鐘世萍 楊光俊

(云南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，昆明 650091)

自相似性是分形幾何的一個基本特征，分形的自相似性是指分形的某一個局部在各個方向上按相同的比例放大后其形態(tài)和整體相似。無論怎樣壓縮尺度，這一局部總是存在更精細(xì)的結(jié)構(gòu)，并且其構(gòu)造總是與整體相似。自相似性的產(chǎn)生是由于分形的構(gòu)造過程可簡單地歸為“從初始元變?yōu)樯稍钡倪^程，那么當(dāng)壓縮是相似壓縮時，得到的分形就具有自相似性。用解釋的語言來說，就是迭代函數(shù)系 (IFS)。Huchinson［1－2］中對此已經(jīng)做了詳細(xì)闡述。

Kiko Kawamura［3］考慮了兩個自相似壓縮所得到的二－自相似集的一種分類，并且給出了很多相關(guān)性質(zhì)。當(dāng)三個自相似壓縮的系數(shù)都是實數(shù)時，很多學(xué)者考慮其相關(guān)的性質(zhì)，詳細(xì)見文獻(xiàn) ［4－12］。

本文從泛函方程的角度上，考慮三個自相似壓縮所得到的三－自相似集，根據(jù)三個自相似壓縮取共軛的個數(shù)，給出三－自相似集的一種分類，并利用小數(shù)進(jìn)位制展開的方法，得到各種情形的一種解析表達(dá)。

1 三－自相似集的一種分類

定義1 集合X為三 -自相似集，當(dāng)且僅當(dāng)非空緊集X?C滿足

X= ψ1(X)∪ ψ2(X)∪ ψ3(X)，

其中ψ1，ψ2，ψ3是復(fù)數(shù)C上的相似壓縮。

相似壓縮的定義如下:

設(shè)一個映射ψ:Rn→Rn是相似壓縮［13］當(dāng)且僅當(dāng)存在一個常數(shù)L(ψ)∈(0，1)，使得

根據(jù)三個自相似壓縮取共軛的個數(shù)，三－自相似集主要可以分成以下四種不同情況。第一種情況是三個都不取共軛;第二種是三個都取共軛;第三種是三個中有二個取共軛;第四種是三個中有一個取共軛。在這里，為了研究方便，在考慮三個取二個共軛時，我們只考慮第一和第三個取共軛;在考慮三個取一個共軛時，我們只考慮第二個取共軛。具體如下:

其中復(fù)參數(shù)α，β滿足|α|＜1，|β-α|＜1，|β|＜1。

現(xiàn)在，我們引入下列四個泛函方程。

將上述四個泛函方程 (5)～(8)分別等價于下列泛函方程。

我們注意到 H．Okamoto 和 M．Wunsch［4－5］研究了下列泛函方程

其中 ψ1，ψ2，ψ3滿足式(1)。

Okamoto注意到，F(xiàn)α，β(x)在區(qū)間上［0，1］上連續(xù)，且當(dāng)α，β取不同的值時，F(xiàn)α，β(x)可以與一些著名的函數(shù)聯(lián)系起來。比如說，當(dāng)和時，F(xiàn)α，β(x)分別是 Perkins［7］和 Bourbaki［8］定義的處處不可微函數(shù)(如圖1和圖2示)。同時，當(dāng)時，F(xiàn)α，β(x)是 Cantor－ Lebesgue奇異函數(shù)(如圖3示)。

圖1 perkins函數(shù)

圖2 Bourbaki函數(shù)

圖3 Cantor－Lebesgue函數(shù)

設(shè) x∈［0，1］，將［0，1］之間的數(shù)用0px1x2…xk…(xk∈ {0，1，2，…，p-1})的形式表示出來就叫做 x的p進(jìn)位表示。事實上，所謂p進(jìn)位小數(shù)展開就是將x∈［0，1］表示成級數(shù)形式，即

