楊 毅 ， 鄧曉紅 ， 張 杰 ， 武軍杰 ， 王興春

(中國地質(zhì)科學(xué)院 地球物理地球化學(xué)勘查研究所，廊坊 065000)

0 引言

遺傳算法是一種不依賴于問題具體領(lǐng)域的求解非線性、多模型、多目標(biāo)等復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化問題的通用框架，多年來已經(jīng)廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、自動(dòng)控制、圖像處理、模式識(shí)別、地球物理反演、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等技術(shù)領(lǐng)域，并且取得了巨大成功。最早由Botelho[1]、Malcolm[2]將遺傳算法應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)處理，之后陶春輝等[3]、張厚柱等[4]、F. Boschetti等[5]也做了遺傳算法應(yīng)用于地震波速反演的嘗試， W.G. Wilson 等[6]將遺傳算法用于地震剩余靜校正，F(xiàn)abio等[7]做了地震折射數(shù)據(jù)的反演，王興泰等[8]、羅潤林等[9]做了電測深數(shù)據(jù)的反演，師學(xué)明等[10]將遺傳算法應(yīng)用于大地電磁反演，譚永基等[11]對多電極電阻率測井、二維大地電磁、地下水含水層滲透系數(shù)等地球物理問題進(jìn)行了反演，何偉兵等[12]討論了小生境遺傳算法及其在地球物理反演中的應(yīng)用，謝維等[13]研究了混合遺傳算法在大地電磁一維反演中的應(yīng)用。

前人在遺傳算法應(yīng)用于地球物理反演上做了很多工作，取得了很好的反演效果。作者將此種算法應(yīng)用于地-井TEM三分量數(shù)據(jù)處理解釋，依據(jù)C. T. Barnett[14]、Fullagar[15]提出的等效電流環(huán)來描述井中TEM響應(yīng)的反演方法，簡化地-井TEM響應(yīng)模型為自由空間中的電流環(huán)，通過對電流環(huán)的反演，確定異常的空間坐標(biāo)、空間尺度和延伸方向等參數(shù)，達(dá)到地-井TEM快速、定量反演的目的。

1 等價(jià)模型描述

圖1 薄板感應(yīng)電流Fig．1 Induction current of plate

圖2 載流環(huán)在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的場Fig．2 Electromagnetic field of current ring in free space

以簡單和實(shí)用的自由空間中導(dǎo)電薄板為例，依據(jù)一次場關(guān)端后薄板的感應(yīng)原理(圖1)，不同延時(shí)的瞬變電磁響應(yīng)，可以用不同強(qiáng)度和半徑的電流環(huán)來表示，于是某一時(shí)刻的響應(yīng)，可等價(jià)為具有空間角度、半徑、電流強(qiáng)度的圓形電流環(huán)[14-16](圖2)，其三分量數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(1)

(2)

(3)

其中：Bx、By、Bz為x、y、z方向上的磁場響應(yīng)；R為電流環(huán)半徑；I為電流強(qiáng)度；μ為自由空間磁導(dǎo)率；r為計(jì)算點(diǎn)至電流環(huán)中心的距離，電流環(huán)和空間計(jì)算點(diǎn)的角度關(guān)系r又是計(jì)算點(diǎn)空間坐標(biāo)、電流環(huán)中心、電流環(huán)空間角度的函數(shù)，可表示為：

r=f(x,y,z,x0,y0,z0,θ1,θ2)

(4)

其中：x0、y0、z0為電流環(huán)中心坐標(biāo)；θ1、θ2為表征電流環(huán)空間形態(tài)的兩個(gè)空間角度。

從磁場分量表達(dá)式可以看出，用等效電流環(huán)描述的模型需要反演七個(gè)參數(shù)才能表征板體的狀態(tài)，且不同參數(shù)對于場值的貢獻(xiàn)差異巨大，使用傳統(tǒng)的最小二乘法，偏導(dǎo)數(shù)矩陣嚴(yán)重奇異，不能很好求解，而使用遺傳算法，則可以避免這個(gè)問題，同時(shí)因?yàn)檫z傳算法是全空間搜索方法，使用遺傳算法可以解決反演初始模型偏離真值較大而導(dǎo)致反演不收斂的問題。

