張 超，湯井田，強(qiáng)建科

(中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院， 長(zhǎng)沙 410083)

0 前言

橢球體是最具代表性的典型三維地電體，它三個(gè)軸的長(zhǎng)短變化后可以和多種形狀的地電體相似，球體、柱體、橢球柱體及板狀體都是橢球體的特例。因此實(shí)現(xiàn)了在常用場(chǎng)源激勵(lì)下橢球體電阻率的求解，就可以模擬絕大多數(shù)三維地電體的電阻率曲線。

J．H．Webb[1]提出了通過(guò)鏡像法推導(dǎo)均勻半空間點(diǎn)電流場(chǎng)中橢球體的精確解的思路[1];傅良魁等[2-3]研究了橢球類礦體(球體、圓柱體、橢球柱體)和橢球體的電阻率和形狀對(duì)礦頂上方視電阻率異常值大小的作用規(guī)律;宋子齊[4]對(duì)橢球類礦體的電場(chǎng)和磁場(chǎng)進(jìn)行了一般性討論;雷林源[5]通過(guò)求解直角坐標(biāo)系中的拉氏方程，導(dǎo)出了橢球位函數(shù)的一般形式，并通過(guò)邊界條件和泊松公式，應(yīng)用橢球位場(chǎng)的一般形式給出了均質(zhì)橢球地質(zhì)體和均勻磁化橢球地質(zhì)體的重力位場(chǎng)和磁位場(chǎng)表達(dá)式;張秋光[6]詳細(xì)推導(dǎo)了橢球坐標(biāo)系下拉普拉斯方程的通解和均勻外磁場(chǎng)中的橢球體;羅延鐘等[7]給出了直流電法中和頻率域電法中傾斜旋轉(zhuǎn)橢球體的視電阻率公式;強(qiáng)建科等[8]計(jì)算了橢球體復(fù)電阻率相應(yīng)的幅頻率并討論了旋轉(zhuǎn)橢球體的充電率、中心埋深和長(zhǎng)軸傾角對(duì)幅頻率異常和曲線形態(tài)的影響;徐淳寧等人[9]利用模擬電荷法對(duì)橢球體的電阻率曲線進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算;段長(zhǎng)生[10]對(duì)不同場(chǎng)源的橢球異常進(jìn)行了正演擬合反演并確定異常體的各模型參數(shù)。

1 均勻場(chǎng)中橢球體及板狀體的視電阻率公式

1.1 橢球坐標(biāo)系及其通解

對(duì)給定空間任意點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)，解以下關(guān)于t的三次方程

(1)

可以求得三個(gè)不同的實(shí)根λ、μ、ν，且λ>-c2>μ>-b2>ν>-a2，這三個(gè)根(λ、μ、ν)稱為P點(diǎn)的橢球坐標(biāo)。

圖1 橢球坐標(biāo)系示意圖Fig．1 Schematic diagram of ellipsoid coordinate system

橢球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程為：

(2)

將公式(2)分離變量

φ=Λ(λ)Μ(μ)Ν(ν)

(3)

整理后可得到三個(gè)形式完全相同的拉梅函數(shù)，統(tǒng)一寫為

(4)

我們可以用公式(5)表示橢球內(nèi)部的拉普拉斯方程的解(有界)。

(5)

用式(6)表示橢球外部拉普拉斯方程的解。

(6)

1.2 均勻電場(chǎng)中橢球體的視電阻率

假設(shè)在電阻率為ρ1的均勻各向同性無(wú)限導(dǎo)電巖石中，有一個(gè)電阻率為ρ2，三個(gè)半軸分別為a、b、c的橢球體。取直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于橢球體中心，坐標(biāo)軸X、Y、Z分別與a、b、c重合。均勻電流場(chǎng)的電流密度為j0，方向與X軸相同(見(jiàn)圖2)。

圖2 均勻電流場(chǎng)中的橢球體Fig．2 Ellipsoid in uniform electric field

橢球體內(nèi)、外的總場(chǎng)電位表達(dá)式：

(7)

(8)

根據(jù)邊界條件， 橢球體與圍巖分界面上電位連續(xù)：

以及橢球體與圍巖分界面上電流密度法向分量連續(xù)：

(9)

式(9)可變形為式(10)。

(10)

經(jīng)過(guò)一系列計(jì)算與變量代換后，可得到橢球體內(nèi)、外的總場(chǎng)電位為式(11)。

(11)

其中

L=2πabc·

(12)

L0=2πabcIx=2πabc·

(13)

(14)

均勻半空間情況下，采用將異常電位加倍的近似方法得到橢球體外部電位：

(15)

將E0=j0ρ1代入公式(9)得式(16)。

(16)

(17)

(18)

h0為橢球體中心埋深。

因此地面上沿x方向的視電阻率表達(dá)式為式(19)。

ρs=(1+2F1g′)ρ1

(19)

圖3 均勻電流場(chǎng)中的傾斜橢球體Fig．3 Inclined ellipsoid in uniform electric field

1.3 均勻電場(chǎng)中傾斜橢球體的視電阻率

如圖3所示為均勻電場(chǎng)中的傾斜橢球體。在求解傾斜橢球體時(shí)，用到了兩套坐標(biāo)系：XYZ坐標(biāo)系-分別與橢球體的三個(gè)軸重疊；X′Y′Z′坐標(biāo)系-X′的正方向與電流密度方向相同(即水平方向)，Z′的正方向垂直于水平地面，Y軸和Y′軸的正方向均垂直紙面向里。它們的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(20)

