具有集值約束的弱Nash平衡問題解的存在性

帥維成

(四川民族學(xué)院數(shù)學(xué)系，四川康定 626000)

具有集值約束的弱Nash平衡問題解的存在性

帥維成

(四川民族學(xué)院數(shù)學(xué)系，四川康定 626000)

利用不動點定理證明了一類具有集值約束的弱Nash平衡問題解的存在性，推廣了以往文獻的結(jié)果。

非線性標量化函數(shù);自然擬凸;集值映射

現(xiàn)代博弈論的基礎(chǔ)是由J.Nash于1950年和1951年所發(fā)表的兩篇論文奠定的。目前，多目標博弈均衡解的存在性是博弈論研究的熱點［1－4］。文獻［5］研究了一類對稱向量擬平衡問題解的存在性，文獻［6］研究了一類關(guān)于集值映射的廣義對稱向量擬平衡問題解的存在性。注意到文獻［5］和文獻［6］的模型是本文所研究集值約束的弱Nash平衡問題模型的特殊情況，本文研究了這類模型解的存在性，從而推廣了相關(guān)文獻的結(jié)果。

1 預(yù)備知識

假設(shè)I是一個有限指標集，任取i∈I，Zi是一個拓撲向量空間，Xi是Hausdorff拓撲線性空間。令對任意x∈X，令xi與xi分別表示x的第i個坐標和x在Xi上的投影。因此，x又可表示為x=(xi)i∈I=(xi，xi)。對任意i∈I，令Pi是Zi的一個內(nèi)部非空的尖閉凸錐，F(xiàn)i:Xi×Xi→2Zi，以及Si:Xi→2Xi?？紤]以下具有集值約束的弱Nash平衡問題:

注:

1)如果對每個i∈I，設(shè)Fi是一個單值函數(shù)，Zi=R并且Si(X)=Xi，(CWNEP)退化為經(jīng)典的Nash平衡問題［7］。

2)如果I={1，2}，F(xiàn)i是向量值函數(shù)，(CWNEP)退化為對稱向量擬平衡問題［6］。

3)如果I={1，2}，F(xiàn)i是集值映射，(CWNEP)退化為關(guān)于集值映射的廣義對稱向量擬平衡問題［5］。

定義1設(shè)X和Y是2個拓撲空間。F:X→2Y是一個集值映射。

1)稱F在點x∈X處是上半連續(xù)的，如果對任意開集U?F(x)，存在x的一個鄰域V滿足Ux∈VF(x):=F(V)?U。如果F在X的每一個點都是上半連續(xù)的，則稱F是上半連續(xù)的。

2)稱F在點x∈X處是下半連續(xù)的，如果對任意y0∈F(x0)和任意y0的一個鄰域U，存在x0的一個鄰域V，使得對?x∈V滿足F(x)∩U≠?。如果F在X的每一點都是下半連續(xù)的，稱F是下半連續(xù)的。

3)稱集值映射F是閉的當(dāng)且僅當(dāng)對任意序列{xn}，xn→x，和任意序列{yn}滿足yn∈F(xn)，yn→y有 y∈F(x)。

4)稱集值映射F是連續(xù)的，如果集值映射F既是上半連續(xù)的又是下半連續(xù)的。

定義2假設(shè)X是Hausdorff拓撲空間和Z是一個實拓撲向量空間。E是X的一個非空凸子集，F(xiàn):E→2Z是一個集值映射，假設(shè)P?Z是int P≠φ的閉凸尖錐。若對每個x1，x2∈E，λ∈0，[1]存在μ∈ [0，1]，使得

則稱F為E上的自然擬凸函數(shù)。

定義3設(shè)Z是一個實拓撲向量空間，P?Z是一個閉凸尖錐，e∈int P。非線性標量化函數(shù)ξe:Z→R定義為:

引理1［8］設(shè)Z是一個實拓撲向量空間，P?Z是一個閉凸尖錐，e∈int P。非線性標量化函數(shù)具有以下主要性質(zhì):①非線性標量化函數(shù)是凸的連續(xù)函數(shù);②?y1，y2∈Z，ξe(y1+y2)≤ξe(y1)+ξe(y2);③若y1－y2∈int P，則有ξe(y1)＞ξe(y2)。

2 解的存在性

假設(shè)Ei(i∈I)是實的局部凸Hausdorff拓撲向量空間，Zi是實Hausdorff拓撲向量空間。令Xi是Zi上的非空緊凸子集。令Pi?Zi是一個閉凸尖錐，ei∈int Pi。假設(shè)Si:X→2Xi是一個緊凸的連續(xù)集值映射，F(xiàn)i:Xi×Xi→2Zi是一個緊連續(xù)集值映射，令ξei(Fi(x，y))=∪ui∈Fi(x，y)ξei(ui)。

引理2［9］設(shè)E是局部凸Hausdorff拓撲空間X的一個非空緊凸子集。假如G:E→2E是上半連續(xù)的，并對每個x∈E，G(x)是一個非空閉凸子集，則存在一個ˉ∈E使得ˉ∈G(ˉ)。

定理1若以下條件成立:①Si:X→2Xi是緊凸連續(xù)的;②Fi:Xi×Xi→2Zi是連續(xù)和緊值的;③對每個固定xi∈Xi，F(xiàn)i(·，xi)是自然擬凸函數(shù)，則存在ˉ∈X為(CWNEP)的解。

證明定義一個集值映射Ai:Xi→2Xi:

［1］Blackwell O.An Analog of the Minimax Theorem for Vector Payoffs［J］.Pacific Journal of Mathematics，1956，6:1－8.

［2］Ghose D，Prasad U R.Solution Concepts in Two－Persons Multicriteria Games［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1989，63:167－188.

［3］Fernandez F R，Hinojosa MR，Puerto J.Gameswith Vector Payoffs［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2002，112:331－360.

［4］Corley HW.Gameswith Vector Payoffs［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1985，42:491－498.

［5］張文燕，陳純榮，李聲杰.集值映射的廣義對稱向量擬平衡問題［J］.運籌學(xué)學(xué)報，2006，10(3):24－32.

［6］Fu JY.Symmetric Vector Quasi－Equilibrium Problems［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2003，285:708－713.

［7］Nash J，Noncooperative Games，Ann［J］.Math，1951，54:286－295.

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［10］Aubin JP，Ekeland I.Applied Nonlinear Analysis［M］.New York:John Wiley and Sons，1984.

(責(zé)任編輯 劉舸)

Existence of Weak Nash Balance Problem with Set-valued Constraints

SHUAIWei－cheng
(School of Mathematics，Sichuan University for Nationalities，Kangding 626000，China)

The fixed point theorem was used to prove the existence of a type of weak Nash balance problem，which extended the results of past literature.

nonlinear quantitative function;natural quasi－convex;set－valued mapping

O224

A

1674－8425(2014)09－0139－04

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.09.029

2014－07－20

國家自然科學(xué)基金天元基金資助項目(11226231)

帥維成(1977—)，男，四川康定人，碩士，講師，主要從事運籌學(xué)及其應(yīng)用研究。

帥維成.具有集值約束的弱Nash平衡問題解的存在性［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2014(9):139－142.

format:SHUAIWei－cheng.Existence of Weak Nash Balance Problem with Set－valued Constraints［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(9):139－142.