2 遺傳算法改進(jìn)方案

雖然遺傳算法相對于傳統(tǒng)反演方法優(yōu)勢在于無需求取偏導(dǎo)數(shù)，是全局優(yōu)化方法，但是傳統(tǒng)的遺傳算法，也存在一些問題，最突出的表現(xiàn)就是算法在多次迭代之后，易陷于局部收斂而早熟，這個(gè)問題在多元多峰值函數(shù)求極值問題中尤其突出，作者依據(jù)簡化的地-井TEM模型所建數(shù)學(xué)模型表達(dá)式即屬于這類多元多峰函數(shù)求極值問題，因此必須在傳統(tǒng)算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)才能避免早熟，作者通過實(shí)際試算比較，最終選擇逐步縮小搜索范圍和多重小生境算法相結(jié)合的混合遺傳算法對電流環(huán)七參數(shù)進(jìn)行反演，取得良好效果。

2.1 逐步縮小搜索范圍反演的方法

根據(jù)作者反復(fù)試算發(fā)現(xiàn)，在傳統(tǒng)遺傳算法下，多參數(shù)反演的結(jié)果不能收斂到真值，而是以真值為中心，左右波動(dòng)，于是作者有了這樣的考慮，以上一次搜索所得值為中心，給定更小的搜索范圍，再次反演，依此進(jìn)行，直到反演達(dá)到所設(shè)精度。但是，怎樣來逐次設(shè)定搜索范圍呢？是否每個(gè)參數(shù)都一樣？針對本文的模型，通過正演計(jì)算發(fā)現(xiàn)，各個(gè)參數(shù)對于反演靈敏度差異較大，總的來說，電流環(huán)強(qiáng)度與響應(yīng)值是正比關(guān)系，因此對響應(yīng)影響較大，對反演影響最大，其他參數(shù)影響較小，通過總結(jié)給定如下公式：

(5)

(6)

2.2 小生境技術(shù)

小生境技術(shù)的基本思想是將生物學(xué)中的小生境概念應(yīng)用于進(jìn)化計(jì)算中，將進(jìn)化計(jì)算中的每一代個(gè)體劃分為若干類，每個(gè)類中選出若干適應(yīng)度較大的個(gè)體作為一個(gè)類的優(yōu)秀代表組成一個(gè)群，再在種群中以及不同種群中之間雜交、變異產(chǎn)生新一代個(gè)體群，同時(shí)采用某種機(jī)制(預(yù)選擇或排擠或分享)完成任務(wù)。

作者選擇了比較兩個(gè)個(gè)體之間海明距離的方法來完成相近模型的排擠，保持種群的活力，見公式(7)。在每次計(jì)算之后，將適應(yīng)度值較大的前N/k(k為排擠因子)個(gè)個(gè)體保存下來，與下一次計(jì)算得到的N個(gè)個(gè)體進(jìn)行比較，對于海明距離小于設(shè)定值L的個(gè)體，根據(jù)適應(yīng)度，施以一個(gè)較小的適應(yīng)度值作為懲罰，增大它在下一次進(jìn)化中淘汰的概率。通過使用小生境技術(shù)，可以預(yù)防個(gè)體過早陷于局部收斂，在某一范圍內(nèi)震蕩的問題。

(7)

其中：i=1、2、3…M；j=(i+1，M-1)。當(dāng)|ai-aj|

Fmin(ai,aj)=Fenalty

(8)

這樣適應(yīng)度小的個(gè)體，在下一輪進(jìn)化中，淘汰的幾率大大增加，通過多次循環(huán)，在局部范圍內(nèi)，適應(yīng)度小的個(gè)體就被排除在外，有效避免了局部收斂問題。

在運(yùn)用縮小收縮范圍和小生境技術(shù)的同時(shí)，有條件地將最佳值復(fù)制到群體中，以解決“早熟、局部收斂”，以及“搜索遲鈍”等問題。每代進(jìn)化中，比較當(dāng)前最佳值與上一代最佳值，若當(dāng)前最佳值差，應(yīng)將上一代最佳值復(fù)制到群體中，若當(dāng)前最佳值好，不復(fù)制當(dāng)前值，以防止未成熟收斂。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果展示

確定了使用縮小收縮范圍和小生境相結(jié)合的改進(jìn)型遺傳算法之后，編制了基于等效渦流正反演程序，下面分別對井孔位于電流環(huán)外和電流環(huán)內(nèi)兩種情況下的空間響應(yīng)(對應(yīng)于地-井TEM的井中和井旁異常兩種情況)進(jìn)行反演試算并與傳統(tǒng)遺傳算法進(jìn)行比較。反演結(jié)果使用相對均方誤差進(jìn)行衡量，其公式為：

