關(guān)于二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的推廣和運算

劉 淼

(伊犁師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆伊寧 835000)

關(guān)于二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的推廣和運算

劉 淼

(伊犁師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆伊寧 835000)

本文從二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)與聯(lián)合概率密度函數(shù)的關(guān)系入手，討論了二維連續(xù)型隨機變量四則運算的分布，并給出了求解函數(shù)分布的簡便方法。

連續(xù)型隨機變量；分布函數(shù)；密度函數(shù)

1 預(yù)備知識

定義1 對于二維隨機變量(ξ，η)，對任意實數(shù)x,y，稱函數(shù)F(x,y)=P{ξ≤x,η≤y}稱為(ξ,η)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量(ξ,η)的聯(lián)合分布函數(shù)[1-2].

2 主要結(jié)果

定理2 設(shè)F1(x),F2(x),…,Fn(x)分別是n個分布函數(shù)，則存在不全為零的ai≥0,(i=1,…,n)，且當a1+a2+…+an=1時，F(xiàn)(x)=a1F1(x)+a2F2(x)+…+anFn(x)為某一連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)．

證明 先任取一組不全為零的ai≥0,(i=1,…,n)，且有a1+a2+…+an=1.

根據(jù)條件F1(x),F2(x),…,Fn(x)均是分布函數(shù)，故F1(x),F2(x),…,Fn(x)都滿足非遞減、右連續(xù)等性質(zhì)，且有F1(+∞)=F2(+∞)=…=Fn(+∞)=1，F(xiàn)1(-∞)=F2(-∞)=…=Fn(-∞)=0，

從而F(x)=a1F1(x)+a2F2(x)+…+anFn(x)非遞減且右連續(xù)，

又由于F(+∞)=a1F1(+∞)+a2F2(+∞)+…+anFn(+∞)=1，

F(-∞)=a1F1(-∞)+a2F2(-∞)+…+anFn(-∞)=0，

則由連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)定義的性質(zhì)可得，一定存在不全為零的非負實數(shù)a1,a2,…,an且a1+a2+…+an=1，使得F(x)=a1F1(x)+a2F2(x)+…+anFn(x)為某一隨機變量的分布函數(shù)．

定理3 設(shè)F1(x),F2(x),…,Fn(x)是分布函數(shù)，則存在不全為零的非負連續(xù)函數(shù)a1(x),a2(x),…,an(x),…,x∈(-∞,+∞)，則a1(+∞)+a2(+∞)+…+an(+∞)=1，且a1(+∞)+a2(+∞)+…+an(+∞)=1，使得F(x)=a1(x)F1(x)+a2(x)F2(x)+…+an(x)Fn(x)為分布函數(shù)．

此定理的證明由定理2可直接推出.

根據(jù)定理4和定理5可知，對于x或y的單調(diào)函數(shù)可通過利用其中一個變量來替換另一個變量，進而將多重積分轉(zhuǎn)化成只對x或y的積分，使得整個積分過程變得簡單.根據(jù)上述定理，顯然有二維連續(xù)型隨機變量的和、差、積、商的分布分別為:

3 應(yīng)用舉例

解 當ζ<0時，fζ(z)=0顯然成立.

所以f(U,V)(u,v)=fU(u)fV(v)，從而U,V相互獨立.

例3 設(shè)f(x,y)為二維連續(xù)型隨機變量(ξ,η)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，且(ξ,η)相互獨立，令U=ξ-η，試求連續(xù)型隨機變量U的概率密度函數(shù)fU(u).

則根據(jù)定理1，有f(U,V)(u,v)=f(ξ,η)[x(u,v),y(u,v)]|J|=f(u+v,v)，又由于U=ξ-η，

[1]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]李賢平.概率論基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3]唐小峰.連續(xù)型隨機變量獨立性的幾個充要條件[J].阜陽師范學院學報:自然科學版,2010(2):24-27.

[4]呂洪升,張千祥.二維連續(xù)型隨機變量相關(guān)計算的積分限確定問題[J].大學數(shù)學,2012(3):194-199.

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[6]Finklestein,J,M.and Schafer,R.E.Improved goodness of Fit Tests[J].Biometrika,2007(58):641-645.

The Promotion and Operation of the Function Distribution of the Two-dimensional Continuous Random Variable

LIU Miao

(School of Mathematics and Statistics，Yili Normal University, Yining Xinjiang 835000,China)

In this paper, we mainly discussed the distribution of two-dimensional continuous random variable four operation through the relation between distribution function and probability density function, and then researched the method of finding the function distribution of common two-dimensional continuous random variables.

continuous random variable; distribution function; density function

2013-12-07

國家自然科學基金項目(11161050)；新疆維吾爾自治區(qū)重點學科(基礎(chǔ)數(shù)學)開放課題(2012ZDXK09)；伊犁師范學院2012年一般科研項目(2012YB015)。

劉 淼(1976- )，男，山東鄆城人，伊犁師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授，碩士生導(dǎo)師，從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究。

O211

A

1008-178X(2014)01-0001-03