黃棟

旋轉(zhuǎn)雖然在初中課本出現(xiàn)的并不多，但是卻經(jīng)常與函數(shù)組合成復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題；許多對數(shù)學(xué)感興趣并且空間思維敏銳的學(xué)生，也經(jīng)常深入分析旋轉(zhuǎn)中的面積問題，并且提出各種各樣的疑問和見解.下面筆者將和大家一起來探究在旋轉(zhuǎn)過程中，線段掃過的面積問題.

首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心位置的不同，把線段的旋轉(zhuǎn)分為三類：旋轉(zhuǎn)中心為線段的端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)中心在線段上，旋轉(zhuǎn)中心在線段之外.

旋轉(zhuǎn)中心為線段的端點(diǎn).如圖1，可以很明顯看出，線段掃過的面積為扇形的面積，從而得出（0°<α≤360°）.（注：本文旋轉(zhuǎn)角α的范圍為0°<α≤360°）

旋轉(zhuǎn)中心在線段的端點(diǎn)之間.通過圖2我們亦可以輕松得出，旋轉(zhuǎn)角度小于180°時，線段掃過的面積為兩塊扇形的面積和.即：S=α360π（BC2+AC2）（0°<α≤180°）.

先看最簡單的圖11，很顯然在旋轉(zhuǎn)角大于等于360°的情況下，陰影區(qū)域?yàn)橐粋€圓環(huán)，這個圓環(huán)可以看做是線段AC所掃出的陰影，因?yàn)榫€段BC被覆蓋，所以在此情況下可以直接當(dāng)線段BC不存在.因此面積為S=π（OA2-OC2）=πAC2（α=360°）.

圖7、8、9、10我們從整體上想象下：用剪刀沿著A′B′（圖10沿著A′E與AC）把陰影分成兩部分，大的部分為線段AC旋轉(zhuǎn)掃過的面積，小的部分為線段BC旋轉(zhuǎn)掃過的沒被大的陰影覆蓋的面積；所以此類面積可以分成兩部分相加.第一部分線段AC掃過的面積為S1=α360π（OA2-OC2）=α360πAC2.圖8、9中第二部分為以O(shè)B為半徑的弓形面積（注：∠BOC=β，這個角必須給出或者可以根據(jù)長度用三角函數(shù)很容易求出，否則面積無法計算）.則弓形面積為：S2=2β360πOB2-OC×BC.只有旋轉(zhuǎn)角在2∠BOC與360°-2∠BOC之間時，第二部分才為一個弓形.所以圖8、9總體的陰影面積為：S=S1+S2（2β≤α≤360°-2β）.〖TPhd-6.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗圖12〖TS）〗

圖7中的第二部分為不規(guī)則圖形，下面單獨(dú)把圖7里面兩個圓的部分放大.如圖12所示，區(qū)域①（弧BB′，線段B′E及線段BE圍合而成）為線段BC掃過還沒有被覆蓋的區(qū)域，區(qū)域②（弧BD′，線段BE及線段ED′圍合而成）為線段BC沒有掃過，線段CD旋轉(zhuǎn)到線段C′D′的位置，也沒有掃到的區(qū)域（即圖7中的空白區(qū)域）.我們發(fā)現(xiàn)區(qū)域①+區(qū)域②就是之前所求過的弓形，所以如果能把區(qū)域②面積求出，那么那個不規(guī)則的區(qū)域①的面積就知道了.

我們知道∠BOD=2β，當(dāng)點(diǎn)D′到達(dá)或超過點(diǎn)B時，區(qū)域②就不存在了，就變成了圖8、9這種情況.所以圖7是在旋轉(zhuǎn)角α<2β的情況下出現(xiàn)的.

