談大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一題多解的意義

張雅軒

(中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300)

談大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一題多解的意義

張雅軒

(中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300)

本文針對數(shù)學(xué)例題，分別運(yùn)用幾何方法、代數(shù)方法和分析方法進(jìn)行分析和求解，揭示不同方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)分支的交叉融合.由此說明大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一題多解的意義在于使學(xué)生更直觀地認(rèn)識到數(shù)學(xué)科學(xué)不同分支之間的內(nèi)在聯(lián)系和巧妙轉(zhuǎn)化，深刻地領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，靈活地把握其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

一題多解；交叉融合；數(shù)學(xué)思想方法；教學(xué)意義

陳省身先生曾經(jīng)說過：“學(xué)數(shù)學(xué)，最好的方法是做數(shù)學(xué)”.會用數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題，能用多種方法來解決問題，無疑是“做數(shù)學(xué)”的一種能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)厥褂靡活}多解，發(fā)揮一題多解的教學(xué)功能，有利于加深對于數(shù)學(xué)思想方法的理解，有利于提高運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力. 一般來說，來自同一種數(shù)學(xué)思想方法的多種解法比較容易得到.例如：在幾何證明問題中添加輔助線的方法之下，由多種輔助線的添加方法產(chǎn)生的多解；在構(gòu)造輔助函數(shù)證明有關(guān)命題的方法之下，由于輔助函數(shù)的不同而有了多種解法.同樣，在換元法解決積分問題時，由多種不同的換元方法而產(chǎn)生多解；在用元素法解決問題時，因選定的微元對象不同，也產(chǎn)生多解.這樣的例子還有很多.本文給出的例子略有不同，采用了幾何的、代數(shù)的和分析的方法解決一個數(shù)學(xué)問題，這幾種解法分屬于數(shù)學(xué)的三大分支，即幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)和分析學(xué). 以此為例，來解讀這幾種看似不相關(guān)的方法的內(nèi)在聯(lián)系，從數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)分支的交叉融合等方面探討這種類型一題多解題目的教學(xué)意義.

圖1 畫圓法思想

1 問題及其解法

題目：求橢圓5x2+8xy+5y2=9上的點到原點O的最長距離與最短距離.

1.1 幾何方法——基于圖形的幾何特征

直觀分析：因為題目中的橢圓方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，所以其長、短軸不在坐標(biāo)軸上.但由于方程中不含一次項，所以該橢圓的中心位于坐標(biāo)原點.很明顯，如果點(x,y)在橢圓上，則點(-x,-y)也在橢圓上，因此原點是該橢圓的對稱中心. 基于此，假設(shè)以原點為圓心畫圓周，隨著半徑的逐漸增大，會先后出現(xiàn)兩個與橢圓相切于兩點的圓周.事實上，這兩個圓周的半徑就是本問題所求的最短距離與最長距離.而所有介于這兩個圓周之間的圓周都與橢圓相交于4個點，其他的無數(shù)個圓周則與橢圓沒有交點(圖1).于是有了一種源于幾何直觀的解決方法.

1.1.1 畫圓法

設(shè)以原點為圓心、r為半徑的圓周方程為x2+y2=r2,r>0. 將其代入橢圓方程并消去y，得到64x4-64r2x2+(9-5r2)2=0. 利用求根公式可得

(1)

當(dāng)r2<1或r2>9=1時，式(1)無意義，圓周與橢圓沒有交點；當(dāng)1

此方法從幾何直觀入手，運(yùn)用初等數(shù)學(xué)的知識就能夠解決問題.如果知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，還可進(jìn)一步深入挖掘其幾何特征，得到更簡潔的解題思路.圖1中橢圓上與原點距離最長和最短的點有一個共同特點，就是該點與原點的連線垂直于橢圓在該點處的切線.據(jù)此又有如下解法.

1.1.2 切線法

設(shè)橢圓上與原點距離最長或最短的點的坐標(biāo)為(x0,y0)，則

農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平和條件屬于地區(qū)的社會經(jīng)濟(jì)特征。從理論上講，干旱分區(qū)指標(biāo)的構(gòu)成不僅要反映自然條件因子的作用，還要反映社會因子的影響，而農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平和條件相似的地區(qū)，將使得旱災(zāi)治理技術(shù)更能因地制宜地推動和發(fā)展，從而使研究結(jié)果更具實用性。

(2)

(3)

1.2 代數(shù)方法——基于代數(shù)學(xué)中的二次型理論

(4)

圖2 正交變換解讀橢圓位置

當(dāng)橢圓方程中含有一次項時，上述諸方法便不再可行，但距離的最值問題依然存在，此時可考慮運(yùn)用分析方法.

