一類群居捕食者的捕獲系統(tǒng)的定性分析

華極鑫，馮維龍，姜玉秋

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000)

一類群居捕食者的捕獲系統(tǒng)的定性分析

華極鑫，馮維龍，姜玉秋

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000)

本文建立了捕食者是群居種群的捕食者-食餌系統(tǒng)，分析了密度大小對(duì)群居捕食者種群增長的促進(jìn)和抑制作用，并且對(duì)其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。

群居；捕食者-食餌系統(tǒng)；密度；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性

1 建立模型

考察生存在同一理想環(huán)境中的捕食者和食餌種群.Volterra捕食者-食餌[1]結(jié)構(gòu)為：

(1.1)

在此基礎(chǔ)上建立了群居捕食者-食餌的數(shù)學(xué)模型

(1.2)

其中a1，a2，b1，b2，c1均為正常數(shù).本文將對(duì)系統(tǒng)(1.2)進(jìn)行定性分析.

2 系統(tǒng)分析

將系統(tǒng)(1.2)改寫成

(2.1)

其Jacobi矩陣為

(3)而且你底妹妹對(duì)我的情義,叫我用什么來接受呢?心呢,還是兩手?我不能拿理智來解釋與應(yīng)用的時(shí)候,我只有逃走之一法。

令Δ=a11a22-a12a21,δ=-(a11+a22).

定理2.2 平衡點(diǎn)o(0,0)為鞍點(diǎn).

證明 首先證明正平衡點(diǎn)E(x*,y*)的存在性與惟一性.

下面證明E(x*,y*)是局部穩(wěn)定的.

當(dāng)k<3a2時(shí)，Δ>0,δ>0，可知E(x*,y*)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定[5]的.

證明 由定理2.4知，正平衡點(diǎn)E(x*,y*)是局部穩(wěn)定的，又由文獻(xiàn)[6]中全局穩(wěn)定性給出的定理2.2及推論2(有詳細(xì)證明)，可知E(x*,y*)是全局漸近穩(wěn)定的.

3 生物學(xué)意義

通過對(duì)系統(tǒng)(1.2)的分析討論，我們可以找到群居捕食者和食餌最適合生存的數(shù)量E(x*,y*)，利用密度對(duì)群居捕食者的作用，控制捕食者或食餌數(shù)量來維持生態(tài)平衡，當(dāng)食餌種群繁殖較快時(shí)我們可以通過人為引入群居的捕食者來控制其增長速度，而不用擔(dān)心捕食者數(shù)量會(huì)肆意增長，兩種群數(shù)量達(dá)到y(tǒng)*，x*時(shí)，就可以達(dá)到生態(tài)平衡穩(wěn)定，從而實(shí)現(xiàn)保護(hù)珍稀物種、抑制那些繁殖過快而又有害的種群的目的.

[1]馬知恩,周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性理論[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[2]尚玉昌.普通生態(tài)學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2002.

[3]姜玉秋.Turchin-Batzli捕食者-食餌系統(tǒng)的定性分析[J].東北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,38(4):17-21.

[4]程榮福,趙明.一類捕食者與被捕食者模型的持久性與穩(wěn)定性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,23(2):289-294.

[5]王希超,王志斌,徐勝榮.一類捕食-食餌系統(tǒng)的定性分析[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2009,24(2):287-292.

[6]馬知恩.種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996.

Qualitative Analysis of a Kind of Gregarious Predators Capture System

HUA Ji-xin,FENG Wei-long,JIANG Yu-qiu

(College of Mathematics, Jilin Normal University, Siping Jilin 136000, China)

In this paper, gregarious predators Prey-Predator system was established, and positive and negative density effects of gregarious predators growth was analyzed. Moreover, the stability of the equilibrium point was system studied.

gregarious; Prey-Predator system; density; equilibrium point ; stability

2013-11-13

華極鑫(1989- )，女，吉林松原人，吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生，從事生物數(shù)學(xué)研究。

姜玉秋(1966- )，女，吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師。

O175

A

1008-178X(2014)01-0004-03