非對稱系統(tǒng)的振動方程的響應(yīng)求解

張 淼

(長春工程學(xué)院理學(xué)院，吉林長春 130012)

非對稱系統(tǒng)的振動方程的響應(yīng)求解

張 淼

(長春工程學(xué)院理學(xué)院，吉林長春 130012)

解耦對稱系統(tǒng)的振動方程時，只需用右模態(tài)向量即可滿足正交性條件，對非對稱系統(tǒng)，討論其振動系統(tǒng)響應(yīng)的求解算法，則需引入左模態(tài)向量。本文首先將二階非對稱阻尼系統(tǒng)的振動方程轉(zhuǎn)化為一階狀態(tài)方程形式，構(gòu)造狀態(tài)矩陣的左、右狀態(tài)向量，然后利用左、右狀態(tài)向量的正交規(guī)范化條件解耦非對稱系統(tǒng)狀態(tài)方程，在簡諧激勵下化為一組可解的一階線性微分方程，最后采用積分因子法建立了這些一階線性微分方程的求解算法，從而獲得原非對稱二階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。算法緊湊靈活，易于在大型工程結(jié)構(gòu)動力分析中編程使用。

動力響應(yīng)；狀態(tài)方程；解耦；非對稱系統(tǒng)

系統(tǒng)的運動方程總是在一定的坐標(biāo)系中用坐標(biāo)來描述的，設(shè)法使一組本來耦合的方程組，變?yōu)橐唤M非耦合的方程組，使每一個方程中只有一個待求的坐標(biāo)，每個微分方程便可獨立求解,稱為工程結(jié)構(gòu)振動微分方程的解耦.把二階系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一階系統(tǒng)的目的是把模態(tài)向量與狀態(tài)向量聯(lián)系起來，這樣對狀態(tài)向量所做的運算均可平移到模態(tài)向量上來，同時轉(zhuǎn)化后原振動系統(tǒng)的特征分析也可化為一般矩陣的特征分析，更容易討論狀態(tài)向量的靈敏度等振動分析問題[1].

一個結(jié)構(gòu)的動力特性可以用它的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行完整描述.這些模態(tài)參數(shù)可以從結(jié)構(gòu)模型的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣導(dǎo)出，也可以從測量出來的該結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)中導(dǎo)出.模態(tài)參數(shù)可分為實模態(tài)參數(shù)和復(fù)模態(tài)參數(shù)，其主要的應(yīng)用之一是用來進(jìn)行多自由度振動系統(tǒng)的動響應(yīng)分析.

對于經(jīng)典阻尼系統(tǒng)，利用實模態(tài)參數(shù)即可獲得幾種等價的動力響應(yīng)的解析解.而對非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)的研究一直是個難點.復(fù)模態(tài)參數(shù)包括復(fù)頻率及復(fù)模態(tài)，可用于直接解耦非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)，但其計算響應(yīng)的過程相當(dāng)復(fù)雜[2].如果將在N維空間中描述的非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)轉(zhuǎn)入2N維狀態(tài)空間中描述，利用復(fù)模態(tài)構(gòu)造狀態(tài)向量，使用狀態(tài)向量對角化狀態(tài)矩陣來實現(xiàn)狀態(tài)方程的解耦，再把得到的響應(yīng)解返至N維空間中，也可求得用復(fù)模態(tài)參數(shù)表達(dá)的非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)解(解析解).但從狀態(tài)矩陣對角化的證明過程可知[3]，仍然需要兩個充分條件，一個是質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣必須對稱，另一個是各階復(fù)頻率必須全不相同.那么若在實際應(yīng)用中遇到非對稱或重頻系統(tǒng)，即復(fù)頻率發(fā)生重復(fù)的系統(tǒng)，上述方法也將不再適用.本文針對有阻尼非對稱系統(tǒng)，利用復(fù)模態(tài)參數(shù)實現(xiàn)振動系統(tǒng)方程解耦，并獲得響應(yīng)的解析解.

1 復(fù)模態(tài)參數(shù)

描述自由度為N的線性阻尼離散系統(tǒng)的自由振動方程為

(1)

相應(yīng)地，其強迫振動方程為

(2)

(2)式中M,C和K∈RN×N分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，它們?yōu)榉菍ΨQ矩陣.結(jié)構(gòu)有限元分析時，作拉普拉斯變換x(t)=ueλt=ueiωt(λ=iω)代入(1)式可得(λ2Mu+λCu+Ku)eλt=0.

考慮阻尼系統(tǒng)復(fù)模態(tài)參數(shù)(λi,ui)(i=1,2,…,2N)滿足方程

(3)

對于N自由度振動系統(tǒng)，特征方程det[λ2M+λC+K]=0有2N個呈復(fù)共軛對出現(xiàn)的特征值λ1,λ2,…,λ2N(λi∈C，其中λi+1為λi的共軛(i=1,3,…,2N-1))，稱為系統(tǒng)的復(fù)頻率.這些頻率對應(yīng)著一組呈復(fù)共軛對出現(xiàn)特征向量u1,u2,…,u2N(ui∈CN，其中ui+1為ui的共軛(i=1,3,…,2N-1))稱為系統(tǒng)右模態(tài)向量(復(fù)模態(tài)).

2 非對稱系統(tǒng)的響應(yīng)求解

由文獻(xiàn)[4]可知，解耦對稱系統(tǒng)的振動方程時，只需用右模態(tài)向量即可滿足正交性條件.但為解耦非對稱系統(tǒng)，必須引入左模態(tài)向量.

定義1 如果對vi∈CN，若滿足

(4)

稱為系統(tǒng)(1)的左模態(tài)向量，其中(·)H表示(·)的共軛轉(zhuǎn)置.