1.3 分析方法——基于分析學(xué)中的Lagrange乘數(shù)法

再換一個角度，本問題屬于平面上兩點間距離的最值問題.利用多元函數(shù)微分學(xué)的知識，一個直接的想法是將其轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)的條件極值問題，并用Lagrange乘數(shù)法[2]求解.方法是將平面上點與原點的距離作為目標(biāo)函數(shù)，并將點的坐標(biāo)滿足橢圓方程作為約束條件，構(gòu)造Lagrange函數(shù).在具體實施時，為了方便求導(dǎo)，目標(biāo)函數(shù)選取距離的平方.

構(gòu)造Lagrange函數(shù)

F(x,y,λ)=x2+y2+λ(5x2+8xy+5y2-9),

解方程組

(5)

用于求解多元函數(shù)條件極值問題的Lagrange乘數(shù)法，它的適用范圍很廣.在本問題中，如果把橢圓方程換成含有一次項的非標(biāo)準(zhǔn)方程或者其他更加復(fù)雜的曲線方程，同樣能夠用Lagrange乘數(shù)法，在不確定圖形的形狀與位置的情況下進(jìn)行求解，顯示了該方法力量之強(qiáng)大.

2 一題多解的教學(xué)意義

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的某些環(huán)節(jié)中適當(dāng)設(shè)計一題多解，能夠讓學(xué)生靈活地把握其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法，更深刻地領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，直觀地認(rèn)識數(shù)學(xué)科學(xué)不同分支之間的內(nèi)在聯(lián)系和巧妙轉(zhuǎn)化，最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，具有良好的教學(xué)效果和重要的教學(xué)意義.

2.1 從數(shù)學(xué)分支交叉融合的角度看

大學(xué)生已經(jīng)接觸到高等數(shù)學(xué)的知識與方法，具備了使用不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容相互溝通，利用它們的內(nèi)在聯(lián)系來思考問題的基本條件.但由于學(xué)生按照課程的分類分別學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等課程，因此對于這些科目中知識的理解和掌握往往是彼此孤立的.建立功能良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是十分必要的.在此情況下，恰當(dāng)利用一題多解，運(yùn)用幾何的、代數(shù)的和分析的方法求解同一個數(shù)學(xué)問題，展示了數(shù)學(xué)三大核心領(lǐng)域——幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、分析學(xué)——的思想方法及其內(nèi)在關(guān)聯(lián)[3].數(shù)學(xué)的各個分支之間不是孤立的，表面看似無關(guān)的知識卻有著內(nèi)在的聯(lián)系，因此需要找出其間的聯(lián)系，提取并有效整合相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，與當(dāng)前的數(shù)學(xué)問題建立關(guān)系.

2.2 從數(shù)學(xué)方法的角度看

數(shù)學(xué)方法的發(fā)展過程，是一個以高級替代低級的過程.高級的數(shù)學(xué)未必難，低級的數(shù)學(xué)未必容易[4].教師的職責(zé)，不僅是傳授新知識，還要在教學(xué)中注重體現(xiàn)這一發(fā)展過程，引領(lǐng)學(xué)生以更“高級”的觀點理解已有的知識，并將知識融會貫通，用于分析和解決具體問題.本文所述問題的第一種方法較為“低級”，直接從圖形的幾何特征出發(fā)；而后兩種方法較為“高級”，分別用到了近代數(shù)學(xué)中的二次型理論和多元函數(shù)極值理論，不依賴于具體圖形也能求解.前兩種方法具有一定的局限性，對含有一次項的橢圓方程不適用；而第三種方法突破了這一局限，對任何橢圓方程甚至更加復(fù)雜的平面曲線方程都適用.本問題的講授能夠使學(xué)生直接體會到數(shù)學(xué)由低到高的發(fā)展過程，感受到“高級”的方法在分析解決問題時的優(yōu)勢.同時，通過引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用二次型或多元函數(shù)極值這樣的“高級”觀點來理解題目中的幾何事實，促使學(xué)生主動尋找新方法、運(yùn)用新方法解決問題，潛移默化地建立起對數(shù)學(xué)發(fā)展過程的認(rèn)識.