下面我們專注于扇形OBD′這個區(qū)域，做EF垂直O(jiān)B與點(diǎn)F.∠BOD′=∠BOD-∠DOD′=2β-α，∠BOE=12（2β-α）=β-α2，∠OBE=90°-∠BOC=90°-β.因?yàn)镺F=EF·cot∠BOE=EF·cot（β-α2），F(xiàn)B=EF·cot∠OBE=EF·cot（90°-β）=EF·tanβ，OF+FB=OB.所以O(shè)B=EF·〖JB（[〗cot（β-α2）+tanβ〖JB）]〗，所以EF=OBtanβ+cot（β-α2）所以區(qū)域②的面積為扇形減去倆三角形：S3=2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）.則區(qū)域①面積為之前所求弓形面積減去區(qū)域②面積：S4=2β360πOB2-OC×BC-〖JB（[〗2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）〖JB）]〗.

所以圖7總的面積為：S=S1+S4（0<α<2β）.

經(jīng)過圖7的分析，后面就簡單多了.圖10與圖7是一模一樣的，剛圖7里面第二塊陰影是空白部分需要減去，在圖10里面，第二塊面積正好是重疊部分，也是需要減去，在這里需要大家注意的只有一件事情，就是α的取值范圍.通過上面分析我們可以得出當(dāng)360°-2β<α<360°時，圖10這種情況就出現(xiàn)了.

因?yàn)椤螧′OD=α+2β-360°，所以∠B′OE=12（α+2β-360°）.

下面只需要把角度改一下，重疊部分的面積就出來了：

S5=α+β-360360πOB2-OB2tanβ+cot（α2+β）.

那么弓形面積-重疊部分就是：endprint

旋轉(zhuǎn)雖然在初中課本出現(xiàn)的并不多，但是卻經(jīng)常與函數(shù)組合成復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題；許多對數(shù)學(xué)感興趣并且空間思維敏銳的學(xué)生，也經(jīng)常深入分析旋轉(zhuǎn)中的面積問題，并且提出各種各樣的疑問和見解.下面筆者將和大家一起來探究在旋轉(zhuǎn)過程中，線段掃過的面積問題.

首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心位置的不同，把線段的旋轉(zhuǎn)分為三類：旋轉(zhuǎn)中心為線段的端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)中心在線段上，旋轉(zhuǎn)中心在線段之外.

旋轉(zhuǎn)中心為線段的端點(diǎn).如圖1，可以很明顯看出，線段掃過的面積為扇形的面積，從而得出（0°<α≤360°）.（注：本文旋轉(zhuǎn)角α的范圍為0°<α≤360°）

旋轉(zhuǎn)中心在線段的端點(diǎn)之間.通過圖2我們亦可以輕松得出，旋轉(zhuǎn)角度小于180°時，線段掃過的面積為兩塊扇形的面積和.即：S=α360π（BC2+AC2）（0°<α≤180°）.

先看最簡單的圖11，很顯然在旋轉(zhuǎn)角大于等于360°的情況下，陰影區(qū)域?yàn)橐粋€圓環(huán)，這個圓環(huán)可以看做是線段AC所掃出的陰影，因?yàn)榫€段BC被覆蓋，所以在此情況下可以直接當(dāng)線段BC不存在.因此面積為S=π（OA2-OC2）=πAC2（α=360°）.

圖7、8、9、10我們從整體上想象下：用剪刀沿著A′B′（圖10沿著A′E與AC）把陰影分成兩部分，大的部分為線段AC旋轉(zhuǎn)掃過的面積，小的部分為線段BC旋轉(zhuǎn)掃過的沒被大的陰影覆蓋的面積；所以此類面積可以分成兩部分相加.第一部分線段AC掃過的面積為S1=α360π（OA2-OC2）=α360πAC2.圖8、9中第二部分為以O(shè)B為半徑的弓形面積（注：∠BOC=β，這個角必須給出或者可以根據(jù)長度用三角函數(shù)很容易求出，否則面積無法計算）.則弓形面積為：S2=2β360πOB2-OC×BC.只有旋轉(zhuǎn)角在2∠BOC與360°-2∠BOC之間時，第二部分才為一個弓形.所以圖8、9總體的陰影面積為：S=S1+S2（2β≤α≤360°-2β）.〖TPhd-6.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗圖12〖TS）〗