(9)

其中：i=1、2、3…N,N為測點(diǎn)個(gè)數(shù)；Oi為第i個(gè)觀測場值；Ti為第i個(gè)計(jì)算場值；P為方差。設(shè)定場值擬合均方誤差小于等于1‰即達(dá)到計(jì)算精度要求，計(jì)算完畢。

1)模型1電流環(huán)半徑為200 m，電流強(qiáng)度為0.3 A，電流環(huán)傾角為15°，旋轉(zhuǎn)角為15°，電流環(huán)中心坐標(biāo)為(350，400，150)，測線不通過電流環(huán)。其測線與電流環(huán)的空間位置如圖3所示。

圖3 測線與電流環(huán)的相對位置(環(huán)外)Fig．3 Opposite position of profile and current ring(off hole)

2)模型2。電流環(huán)半徑為200 m，電流強(qiáng)度為0.3 A，電流環(huán)傾角為15°，旋轉(zhuǎn)角為15°，為不失一般性，電流環(huán)中心坐標(biāo)選為(35，90，150)，測線通過電流環(huán)。其測線與電流環(huán)的空間位置如圖4所示。

圖4 測線與電流環(huán)的相對位置(環(huán)內(nèi))Fig．4 Opposite position of profile and current ring(in hole)

反演初始模型如下：種群規(guī)模：4 000，種群參數(shù)為7，初始參數(shù)的范圍如表1所示。

表1 遺傳算法初始參數(shù)表

從圖5、圖7可以看出，對于傳統(tǒng)遺傳算法，遺傳代數(shù)在25代左右解基本穩(wěn)定，算法很快陷于局部收斂， 不能跳出，均方誤差在10%以上；而對于改進(jìn)型遺傳算法(圖6、圖8)，解一直往最小值(最優(yōu)方向)靠近，與傳統(tǒng)遺傳算法相比，遺傳代數(shù)為25代左右時(shí)，均方誤差已經(jīng)小于5%，遺傳50代時(shí)，遺傳算法已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)解(設(shè)定均方誤差為1‰)。從圖5至圖8比較可以看出，改進(jìn)型遺傳算法能有效改善傳統(tǒng)遺傳算法易于陷入局部收斂的缺陷。

從表2、表3可以看出，使用傳統(tǒng)的遺傳算法，反演模型與理論模型誤差巨大，這是因?yàn)樵诤軐挿旱乃阉骺臻g中，存在無數(shù)個(gè)局部極值點(diǎn)，計(jì)算一旦陷入其中即進(jìn)入死胡同無法跳出，得到的局部最優(yōu)解與真解相差甚遠(yuǎn)。而使用了基于縮小收縮空間和小生境技術(shù)相結(jié)合的改進(jìn)型遺傳算法在經(jīng)過少數(shù)幾次搜索之后就能鎖定最佳模型參數(shù)，獲得精度很高的解，井孔位于電流環(huán)外時(shí)反演模型平均誤差均為3.58‰，井孔位于電流環(huán)內(nèi)時(shí)反演模型平均誤差更是小到0.05‰。

圖5 傳統(tǒng)遺傳算法種群均值和解的變化(環(huán)外)Fig．5 Variations of average population and solution by tradition GA(off hole)

圖6 改進(jìn)型傳統(tǒng)遺傳算法種群均值和解的變化(環(huán)外)Fig．6 Variations of average population and solution by improvement GA(off hole)

圖7 傳統(tǒng)遺傳算法種群均值和解的變化(環(huán)內(nèi))Fig．7 Variations of average population and solution by tradition GA(in hole)

圖8 改進(jìn)型傳統(tǒng)遺傳算法種群均值和解的變化(環(huán)內(nèi))Fig．8 Variations of average population and solution by improvement GA(in hole)

4 結(jié)論

經(jīng)過理論模型驗(yàn)證可以看出，使用基于縮小搜索空間和小生境相結(jié)合的混合遺傳算法對簡化為電流環(huán)的地-井TEM理論模型數(shù)據(jù)試算效果良好，反演模型差很小，這種混合遺傳算法能夠很好地抑制多參數(shù)多極值函數(shù)的早熟和局部收斂問題，使我們能夠在有效搜索空間內(nèi)獲得較滿意的解。

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