作信源，兩個接收節(jié)點看作是獨立的單天線協(xié)作信宿，如圖5所示。

圖5 四節(jié)點協(xié)作

引理3：四節(jié)點無線網(wǎng)絡為Cooperative模型時，如圖5所示，如果系統(tǒng)非成簇，可獲得最佳DMT為：

[d（r）=d13（r）=（1-r）（3-r）] （38）

如果系統(tǒng)成簇，可獲得最佳DMT為：

[d（r）=d22（r）=（2-r）（2-r）， 0≤r≤1] （39）

圖6 DMT

上述結(jié)論的分集復用折中圖，如圖6所示。從圖中可以看出，四節(jié)點無線網(wǎng)絡可獲得的最大分集值為4；MAC，Broadcast模型可獲的的最大分集值為2；Cooperative模型在非成簇（nonclustered）時可獲得的最大分集值為3；雖然Cooperative模型和MIMO模型可獲得的最大分集值都是4，但是，Cooperative模型可獲得的最大復用值只能是1。

3 結(jié) 論

本文研究了一個四節(jié)點無線網(wǎng)絡模型，將這4個節(jié)點根據(jù)不同的組合分為MIMO，MAC，Broadcast，Cooperative模型，并證明這四種模型可獲得的最佳DMT。通過理論證明和折中圖的對比，可以發(fā)現(xiàn)，協(xié)作模型可以在一定范圍內(nèi)與MIMO模型具有相同的DMT，但不能完全等同于MIMO模型。

參考文獻

[1] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. Increasing uplink capacity via user cooperation diversity [C]// Proceedings of 1998 IEEE International Symposium on Information Theory. Cambridge， MA： IEEE， 1998： 156?160.

[2] NOSRATINIA A， HUNTER T E， HEDAYAT A. Cooperative communication in wireless networks [J]. IEEE Communications Magazine， 2004， 42（10）： 74?80.

[3] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. User cooperation diversity， Part I： system description [J]. IEEE Transactions on Communications， 2003， 51（11）： 1927?1938.

[4] SENDONARIS A， ERKIP E， AAZHANG B. User cooperation diversity， Part II： implementation aspects and performance analysis [J]. IEEE Transactions on Communications， 2003， 51（11）： 1939?1948.

[5] HOST?MADSEN A， NOSRATINIA A. The multiplexing gain of wireless networks [C] Proceedings of 2005 International Symposium on Information Theory. [S.l.]： IEEE， 2005： 2065?2069.

[6] LANEMAN J N， TSE D N C， WORNELL G W. Cooperative diversity in wireless networks： efficient protocols and outage behavior [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2004， 50（12）： 3062?3080.

[7] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity?multiplexing tradeoff in cooperative wireless systems [C]// Proceedings of 2006 40th Annual Conference on Information Sciences and Systems. [S.l.]： IEEE， 2006： 1062?1067.

[8] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity?multiplexing tradeoff in multiple?antenna relay systems [C]// Proceedings of 2006 IEEE International Symposium on Information Theory. [S.l.]： IEEE， 2006： 1154?1158.

[9] YUKSEL M， ERKIP E. Multiple?antenna cooperative wireless systems： a diversity?multiplexing tradeoff perspective [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2007， 53（10）： 3371?3393.

[10] ZHENG L， TSE D N C. Diversity and multiplexing： a fundamental tradeoff in multiple?antenna channels [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2003， 49（5）： 1073?1096.

[11] YUKSEL M， ERKIP E. Diversity gains and clustering in wireless relaying [C]// Proceedings of ISIT 2004 International Symposium on Information Theory. New York： IEEE， 2004： 400?410.