其中α為X軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與X′軸的夾角，α∈[0,π)。

在推導(dǎo)出均勻電場(chǎng)中水平橢球體和直立橢球體的視電阻率公式之后，通過(guò)觀察傾斜旋轉(zhuǎn)橢球體公式的特點(diǎn)，導(dǎo)出傾斜橢球體的視電阻率的表達(dá)式：

ρs={1-2[Vx·R·cos2α+(Vx+Vz)·S·

sinα·cosα+Vz·T·sin2α]}ρ1

(21)

(22)

其中

(23)

(24)

(25)

電性因子：

(26)

1.4 均勻場(chǎng)中的傾斜板狀體

板狀體由橢圓柱體近似得到。當(dāng)b→∞，a遠(yuǎn)大于c(a?c)時(shí)，可得到柱軸平行地面的橢球柱體的視電阻率表達(dá)式，公式仍有前式的形式，不過(guò)當(dāng)中各因子都有所簡(jiǎn)化。

(27)

(28)

(29)

2 不同模型的視電阻率特征

2.1 旋轉(zhuǎn)橢球體的視電阻率曲線特征

圖4為低阻旋轉(zhuǎn)橢球體的視電阻率曲線，模型參數(shù)為長(zhǎng)軸a=10,兩短軸b=c=2，中心埋深h=13。旋轉(zhuǎn)橢球體分別沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0°、30°、60°和90°。當(dāng)?shù)妥栊D(zhuǎn)橢球體水平或直立時(shí)，視電阻率曲線關(guān)于中心對(duì)稱，且直立橢球體的極小值相比水平橢球體更?。划?dāng)橢球體傾斜時(shí)，異常體頂部附近的視電阻率異常為零，在傾向一側(cè)有極小值，在反傾向一側(cè)有極大值，且傾角α越大，極大值越大；隨著傾角α的增大，曲線逐漸變陡。

圖4 低阻旋轉(zhuǎn)橢球體的視電阻率曲線Fig．4 Apparent resistivity curve of rotating ellipsoid with low resistance

圖5 高阻旋轉(zhuǎn)橢球體的視電阻率曲線Fig．5 Apparent resistivity curve of rotating ellipsoid with high resistance

圖5為高阻旋轉(zhuǎn)橢球體的視電阻率曲線，模型參數(shù)為長(zhǎng)軸a=10,兩短軸b=c=2，中心埋深h=13。旋轉(zhuǎn)橢球體分別沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0°、30°、60°和 90°。當(dāng)高阻旋轉(zhuǎn)橢球體水平或直立時(shí)，視電阻率曲線關(guān)于中心對(duì)稱且直立橢球體的極大值明顯大于水平橢球體。視電阻率曲線的極大值約在異常體頂部附近，兩側(cè)有極小值點(diǎn)。傾向一側(cè)的曲線較緩和而反傾向一側(cè)的曲線較陡峭，隨著傾角α的增大，視電阻率異常變大。

2.2 板狀體的視電阻率曲線特征

板狀體的視電阻率曲線與旋轉(zhuǎn)橢球體的視電阻率曲線的走向大致相同。由于板狀體的b軸趨近無(wú)窮大，因此板狀體的視電阻率曲線相比旋轉(zhuǎn)橢球體的曲線更緩和。

圖6為低阻板狀體的視電阻率曲線，模型參數(shù)為長(zhǎng)度a=10,厚度c=2，中心埋深h=13。板狀體分別沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0°、30°、60°和90°。當(dāng)?shù)妥璋逅交蛑绷r(shí)，視電阻率曲線關(guān)于中心對(duì)稱且水平板狀體的極小值比直立板狀體更??；當(dāng)板狀體傾斜時(shí)，異常體頂部附近的視電阻率異常為零，在傾向一側(cè)有極小值，在反傾向一側(cè)有極大值。隨著傾角α的增大，視電阻率異常變?nèi)酢?/p>

圖6 低阻板狀體的視電阻率曲線Fig．6 Apparent resistivity curve of plate with low resistance

圖7為高阻板狀體的視電阻率曲線，模型參數(shù)為長(zhǎng)度a=10,厚度c=2，中心埋深h=13。板狀體分別沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0°、30°、60°和90°。當(dāng)高阻板狀體水平或直立時(shí)，視電阻率曲線關(guān)于中心對(duì)稱且直立板狀體的極大值明顯大于水平板狀體，視電阻率曲線的極大值約在板狀體頂部附近，兩側(cè)有極小值點(diǎn)，傾向一側(cè)的曲線較陡峭而反傾向一側(cè)的曲線較緩和。隨著傾角α的增大，視電阻率異常變大。

圖7 高阻板狀體的視電阻率曲線Fig．7 Apparent resistivity curve of plate with high resistance

3 結(jié)論

作者首先敘述了國(guó)內(nèi)、外對(duì)橢球體的視電阻率異常的研究狀況，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了均勻場(chǎng)中橢球體的電位和視電阻率的公式，得到了傾斜橢球體的視電阻率，并進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到板狀體的視電阻率。對(duì)傾斜旋轉(zhuǎn)橢球體和板狀體的視電阻率曲線的變化規(guī)律進(jìn)行了總結(jié)。

旋轉(zhuǎn)橢球體與板狀體的視電阻率曲線的走向大體相似。對(duì)于低阻情況，異常體頂部的視電阻率異常為零，在傾向一側(cè)出現(xiàn)極小值，反傾向一側(cè)有極大值，且傾角α越大，極大值越大，隨著傾角α的增大，曲線逐漸變陡；對(duì)于高阻情況，視電阻率的極大值出現(xiàn)在異常體頂部，兩側(cè)有極小值，傾向一側(cè)的曲線較緩和而反傾向一側(cè)的曲線較陡峭，隨著傾角α的增大，視電阻率異常變大。

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