圖7中的第二部分為不規(guī)則圖形，下面單獨(dú)把圖7里面兩個圓的部分放大.如圖12所示，區(qū)域①（弧BB′，線段B′E及線段BE圍合而成）為線段BC掃過還沒有被覆蓋的區(qū)域，區(qū)域②（弧BD′，線段BE及線段ED′圍合而成）為線段BC沒有掃過，線段CD旋轉(zhuǎn)到線段C′D′的位置，也沒有掃到的區(qū)域（即圖7中的空白區(qū)域）.我們發(fā)現(xiàn)區(qū)域①+區(qū)域②就是之前所求過的弓形，所以如果能把區(qū)域②面積求出，那么那個不規(guī)則的區(qū)域①的面積就知道了.

我們知道∠BOD=2β，當(dāng)點(diǎn)D′到達(dá)或超過點(diǎn)B時，區(qū)域②就不存在了，就變成了圖8、9這種情況.所以圖7是在旋轉(zhuǎn)角α<2β的情況下出現(xiàn)的.

下面我們專注于扇形OBD′這個區(qū)域，做EF垂直O(jiān)B與點(diǎn)F.∠BOD′=∠BOD-∠DOD′=2β-α，∠BOE=12（2β-α）=β-α2，∠OBE=90°-∠BOC=90°-β.因?yàn)镺F=EF·cot∠BOE=EF·cot（β-α2），F(xiàn)B=EF·cot∠OBE=EF·cot（90°-β）=EF·tanβ，OF+FB=OB.所以O(shè)B=EF·〖JB（[〗cot（β-α2）+tanβ〖JB）]〗，所以EF=OBtanβ+cot（β-α2）所以區(qū)域②的面積為扇形減去倆三角形：S3=2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）.則區(qū)域①面積為之前所求弓形面積減去區(qū)域②面積：S4=2β360πOB2-OC×BC-〖JB（[〗2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）〖JB）]〗.

所以圖7總的面積為：S=S1+S4（0<α<2β）.

經(jīng)過圖7的分析，后面就簡單多了.圖10與圖7是一模一樣的，剛圖7里面第二塊陰影是空白部分需要減去，在圖10里面，第二塊面積正好是重疊部分，也是需要減去，在這里需要大家注意的只有一件事情，就是α的取值范圍.通過上面分析我們可以得出當(dāng)360°-2β<α<360°時，圖10這種情況就出現(xiàn)了.

因?yàn)椤螧′OD=α+2β-360°，所以∠B′OE=12（α+2β-360°）.

下面只需要把角度改一下，重疊部分的面積就出來了：

S5=α+β-360360πOB2-OB2tanβ+cot（α2+β）.

那么弓形面積-重疊部分就是：endprint

旋轉(zhuǎn)雖然在初中課本出現(xiàn)的并不多，但是卻經(jīng)常與函數(shù)組合成復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題；許多對數(shù)學(xué)感興趣并且空間思維敏銳的學(xué)生，也經(jīng)常深入分析旋轉(zhuǎn)中的面積問題，并且提出各種各樣的疑問和見解.下面筆者將和大家一起來探究在旋轉(zhuǎn)過程中，線段掃過的面積問題.

首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心位置的不同，把線段的旋轉(zhuǎn)分為三類：旋轉(zhuǎn)中心為線段的端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)中心在線段上，旋轉(zhuǎn)中心在線段之外.

旋轉(zhuǎn)中心為線段的端點(diǎn).如圖1，可以很明顯看出，線段掃過的面積為扇形的面積，從而得出（0°<α≤360°）.（注：本文旋轉(zhuǎn)角α的范圍為0°<α≤360°）

旋轉(zhuǎn)中心在線段的端點(diǎn)之間.通過圖2我們亦可以輕松得出，旋轉(zhuǎn)角度小于180°時，線段掃過的面積為兩塊扇形的面積和.即：S=α360π（BC2+AC2）（0°<α≤180°）.

