孫夢家

(景德鎮(zhèn)一中，江西 景德鎮(zhèn) 333000)

功能關(guān)系是中學(xué)物理乃至整個普通物理學(xué)中非常重要的關(guān)系。不論功還是能都和物體的運動有關(guān)，而物體的運動又和參照系的選取有關(guān)，那么功和能與參照系的選取有什么樣的關(guān)系?

1 問題提出

某人在以速度v行駛的大船上先后以速率u(相對于船)向船頭和船尾方向投出質(zhì)量m的球。試問，在兩次投球中，他做的功是否相同?

解1:以地面為參照系，向船頭投球時，球的動能的增量為:

向船尾投球時，球的動能的增量為:

可見，兩次投球動能的增量不同，根據(jù)動能定理，兩次投球時人做的功也不同。

解2:以船為參照系，兩次投球中動能的增量為:

所以，兩次投球動能的增量相同，根據(jù)動能定理兩次投球人做的功也相同。這里，某人所做的功是將人消耗的生物能轉(zhuǎn)化為機械能。按生活常識可知，在兩次投球中，人所消耗的生物能應(yīng)相同，而上面的兩種解法的結(jié)果卻不同，而計算似乎都合理，問題出在哪里呢?實質(zhì)問題也就是，不同的參照系里的功能關(guān)系，即動能定理是否都成立，是否都一樣?

2 以地面為參照系研究

原題解法一的結(jié)果與實驗結(jié)果相違背，那么錯在哪里呢?問題出在當(dāng)我們投球的時候，由于質(zhì)點系(人、船、球組成)的動量守恒，輪船的速度也將發(fā)生改變，這變化導(dǎo)致輪船的動能改變，而船的動能改變也應(yīng)該計算到投球時做的功中去。

在第一種情況下，球向前投，人、球與船組成的質(zhì)點系的動量守恒即:

式中v'是球投出后船的速度，m是球的質(zhì)量，M是人和船的質(zhì)量:

此時球的速度為:

投球時做的功，應(yīng)為人、球和船的動能之和，即:

在(4)式中前一個方括號為球的動能增量，后一個括號中為人和船的動能增量。

如果人和船的質(zhì)量遠(yuǎn)大于球的質(zhì)量，即時，

在第二種情況下，球向后投時人做的功的計算與上面相似，將u改為－u即可，由(5)式可得:

這結(jié)果與第一種情況相同。

通過以上的計算，使我們注意到:投球后，船的速度v'變化為(2)式所示，在M?m的前提下，只就速度而言，可以略去這一項，即可以認(rèn)為船的速度不變，但就動能而言，因為要乘上M這一項，它引起人與船的動能變化是相當(dāng)大的，故不能略去。

3 以輪船為參照系研究

我們注意到，上面的討論中以地面為參照系的情況下，雖然向前和向后投球人做的功相同，但計算結(jié)果與原題解法二給出的結(jié)果卻不相同，這又是為什么呢?從上面的分析中，我們看到投球后，輪船的速度要改變，從v變?yōu)関'，這樣它相對地面就不再是勻速直線運動，也就是說，不再是一個慣性參照系，而在非慣性參照系中，要計入慣性力做功，動能定理才能成立。我們可以選取人、輪船與球的質(zhì)心為參照系。因為質(zhì)心以不變的速度v做勻速直線運動。如果船的質(zhì)量M遠(yuǎn)大于球的質(zhì)量m，人、輪船與球的質(zhì)心近似為人、船的質(zhì)心。選質(zhì)心參照系就是近似選人、輪船為參照系。所以以相對于船速度為u投球，不論是向前還是向后，所做的功都是近似成立條件是M?m，這樣結(jié)果就與上面以地面為參照系求出的結(jié)果一樣了。如果不滿足M?m的條件，就不能選人、輪船為參照系，而應(yīng)嚴(yán)格地選地面或質(zhì)心參照系來計算投球時做的功。

4 不同參照系中的功和能

4.1 動能定理

若以地面為參照系:設(shè)有一質(zhì)點m，受力F作用，在力的方向上移動了一段距離S，v0是質(zhì)點的初速度，v是質(zhì)點的末速度。

現(xiàn)在以另一個慣性參照系來觀察這個質(zhì)點的運動，比如是在地面上以速度u勻速運動的汽車，以汽車為參照系。在汽車參照系中質(zhì)點m的位移S'，由伽利略變換S'=s－ut。質(zhì)點的初末動能分別為

在質(zhì)心系中:

在質(zhì)心系中人向前和向后投球時所做的功:

可見在不同慣性系中動能定理都是成立的。但是，在不同慣性系中動能的變化及力所做的功可以不同，因為在不同參照系的位移也可以不同。

4.2 質(zhì)心參考系

根據(jù)柯尼希定理，質(zhì)點系對慣性系的動能等于質(zhì)點系對質(zhì)心系的動能與質(zhì)心對慣性系的動能之和。

設(shè)有m1，m2有組成的系統(tǒng)，m1，m2對地面參照系的速度分別為v1和v2，兩速度在同一直線上，則質(zhì)心的速度:

設(shè)E'k為質(zhì)點系在質(zhì)心系中的動能，Ek為質(zhì)點系對慣性系的動能，Ekc為質(zhì)心對慣性系的動能:

通過比較可知，在地面參照系中和質(zhì)心系中人所做的功是一樣的。