2.3 從數(shù)學(xué)思想的角度看

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，教師在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中更應(yīng)注重對相關(guān)數(shù)學(xué)知識中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、滲透和生成[3].“數(shù)形結(jié)合”是樸素而重要的數(shù)學(xué)思想，大約在一萬多年前人類就逐漸形成了“數(shù)”與“形”的概念，以及這兩個概念之間辯證統(tǒng)一的矛盾關(guān)系.大量的數(shù)的關(guān)系都有其幾何意義，如二次方程表示二次曲線；反之，一些幾何量又可由數(shù)的關(guān)系表達(dá)出來，如切線的方向用導(dǎo)數(shù)表示.本文所述問題給出的二次方程就表示橢圓曲線，而第一種方法中所用的切線斜率依賴于導(dǎo)數(shù)的求解.把“數(shù)”與“形”的關(guān)系提示給學(xué)生，可以加深學(xué)生對“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的理解，使學(xué)生習(xí)慣于用數(shù)學(xué)思想思考新的問題.

2.4 從教學(xué)效用的角度看

一個問題往往涉及數(shù)學(xué)知識的多個方面，從不同的角度進(jìn)行觀察分析，可以引發(fā)不同數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用一題多解，不局限于形式和技巧的多變，而是使學(xué)生的思路更加開闊，在通法與特技之間，分清主次，有所取舍；在同一數(shù)學(xué)分支中的多技法與不同數(shù)學(xué)分支的多種方法之間，更多地著眼于后者，以期達(dá)到數(shù)學(xué)知識交叉融合、解題思路靈活多樣、解題方法多種選擇，而結(jié)果均殊途同歸的效果，使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)思想方法的理解，培養(yǎng)出對數(shù)學(xué)的濃厚興趣和欣賞能力，最終提高數(shù)學(xué)能力.

3 一題多解教學(xué)中教師的作用

在一題多解教學(xué)中，教師的作用尤為重要.首先，教師要選取某些適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計適當(dāng)?shù)囊活}多解，這依賴于教師本人的數(shù)學(xué)積淀，以及在長期教學(xué)過程中的細(xì)心觀察、日積月累和與同行的交流，不能一蹴而就.其次，教師要有意識地、潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析問題，用不同方法解決問題，并及時予以總結(jié)，啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含于分析求解過程中的種種深刻的數(shù)學(xué)思想及其內(nèi)在聯(lián)系.第三，教師要堅持在長期的教學(xué)過程中進(jìn)行滲透，讓學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)思想與方法，并運(yùn)用它駕馭數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，最終形成自己的數(shù)學(xué)思維能力、推理分析能力、靈活運(yùn)用知識的能力.

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].2版.北京:高等教育出版社,2002.

[2]陳傳璋,金福臨,朱學(xué)炎,等.數(shù)學(xué)分析(下冊)[M].2版.北京:高等教育出版社,1999.

[3]王元明.數(shù)學(xué)是什么[M].南京:東南大學(xué)出版社,2003.

[4]龔昇.話說微積分[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1998.

On the Importance of Multi-answer Problems in College Mathematics Teaching

ZHANG Ya-xuan

(College of Science, Civil Aviation University of China, Tianjin 300300, China)

In this paper we introduce a mathematical problem and present its geometrical, algebraic and analytic solving methods respectively. Then we reveal the inner relation between among methods and the cross amalgamation of different mathematical branches. This indicates the importance of multi-answer problems in college mathematics teaching. It provides students with the ability to transformation between mathematical branches vividly, to appreciate mathematical ideologies more deeply, and to understand the inner relation and use mathematical methods more flexibly. It eventually enhances the students’ mathematical ability.

multi-answer problem; cross amalgamation; mathematical ideology and methodology; teaching significance

2014-04-07

中國民航大學(xué)教研項目“基于CDIO和卓越班《線性代數(shù)》課程的教學(xué)改革探索與實踐”。

張雅軒(1984- )，女，天津人，中國民航大學(xué)理學(xué)院講師，博士，從事分布參數(shù)系統(tǒng)控制研究。

G642

A

2095-7602(2014)04-0139-04