先看最簡單的圖11，很顯然在旋轉(zhuǎn)角大于等于360°的情況下，陰影區(qū)域?yàn)橐粋€圓環(huán)，這個圓環(huán)可以看做是線段AC所掃出的陰影，因?yàn)榫€段BC被覆蓋，所以在此情況下可以直接當(dāng)線段BC不存在.因此面積為S=π（OA2-OC2）=πAC2（α=360°）.

圖7、8、9、10我們從整體上想象下：用剪刀沿著A′B′（圖10沿著A′E與AC）把陰影分成兩部分，大的部分為線段AC旋轉(zhuǎn)掃過的面積，小的部分為線段BC旋轉(zhuǎn)掃過的沒被大的陰影覆蓋的面積；所以此類面積可以分成兩部分相加.第一部分線段AC掃過的面積為S1=α360π（OA2-OC2）=α360πAC2.圖8、9中第二部分為以O(shè)B為半徑的弓形面積（注：∠BOC=β，這個角必須給出或者可以根據(jù)長度用三角函數(shù)很容易求出，否則面積無法計算）.則弓形面積為：S2=2β360πOB2-OC×BC.只有旋轉(zhuǎn)角在2∠BOC與360°-2∠BOC之間時，第二部分才為一個弓形.所以圖8、9總體的陰影面積為：S=S1+S2（2β≤α≤360°-2β）.〖TPhd-6.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗圖12〖TS）〗

圖7中的第二部分為不規(guī)則圖形，下面單獨(dú)把圖7里面兩個圓的部分放大.如圖12所示，區(qū)域①（弧BB′，線段B′E及線段BE圍合而成）為線段BC掃過還沒有被覆蓋的區(qū)域，區(qū)域②（弧BD′，線段BE及線段ED′圍合而成）為線段BC沒有掃過，線段CD旋轉(zhuǎn)到線段C′D′的位置，也沒有掃到的區(qū)域（即圖7中的空白區(qū)域）.我們發(fā)現(xiàn)區(qū)域①+區(qū)域②就是之前所求過的弓形，所以如果能把區(qū)域②面積求出，那么那個不規(guī)則的區(qū)域①的面積就知道了.

我們知道∠BOD=2β，當(dāng)點(diǎn)D′到達(dá)或超過點(diǎn)B時，區(qū)域②就不存在了，就變成了圖8、9這種情況.所以圖7是在旋轉(zhuǎn)角α<2β的情況下出現(xiàn)的.

下面我們專注于扇形OBD′這個區(qū)域，做EF垂直O(jiān)B與點(diǎn)F.∠BOD′=∠BOD-∠DOD′=2β-α，∠BOE=12（2β-α）=β-α2，∠OBE=90°-∠BOC=90°-β.因?yàn)镺F=EF·cot∠BOE=EF·cot（β-α2），F(xiàn)B=EF·cot∠OBE=EF·cot（90°-β）=EF·tanβ，OF+FB=OB.所以O(shè)B=EF·〖JB（[〗cot（β-α2）+tanβ〖JB）]〗，所以EF=OBtanβ+cot（β-α2）所以區(qū)域②的面積為扇形減去倆三角形：S3=2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）.則區(qū)域①面積為之前所求弓形面積減去區(qū)域②面積：S4=2β360πOB2-OC×BC-〖JB（[〗2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）〖JB）]〗.

所以圖7總的面積為：S=S1+S4（0<α<2β）.

經(jīng)過圖7的分析，后面就簡單多了.圖10與圖7是一模一樣的，剛圖7里面第二塊陰影是空白部分需要減去，在圖10里面，第二塊面積正好是重疊部分，也是需要減去，在這里需要大家注意的只有一件事情，就是α的取值范圍.通過上面分析我們可以得出當(dāng)360°-2β<α<360°時，圖10這種情況就出現(xiàn)了.

因?yàn)椤螧′OD=α+2β-360°，所以∠B′OE=12（α+2β-360°）.

下面只需要把角度改一下，重疊部分的面積就出來了：

S5=α+β-360360πOB2-OB2tanβ+cot（α2+β）.

那么弓形面積-重疊部分就是：endprint