其中，p稱為小數(shù)進(jìn)位制的“基”，x的第k位小數(shù)xk為該基上的展開系數(shù)。

例如，當(dāng)p=3時，x的3進(jìn)位寫成級數(shù)形式為

其中，xk∈ {0，1，2}。

我們記:αR是α的實部，αⅠ是α的虛部。類似地，記βR和βⅠ分別為β的實部和虛部。pn=#{xi=0:i=

引理 1 設(shè) xi，xi'∈ {0，1，2}，i=1，2，…，n。

(1)當(dāng) x1'=0，xi'=xi-1，i≥2 時，

(2)當(dāng) x1'=1，xi'=xi-1，i≥2 時，

(3)當(dāng) x1'=2，xi'=xi-1，i≥2 時，

證明:(1)當(dāng)i=1 時，則x1'=0，p1'=1;當(dāng)i≥2 時，則pi'=#{xk'=0:k=1，2，…，i}=1+#{xk-1=0:k=2，3，…，i}=1+#{xk=0:k=1，3，…，i-1}=1+pi-1。其余 pi'，ri'，γi'的定義即可得到。(2)、(3)類似可證。

定理2 滿足泛函方程(5)的解是唯一的，并且是有界的，其解析解可以寫為

對于第二個方程，根據(jù)引理1(2)，類擬有

對于第三個方程，根據(jù)引理1(3)，類擬有

接下來，我們來證明唯一性。設(shè)B(Ⅰ)為定義在區(qū)間Ⅰ實有界函數(shù)所組成的Bananch空間，其范數(shù)為。設(shè)

T:B(Ⅰ)→ Ⅰ，g → T(g)，

其中T(g)滿足

因此，T是壓縮因子為c:=max{α，β-α，1-β}的壓縮映射。事實上，我們記hi:=T(gi)，?qi∈B(Ⅰ)，i=1，2，我們?nèi)菀子嬎阌?/p>

根據(jù)壓縮映射原理知，T在Ⅰ上有唯一的不動點。因此，我們有唯一的有界解(x)滿足此泛函方程。

我們考慮滿足泛函方程(7)的一種解析表達(dá)式。

因此，我們得到下面定理。

定理3 滿足泛函方程 (7)的解是唯一的，并且是有界的，其解析解可以寫為

采用類似的方法，我們也能得到G4α，β(x)的解析表達(dá)式。

定理4 滿足泛函方程 (8)存在唯一的，并且是有界的，其解析解可以寫為

［1］Hutchinson J E．Ein einfaches beispiel fur eine funktion welche uberall stetig und nichtdiereezierbar ist［J］．Math hys，1996(13):216 －221．

［2］Hutchinson J E．Fractals and self－ similarity［J］．Indiana University Math Journal，1982，30(5):713 －747．

［3］Kawamura K．On the classification of self－ similar sets determined by two contractions on the plane［J］．J Math Kyoto Univ，2002，42(2):255－286．

［4］Okamoto H．A remark on continuous，nowhere dierentiable functions［J］．Proc Japan Acad Ser A Math Sci，2005，81(3):47 － 50．

［5］Okamoto H，Wunsch M．A geometric construction of continuous，strictly increasing singular functions［J］．Proc Japan Acad Ser A Math Sci，2007，83(7):114 －118．

［6］Sánchez Juan Fernández ，Viader Pelegri，Paradis Jaume，et al．A singular function with a non － zero finite derivative on adense set［J］．Non-linearAnal，2014，95:703 －713．

［7］Perkins F W．An elementary example of a continuous nondifferentiable functions［J］．Amer Math Monthly，1927，34:476 －478．

［8］Nicolas Bourbaki．Functions of a Real Variable:Elementary Theory［M］．Berlin:Springer，2004．

［9］Kenta Kobayashi．On the critical case of Okmamoto’s continuous non-differentiable functions［J］．Proc Japan Acad Ser A Math Sci，2009，85(8):101－104．

［10］Lewis Thomas M．Aprobabilistic property of Katsuura’s continuous nowhere differentiable function［J］．J Math Anal，2009，353:224 －231．

［11］Hidefumi Katsuura．Continuous nowhere － differentiable functions－ an application of contraction mappings［J］．American Mathematical Monthly，1991，98(5):411 －416．

［12］Dorfman J R，Gilbert Themas．Statistical properties of r－ adic processes and their connections to families of popular fractal cures［J］．Perspectives of Nonequilibrium Statistical Physics，2011，97(3):357 －369．

［13］Kenneth Falconer．Fractal Geometry － Mathematical Foundationsand Applications［M］．Chichester:Wiley，2003．

［14］Barnsley M．Fractals Everywhere［M］．SaltLake City:Academic Press，1988．

［15］Gerald．Measure Edgar，Topology，and Fractal Geometry［M］．NewYork:Springer，2008．