事實上由(3)和(4)式可知，當(dāng)系統(tǒng)性質(zhì)矩陣為對稱陣時，系統(tǒng)(1)的左、右模態(tài)向量是相同的，而本文所討論的是非對稱系統(tǒng)，左、右模態(tài)向量并不相同.

設(shè)

(5)

代入方程(1)，則該二階微分方程將轉(zhuǎn)化為如下一階微分方程：

(6)

其中

(7)

稱為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣.再作拉普拉斯變換代入(6)式，則有

且特征對(λ,u)同樣滿足(3)式，由此可知原系統(tǒng)(1)的振動特征問題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)矩陣A的一般特征問題：

Ag=λg.

(8)

其中

(9)

稱為狀態(tài)矩陣A的右狀態(tài)向量，它的前N維構(gòu)成振動系統(tǒng)(1)的右模態(tài)向量u.

記G=[g1g2…g2N]為右狀態(tài)矩陣.由于無論系統(tǒng)性質(zhì)矩陣M,C和K∈RN×N對稱與否，狀態(tài)矩陣A需很強的條件才能保證對稱性，因此它的右狀態(tài)向量之間一般也不具有加權(quán)正交性，故有必要引入狀態(tài)矩陣A的左狀態(tài)向量.

定義2 對向量rK∈C2N，如果有

(10)

則稱rk(k=1,…,2N)為矩陣A的左狀態(tài)向量，其中

(11)

記R=[r1r2…r2N]為左狀態(tài)矩陣.由定義2可知左狀態(tài)向量也是由系統(tǒng)的左模態(tài)向量v構(gòu)成的.如果系統(tǒng)為單頻系統(tǒng)，根據(jù)文獻(xiàn)[5]，左、右狀態(tài)向量在A加權(quán)的條件下是正交的，規(guī)范這些狀態(tài)向量可得它們的正交性關(guān)系為

RHG=E.

(12)

RHAG=diag(λ1,λ2,…,λ2N).

(13)

下面利用這些正交性來解耦非對稱系統(tǒng)的振動方程，來求解其響應(yīng)的解析解.對方程(2)建立狀態(tài)方程

(14)

引入坐標(biāo)變換

y(t)=Gq(t).

(15)

其中q(t)為模態(tài)坐標(biāo)向量，將(15)式代入狀態(tài)方程(14)并左乘RH，則有

(16)

根據(jù)左、右狀態(tài)向量的正交性關(guān)系(12)和(13)式，有

(17)

其中{·}i代表向量{·}的第i維分量.若解出q(t)，然后代入(15)式獲得y(t)，由(5)式可知取前N維即為原二階系統(tǒng)(2)的響應(yīng)x(t).現(xiàn)在考慮如何求解q(t).

對微分方程(17)式，為了表達(dá)方便，記λi=a,{q(t)}i=y(t),{RHf′(t)}i=b(t)，(17)式可表達(dá)為

y′(t)-ay(t)=-b(t).

eaty′(t)-aeaty(t)=-eatb(t).

即為

[eaty(t)]′=-eatb(t).

兩邊積分得

因此可解得

即

(18)

若考慮簡諧激勵下的強迫振動響應(yīng)，那么{RHf′(t)}i中的各分量不是零，就是正弦函數(shù)，因此(18)式是一個關(guān)于正弦與指數(shù)乘積形式的典型分部積分問題，在數(shù)學(xué)的計算上不存在困難，具體結(jié)果視{RHf′(t)}i的形式而定.由(18)式便解得q(t)的所有坐標(biāo).

[1]張淼,于瀾,鞠偉.虧損振系廣義狀態(tài)向量靈敏度的移頻算法[J].計算力學(xué)學(xué)報,2013,30(6).

[2]Greco A,Santini A.Comparative study on dynamic analysis of non-classically damped linear system[J]. Structural Engineering and Mechanics,2002,14(6):679-698.

[3]李德葆,陸秋海.實驗?zāi)B(tài)分析及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2001,79-81.

[4]Ward H,Stefan L,Paul S.Modal Analysis Theory and Testing[M].Katholieke Universiteit Levven,Brussel, Belgium,1997:18-19.

[5]于瀾,張淼,鞠偉,等.非保守系統(tǒng)復(fù)模態(tài)的規(guī)范正交性及其應(yīng)用[J].華南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,45(4):21-24.

Algorithm for Solving Steady-state Response of Asymmetric System

ZHANG Miao

(School of Science, Changchun Institute of Technology, Changchun Jilin 130012, China)

While decoupling the symmetric system, the right modes of system are enough to satisfy the orthogonal conditions. But in the presence of the asymmetric system it needs left modes of system to discuss the dynamic response. In this study, firstly, the second-order differential equations are translated into first-order ones called state equations. The state matrix left and right state vector is constructed. And then the left and right state vector decoupling asymmetric orthogonal normalization condition of system state equation is used. Under simple harmonic excitation into the solvability of a set of first order linear differential equation, the integral factor method is adopted to establish the first order linear differential equation of the algorithm, to obtain the original asymmetric second-order steady-state response of the system. Because the algorithm is compact and flexible, it can be programmed easily in the large engineering structure dynamic analysis

dynamic response; state equation; decoupling; asymmetric system

2013-11-19

吉林省科技發(fā)展計劃項目——青年科研基金項目(201201137)。

張 淼(1972- )，男，吉林長春人，長春工程學(xué)院理學(xué)院副教授，博士，從事結(jié)構(gòu)優(yōu)化及振動控制研究。

O32

A

1008-178X(2014)01-0007-03